九年级数学下册 第2章 二次函数教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

第二章　二次函数

1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义,形成模型思想.
2.能用描点法画出二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的性质进行分析,进一步积累研究函数性质的经验,发展几何直观.
3.能用配方法将一般的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
4.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,理解一元二次方程与二次函数的关系.
5.能利用二次函数解决实际问题,对变量的变化情况进行初步讨论,提高应用意识.
6.会用待定系数法确定二次函数的表达式.

1.通过探索,使学生经历“观察发现——归纳猜想——灵活应用”的过程,体会由一般到特殊的探究方法.进一步体会数形结合思想、函数思想、数学建模等思想方法的运用.
2.在具体的情境中去发现问题和提出问题,在合作交流中解决问题.

1.要使学生体验数学的文化价值,使学生感受数学美,培养学生利用运动变化的观点观察事物.
2.进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观.

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一,也是某些单变量最优化问题的数学模型,如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题.二次函数的图象是抛物线,既是人们最为熟悉的曲线之一,同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用,如抛物线形拱桥,抛物线形隧道等.和一次函数、反比例函数一样,二次函数还是一种非常基本的初等函数,对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验,为高中阶段继续学习函数做好铺垫.

【重点】
1.二次函数的概念.
2.二次函数的图象与性质及其应用.
3.二次函数与一元二次方程的关系.
【难点】
1.利用二次函数的图象与性质解决相关的实际问题.
2.利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根.

1.注重实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.
九年级的数学学习抽象性逐渐增强,本章更体现了这一特点.由此,在数学中要创设丰富的实际问题情境,使学生理解二次函数的意义,能够用二次函数表示实际问题,从而建立二次函数模型.
2.鼓励学生采用多种方法和方式体会二次函数的性质.
讨论二次函数的性质时要尽可能结合图象进行,建议运用多种教学形式,如小组活动、学生讲解等,使学生养成从多个角度认识问题的习惯,进而比较全面准确地理解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是教学中的难点,可以让学生将自己的思路表达出来,互相启发和借鉴,从而在多种理解方式中体会图象平移的核心.
3.注重知识之间的联系.
教学中要注意数学思想方法的挖掘,关注知识之间的联系.在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时,要尽量引导学生进行图象和图象之间、表达式和表达式之间的比较,进而建立图象和表达式之间的联系,以实现对二次函数图象的对称轴和顶点坐标的理解.
4.引导学生积极思考.
本章内容是初中数学较难的一部分,学生在学习过程中难免会遇到困难,教师要设置适当的问题,引导学生进行探索.在探索二次函数性质的几节课中,教学的速度要放慢,不必急于给出结论甚至应用,而是让学生经历探索新知识的过程,从而真正将知识内化.在本章的学习中,都不要一味地加大计算的难度,部分实际问题可鼓励学生使用计算器进行运算.
5.注重信息技术的应用.
在本章教学中,要尽可能利用信息技术手段,注重信息技术与本章内容的结合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效益.例如,在研究二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系时,可以在学生亲身画图、观察、想象等动手动脑活动的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的函数图象,这样不仅为学生理解和掌握相关内容提供更多的形象支持,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的亲身实践活动.

1　二次函数
1课时
2　二次函数的图象与性质
4课时
3　确定二次函数的表达式
2课时
4　二次函数的应用
2课时
5　二次函数与一元二次方程
2课时
回顾与思考
1课时

1　二次函数

1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.

1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.

1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.

【重点】　
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【难点】　列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.

导入一:
课件出示:
观察下面的函数关系式:
(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.
这两个函数关系式有什么相同点和不同点?
【师生活动】　复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
【学生活动】　学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.
[设计意图]　通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.
导入二:
课件出示:

赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.
问题
请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?
[设计意图]　通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.

　　[过渡语]　通过以前的学习,我们已经了解了一些函数,如:正比例函数、一次函数以及反比例函数,今天我们再来探究一种新的函数.
一、体会函数的模型思想
结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.
课件出示:

【引例】　某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
【学生活动】　独立思考,代表回答:
(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.
(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.
【师生活动】　观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.
[设计意图]　利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.
　　[过渡语]　银行的储蓄利率是随时间变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
【做一做】　
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.

