八年级数学下册 18.1《勾股定理的应用（第四课时）》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
18.1勾股定理（第4课时）
（课型：复习课）
【理论支持】
美国心理学家，人类智力的三元理论的提出者斯滕伯格认为，成功智力包括分析性智力，创造性智力和实践性智力三个方面：
分析性智力是用来解决问题和判定思维成果的质量；
创造性智力用来形成好的问题和想法；
实践性智力可将思想及其分析结果以一种行之有效的方式加以实施．
基于这一理论，要求教师在课堂教学中注重培养学生的分析性、创造性和实践性能力．
学生掌握数学知识，不能依赖于死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化．为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断；教师还应揭示知识的数学本质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等．
数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解．
在勾股定理的教学中，应充分体现一条主线索：“明确条件与问题—认真分析—形成几何图形—解决问题—得出结论”．
【教学目标】
知识技能
1．理解并掌握勾股定理的内容及存在条件．
2．能灵活运用勾股定理解决问题．
数学思考
通过对勾股定理的复习巩固，进一步提高学生解决几何问题的能力及概括能力等．
解决问题
1．数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．
2．分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．
3．作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．
4．优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．
情感态度
1.通过独立分析、解决问题，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立信心．
2.通过小组活动培养学生合作交流的意识和探索精神．
【教学重难点】
教学重点：
勾股定理及其应用
教学难点：
灵活运用勾股定理解决问题
【课时安排】
本节内容共4课时，本课时是第4课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1．在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)已知=6， =10，则=
(2)已知=40，=9，则=
(3)已知=，=4，则= ．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D．若CD=4，BD=3，则BC= ，AC=
，AB= ．
3．CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=1, AC：BC=4：1，则CD的长为
〖答案〗 1．(1)8 (2)41 (3)2
2．5
3．
〖设计说明〗心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．本题所选的题目是引导学生通过预习新课，初步感知本题课涉及到的一些基本概念．
二、预习思考题及答案
（1）如图, 如图，∠C=∠BAD=90°，AC=2，BC=4，BD=12，求AD的长．

（2）一根旗杆在离地面8米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断之前的长度为 米．
〖答案〗（1）13
（2）18
〖设计说明〗引导学生顺其自然地运用勾股定理解决此类问题，从而使学生有着很愉悦的心情进入本节课的学习．
课内探究
一、创设问题情境，导入新课
活动1
1．在△ABC中，若边a=6，b=8，则第三边c是多少？问题：你的根据是什么？
2．在Rt△ABC中，、为两直角边，为斜边；若=6，=8，则=________．
问题：你的根据是什么？
教师在此过程关注学生能否积极地从事活动，活动中是否进行了思考；能否问题的答案；能否主动地写出得出问题答案的根据；能否将自己的发现与同伴进行交流，并从中获益等．
师生行为：
师：请坐！我们先来看一个问题：在△ABC中，若边a=6，b=8，则第三边c是多少？问题：你的根据是什么？
学生思考并计算．
师：大家有结果了吗？
生：我的答案是10．
这时有一位学生赶紧反驳道：“不对，题目并没有告诉我们△ABC是直角三角形．”
师：那么应该是多少呢？
生： 2<c<14．
师：根据什么？
生：根据的是三角形的三边关系．
师：你讲得很好！我们继续往下看．（小黑板展示）
在Rt△ABC中，a、b为两直角边，c为斜边；若a=6，b=8，则c=________；问题：你的根据是什么？
生（齐）：=10，根据勾股定理．
师：是的．
〖设计说明〗
1．用一般的三角形的三边关系来过渡到直角三角形的三边关系，即为过渡到勾股定理的复习埋下伏笔．
2．通过问题的变式让学生勾起对勾股定理的回忆．
活动2
1．在Rt△ABC中，、、为三边；若=6，=8，则=________；
〖点拨方法〗让学生从已知条件着手理解运用勾股定理需要注意三条边之间应满足什么关系，知道直角三角形中斜边是最长边．
〖参考答案〗10或
2．在Rt△ABC中，、为两直角边，为斜边，已知：=3：4，且斜边为10cm，
求：（1）、的长；（2）斜边上的高．
〖点拨方法〗让学生从已知条件的形式上让学生理解和运用勾股定理用及等积法的应用．
〖参考答案〗（1）6 cm和8 cm；（2）4.8 cm．
师生行为：
师：是的，下面我们再来看这两题：（小黑板展示）
变式2：在Rt△ABC中，a、b为两直角边，c为斜边，已知a：b=3：4，且斜边为10cm，求：（1）两直角边的长；（2）斜边上的高线长．
变式3：在Rt△ABC中，a、b、c为三边；若a=6，b=8，则c=________；
师：大家试试看．
学生思考并计算，教师巡视．
师：我们来听听大家是如何思考的？谁来说说变式2？
生：我是设a=3x，则b=4x，然后通过勾股定理得出方程，从而解到两直角边的长分别是6和8，再通过等积法求到斜边上的高是4.8．
师：你的思路很明确，如果还有不清楚的同学请举手．
教师环视，发现没有学生举手．
师：很好，谁再来说说变式3是如何思考的？
生：很明显，c=10，6、8、10是勾股数嘛．
生：这时有位学生迫不及待地站起来，说道：“你的思考不完整，题目中没有指明a和b是直角边，所以要分情况讨论．”
师：好的，你具体说说看．
生：如果a、b是直角边，那么c就为10，如果a是直角边，b为斜边，那么c就是．
师：大家同意谁的观点？
生（齐）：××的．
师：是的，我们在审题时一定要注意，这道题就要分类讨论．
〖设计说明〗从已知条件的形式上让学生在运用中理解勾股定理．让学生进一步理解勾股定理的功能．
二、当堂检测
活动3
1．如图所示，在△ABC中，∠C =90°，两条直角边AB =7，BC=24，在三角形内有一点P到三边的距离都相等，求这个距离．