【师生活动】　师生共同回忆与存款有关的知识:
1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.
2.利息=本金×利率×期数(时间).
3.本息和=本金+利息.
【学生活动】　根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.
解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
【学生活动】　通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.
【教师点评】　自变量的最高次数都是2.
[设计意图]　通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函数的概念.
　　[过渡语]　通过下面几何背景的问题和代数背景的问题,让我们从丰富的现实背景中再次体会函数模型的意义.
【想一想】
问题1
已知矩形的周长为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗?可能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?
【师生活动】　师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.
解:(1)设其中一边长为x cm,则x=-x2+20x=100,
解得x1=x2=10.
x=-x2+20x=75,
解得x1=5,x2=15.
这个矩形的面积与其一边长的关系为S=x=-x2+20x.
【教师点评】　只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….
问题2
两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?
【学生活动】　学生独立解答,同伴交流.
解:y=x(20-x)=-x2+20x.
[设计意图]　在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.
二、二次函数的定义
【对比观察】　让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.
【学生活动】　观察思考后,小组交流想法,组长发言:
共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.
【教师引导】　类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.
【师生总结】　二次函数的定义.
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
【师生活动】　探讨a≠0的原因.
[设计意图]　让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从而突破本节课的难点.
[知识拓展]　理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.
三、二次函数的一般形式及自变量的取值范围
　　[过渡语]　类似于一元二次方程的一般形式,二次函数有一般形式吗?
(一)二次函数的一般形式
【思考】　二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0, 系数b,c可以等于0吗?
【学生活动】　学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.
【教师点评】
1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.
3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2) y=ax2+c (a≠0,b=0,c≠0).(3) y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
(二)二次函数自变量的取值范围
【议一议】　本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?
学生讨论各题的取值范围.
【教师点评】　自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.
[设计意图]　通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.

1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.
2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.

1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是 (　　)
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 (　　)
A.a=1,b=-3,c=5 B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1 D.a=5,b=-3,c=1
解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.
3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y=　　　　. 
解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.
4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=　　　　. 
解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.

1　二次函数
二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第30页随堂练习第1,2题.
2.教材第30页习题2.1第1,2题.
【选做题】
教材第31页习题2.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是 (　　)
A.3 B.5
C.-3或5 D.3或-5
3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是　　　　. 
4.一个边长为2 cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式:　　　　. 
5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.
【能力提升】
6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y与x的函数关系是 (　　)
A.y=20(1-x)2
B.y=20+2x
C.y=20(1+x)2
D.y=20+20x2+20x
7.已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是　　　　. 
8.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
【拓展探究】
9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x m.(边框厚度忽略不计)
(1)求y与x之间的关系式;
(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.
【答案与解析】
1.B(解析:①y=3x-1为一次函数;②y=3x2-1为二次函数;③y=3x3+2x2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y=2x2-2x+1为二次函数.故是二次函数的有2个.)
2.D(解析:根据题意,得x2+2x-7=8,即x2+2x-15=0,解得x=3或x=-5.)
3.a≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a+1≠0,即a≠-1.)
4.y=x2+4x(解析:原边长为2 cm的正方形面积为2×2=4(cm2),边长增加x cm后边长变为(x+2)cm,则面积变为(x+2)2 cm2,故y=(x+2)2-4=x2+4x.)
5.解:降价x元后的销量为(20+2x)件,单件的利润为(40-x)元,故可得利润y=(40-x)(20+2x)=2(40-x)(10+x)=-2x2+60x+800(0<x<40).
6.C(解析:∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产品增加x倍,∴一年后产品的年产量是20(1+x),∴两年后产品的年产量y与x的函数关系是y=20(1+x)2.)
7.-3(解析:∵y=(m-1)是关于x的二次函数,∴m2+2m-1=2,解得m=1或m=-3.∵m-1≠0,∴m≠1,∴m=-3.故填-3.)
8.解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0,解得m=0或m=1.又∵m-1≠0,即m≠1,∴当m=0时,这个函数是一次函数.　(2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m1≠0,m2≠1,∴当m≠0且m≠1时,这个函数是二次函数.
9.解:(1)y=(2x+2x+x+x)×30+45+2x2×120=240x2+180x+45,所以y与x之间的关系式为y=240x2+180x+45.　(2)由题意可列方程为240x2+180x+45=195,整理得8x2+6x-5=0,即(2x-1)(4x+5)=0,解得x1=0.5,x2=-1.25(舍去).∴x=0.5,2x=1.答:镜子的长和宽分别是1 m和0.5 m.

本节课是二次函数概念的基本认识,知识比较简单,所以学生接受起来比较容易,学生通过自主探究基本上可以掌握本节课的重点知识.本节课的难点是通过实际应用问题认识二次函数的概念,所以在教学时,始终坚持以应用意识为主线,强调观察与思考,分析与归纳.在课堂上,从实际出发提出问题,引导学生从不同的角度分析问题,提出解决方案,并且互相交流,在学习数学的同时培养合作交流的意识.对于少部分基础不太好的学生,进行分层教学,多多引导他们运用类比的思想方法探究二次函数的概念,收到了非常好的效果.

对于少部分基础不太好的学生估计不足,对他们的学习状况过于乐观,他们对于函数概念的理解比原来想象的要差,所以在复习回顾这个环节上还应加大力度.

要在课前布置复习作业,要求学生复习函数的概念以及正比例函数、一次函数和反比例函数的相关内容,为新课学习做好知识储备.

随堂练习(教材第30页)
1.解:y=-+3x2与s=1+t+5t2是二次函数.
2.解:(1)y=π(1+x)2-π·12=πx2+2πx.　(2)当x=1时,y=π·12+2π·1=3π(cm2).当x=时,y=π·()2+2π·=2π(1+)(cm2).当x=2时,y=π·22+2π·2=8π(cm2).
习题2.1(教材第30页)
1.从左到右依次填:4.9,19.6,44.1,78.4,122.5.
2.答案不唯一,如:篮球运动员投篮时,篮球出手后的高度与运行的时间之间是二次函数关系.
3.解:(1)根据题意列式为S=2x2+4x(x+0.5)=6x2+2x.　(2)y=5(6x2+2x)=30x2+10x.
4.解:y=(x-20)t=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400.

1.对于本节课知识的学习,学生可以采用自主探究加合作交流的方法,利用“由一般到特殊”的方法去探究新知.
2.利用类比一次函数、反比例函数概念的方法得出二次函数的概念及关系式,要重点把握二次函数概念的几个注意事项.在运用二次函数关系式表示数量关系时,要找出题目中的等量关系,这是解决问题的关键.

　已知函数y=(m2+m).
(1)当函数是二次函数时,求m的值;
(2)当函数是一次函数时,求m的值.
〔解析〕　(1)这个函数是二次函数的条件是m2-2m+2=2并且m2+m≠0.(2)这个函数是一次函数的条件是m2-2m+2=1并且m2+m≠0.
解:(1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.
又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1,
因此m=2.
(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.
又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.
因此m=1.
[解题策略]　本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.

2　二次函数的图象与性质

1.经历探索二次函数的图象的画法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能根据描点法画出二次函数的图象,并能根据图象认识和理解二次函数的性质.
3.建立二次函数表达式与图象之间的联系,理解表达式中的系数对图象的影响.
4.能利用二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式解决问题.

1.渗透解析几何、数形结合、函数等数学思想,培养学生发现问题、解决问题及逻辑思维的能力.
2.通过学生合作交流解决问题,培养学生合作交流的能力及观察、分析、归纳、总结的能力.

1.通过数形结合理解二次函数的性质,体验函数具体解决现实问题的功能.
2.充分理解并认识到二次函数图象可运动变化的和谐美,通过数学思维的审美活动,提高对数学美的追求.

【重点】　
1.画出二次函数的图象,并根据图象探究二次函数的性质.
2.能利用二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
【难点】　掌握并运用二次函数的图象与性质解决实际问题.
第课时

1.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出函数y=x2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象,并能够比较它与y=x2图象的异同,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.