〖点拨方法〗本题是勾股定理与等积法的综法运用，通过添加辅助线将直角三角形划分为三个三角形来解答此类问题．
〖参考答案〗3

2．如图，已知△ABC，∠ACB = 90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，S1 = 81，S3 = 225，则S2 =________；

〖点拨方法〗求正方形的面积即求正方形的边长的平方，而正方形的边长为直角三角形的直角边，从而想到应用勾股定理来解决这个问题．
〖参考答案〗12
3．一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接着它又掉头向正东方向航行15km．
（1）此时轮船离开出发点多少km?
（2）若轮船每航行1km，需耗油0.4L，那么在此过程中轮船共耗油多少升？
〖点拨方法〗解决这类问题首先要根据题意正确画出图形，然后再结合勾股定理解决问题．
〖参考答案〗17km、9.2升
4．如图，四边形ABCD为长方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于 （　　）．
A．　 B．　 C． D．8　　

〖点拨方法〗本题是将全等三角形的识别与性质、四边形、勾股定理以及方程等知识的综合应用．
〖参考答案〗
师生行为：
学生练习，教师巡视，待学生做到最后一题时，部分学生板演解题过程．
生1板演习题1的解题过程：
解：由题意得：
．
设点P到三边的距离为x，
则，
即：7×24=25x+7x+24x，
∴x=3．
答：这个距离为3．
生2板演习题3的解题过程：
解：

设轮船的航线如图所示，且AB=8km，BC=15km，∠B=90°．
（1）=17 km．
答：此时轮船离开出发点17km．
（2）（8+15）×0.4=9.2（升）
答：在此过程中轮船共耗油9.2升．
教师结合第一题的解题过程进行讲评．
师：我们可以得到这个四边形是什么图形？（指着图形说）

生（齐）正方形．
师：是的，大家再思考一下这三条虚线是什么线？
学生思考并主动交流．
生：应该在三角形的角平分线上．
师：是的，你讲得很好，我们到初三时就学习到点P是△ABC的内心．好，谁来说说第二题的答案．
生：S2=144．
师：对的，你说说你是如何思考的？
生：因为△ABC是直角三角形，所以由勾股定理得，即：S1+ S2= S3．
师：你说得很好，谁来说说第3题的答案？
生：我选的是B．
师：你的答案是对的，这一题主要运用什么知识点？
生：运用勾股定理的逆定理．
师：是的，在判断时有什么技巧呢？
生：用大数的平方减去其中一个数的平方，看结果是不是等于另一个数的平方．
师：很好，看来你对我们平时介绍的方法掌握得不错．
教师对第3题进行讲评，强调根据题意正确画出图形，简单说明勾股定理在实际问题中的应用．
师：大家说说第4题的答案？
很少的学生说是选A．教师巡视后发现只有四分之一的学生做出来了，于是教师讲解．简单图形分析如图：

简单过程：

师：在本题的图形中存在一些直角三角形，利用这样的基本图形，应用勾股定理建立数量关系；另外，巧设未知数，运用方程思想达到解决问题的目的，希望同学们认真体会，多加强这方面的训练．
〖设计说明〗采用当堂训练，当堂反馈的模式，更有利用学生加深理解这部分知识，提高课堂效率．

三、课堂小结
活动4
问题：
你对本节内容有何认识？
师生行为：
教师在此活动中应重点关注：
（1）不同层次学生对本节知识的认识程度；
（2）学生独立面对困难和克服困难的能力；
（3）学生畅谈收获，是对知识间联系的感受．
学生以小组为单位，总结勾股定理的使用方法．
生：必须在直角三角形中才能应用勾股定理解决问题．
生：由勾股定理已知直角三角形任意两边可求第三边．
生：遇到直角三角形要求边长首先要想到勾股定理的运用．
生：我觉得在解决直角三角形问题时还要注意分类讨论和数形结合的思想方法很重要．
〖设计说明〗这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小节活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
课后提升
1、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为
．
〖参考答案〗25 cm
2、如图，△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AC和AB上，试说明BD2一DE2=BC2一CE2．

〖参考答案〗在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，同理BD2= AB2+AD2，BC2=AB2+AC2，CE2=AE2+AC2．
∴ BD2一DE2=AB2一AE2，BC2一CE2=AB2一AE2．
∴BD2一 DE2=AB2一AE2．
3、甲、乙两位探险者在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？
〖参考答案〗这时甲、乙两人相距13千米．
4、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

〖参考答案〗10km处

〖讲评策略〗操作投影仪，引导学生解决问题，请两位学生到黑板板演，其他学生在下面做，然后讲评．
〖设计说明〗本组习题主要是帮助学生理解勾股定理，并能运用勾股定理解决问题，为继续学习勾股定理的逆定理打下基础．