1.在讨论函数图象的过程中,进一步提高学生运用描点法画函数图象的能力.
2.充分运用函数图象认识和理解二次函数的性质,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.

1.激发学生学习数学的兴趣,体会学习数学的快乐.
2.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养学生的合作交流意识.

【重点】　作出函数y=±x2的图象,并根据图象认识和理解二次函数y=±x2的性质.
【难点】　类比函数y=x2的图象及性质学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习利用描点法画函数图象的方法及一次函数和反比例函数的图象与性质.

导入一:
课件出示:
【引入】　在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?

【学生分析】　运行路线先高后低,有一定的弧度,整体是弧形.
【引入】　这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.

问题
这和我们以前所学的函数图象一样吗?
[设计意图]　通过学生生活中常见的一些物体的运动轨迹引出二次函数的图象,激发学生学习兴趣,提出本节课学习的内容,课堂效果非常好.
导入二:
思考下面的问题:
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?
【师生活动】　复习一次函数与反比例函数中y随x的变化而变化的规律及其性质.
【学生活动】　猜想二次函数的图象及其性质,并与其他同学进行交流.
[设计意图]　开门见山,直入正题,既揭示了本节课的主题,又通过对旧知识的复习,明确了本节课的探究任务.

　　[过渡语]　我们在前面学习了正比例函数、一次函数的图象都是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,那么二次函数的图象是什么样的呢?
一、画二次函数y=x2的图象
老师引导学生回忆:画函数图象的一般步骤是什么?
【学生活动】　
1.回忆画函数图象的步骤:列表,描点,连线.
2.按上面的步骤画出y=x2的图象.
代表展示:
(1)列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的曲线连接各点.
【师生活动】　共同订正学生画图过程中所出现的错误.
二、二次函数y=x2的性质
课件出示:
【议一议】　对于二次函数y=x2的图象:
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.
思路一
【师生活动】　要求学生认真观察图象,分组完成5个问题.
【学生活动】　先独立解决问题后与同伴交流,然后小组内统一答案.代表依次发言.
【教师点评】　二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口方向向上,且关于y轴对称.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点.
思路二
【教师明确】　二次函数的性质基本上从:开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面研究.
【师生活动】　根据对5个问题的探究,完成下面的表格.
二次函数y=x2的性质
函数表达式
y=x2
大致图象

开口方向
向上
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
增减性
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
最值
当x=0时,y有最小值,最小值是0
[设计意图]　让学生结合图象回答问题,在图象中找出答案,有助于理解和记忆,体会数形结合思想.此外,通过小组交流解决问题,进一步培养了团结协作能力.
三、再探新知
　　[过渡语]　我们知道了二次函数y=x2的图象的形状,那么二次函数y=-x2的图象又是什么样的呢?
【做一做】　二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.
【学生活动】　要求学生类比画y=x2图象的操作步骤,独立画出函数y=-x2的图象.代表板演.

【教师活动】　出示下面四种不同类型的图象,学生找出正确的图象,并指出其他图象的错误.

【师生总结】　画二次函数图象的注意事项:
(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),不要一边多,一边少,不对称.
(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.
(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.
(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.
【类比归纳】　类比y=x2的性质总结出y=-x2的性质.
函数表达式
y=-x2
大致图象

开口方向
向下
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
增减性
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
最值
当x=0时,y有最大值,最大值是0
[设计意图]　利用类比的方法,让学生根据前面所作图象,用表格的形式归纳总结出二次函数y=-x2的图象及性质,训练学生分析问题、解决问题的能力,并学会数学中最常用到的数学思想——类比思想.
[知识拓展]　二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原点.

1.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象及其性质.
2.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象的异同点.

1.下列说法正确的是 (　　)
A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同,其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大
D.当x<0时,y=x2中y随x的增大而减小;当x>0时,y=-x2中y随x的增大而减小
解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A,B,C均不正确.故选D.
2.已知点A(2,a),B(b,9)在抛物线y=x2上,则a=　　　　,b=　　　　. 
解析:分别把x=2和y=9代入y=x2,解得a=4,b=±3.
答案:4　±3
3.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.
解:列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
描点,连线,如图所示.

第1课时
函数
y=x2
y=-x2
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
最值
当x=0时,有最小值,为0
当x=0时,有最大值,为0
增减性
当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小
当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大

一、教材作业
【必做题】
教材第34页习题2.2第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=x2与y=-x2的关系是 (　　)
A.开口方向不同,顶点相同,对称轴相同
B.开口方向不同,顶点不同,对称轴相同
C.开口方向相同,顶点相同,对称轴相同
D.开口方向相同,顶点不同,对称轴不同

2.如图所示,A,B分别为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为 (　　)
A.y=3 B.y=6
C.y=9 D.y=36
3.函数y=x2与y=-x2的图象关于　　　　对称,也可以认为函数y=-x2的图象是函数y=x2的图象绕　　　　旋转得到. 
4.若二次函数y=-x2的图象过A(-2,y1),B(-1,y2),C(5,y3)三点,判断y1,y2,y3的大小关系.
【能力提升】
5.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一坐标系的大致图象为 (　　)

6.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则 (　　)
A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
7.二次函数y=m的图象有最高点,则m=　　　　. 
8.函数y=mx|m|+1是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x为何值时,y随x的增大而减小?
【拓展探究】
9.二次函数y=x2与一次函数y=2x+3的图象交于A,B两点,在下面的直角坐标系中画出图象,并求S△AOB.

【答案与解析】
1.A(解析:∵抛物线y=x2与y=-x2的二次项系数互为相反数,∴其开口方向相反,顶点相同,对称轴相同.)
2.C(解析:∵线段AB⊥y轴,且AB=6,∴由抛物线的对称性,可知B点横坐标为3,当x=3时,y=x2=32=9,∴直线AB的表达式为y=9.)
3.x轴　原点
4.解法1:根据增减性,因为-2<-1<0,所以y1<y2,又因为︱5︱>︱-2︱,所以y3<y1,所以y3<y1<y2.解法2:把x=-2,-1,5分别代入y=-x2,可得y1=-4,y2=-1,y3=-25,所以y3<y1<y2.
5.A(解析:y=-x2的图象开口向下,而y=x-1的图象经过第一、三、四象限.故选A.)
6.C(解析:∵a<-1,∴a-1,a,a+1都小于0.根据增减性,∵a-1<a<a+1,∴y3<y2<y1.)
7.-1(解析:∵函数为二次函数,∴m2+1=2,解得m=±1.又∵二次函数y=m的图象有最高点,∴m=-1.)
8.解:(1)根据题意,得|m|+1=2,解得m1=1,m2=-1,所以满足条件的m的值为±1.　(2)当m=1时,抛物线解析式为y=x2,抛物线有最低点,为(0,0).当x>0时,y随x的增大而增大.　(3)当m=-1时,抛物线解析式为y=-x2,抛物线开口向下,所以函数有最大值,是0.这时,当x>0时,y随x的增大而减小.

9.解:函数图象如图所示,点A(-1,1),B(3,9),设直线y=2x+3与y轴的交点为C,则C(0,3),S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×3=+=6.

本节课首先利用生活中学生所熟悉的抛物线图片,让学生感受到抛物线的美与实用性,激发了学生的学习欲望与积极性,因而学生很投入.学生已经掌握了画函数图象的一般步骤(列表,描点,连线),为本节课的教学奠定了良好的基础.本节课的一个难点是用光滑的曲线连接各点.初学时,学生会感觉有难度,往往会画成折线,所以通过设置一些问题让学生进一步讨论交流:列表时注意对称取点,用光滑曲线连接各点,注意图象的对称性等过程后就可以突破这一难点了.对于y=-x2的图象与性质,利用类比y=x2的图象与性质的方法进行探究,取得了非常好的效果.最后可以利用表格形式让学生对本节课进行小结,目的是对本节课知识进行回顾,同时也便于比较两个图象的异同.

在“用光滑的曲线连线”时老师没有进行演示,所以学生对光滑的理解不透彻,连出的图象成了折线.

利用几何画板或者课件进行演示二次函数图象的画法,让学生加深对“光滑”的理解.

习题2.2(教材