九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数图象与性质教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.docx

二次函数图像性质
教学课题
2.2 二次函数图像性质（1）
课时安排

教 学
目
标
知识与
技 能
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.

问 题
解 决
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
情 感
价 值
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点
作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质.
教学难点
由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点.
教具准备
投影片、三角板
学具准备
三角板

教 师 活 动
学 生 活 动
一、课前展示

二、新知索引

三、运用新知

四、变式引申

五、展示风采

六、总结收获

1、寻找生活中的抛物线展示图形；
2、(1)二次函数的概念；（2）画函数的图象的主要步骤.
合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）
活动内容：
1.用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
2.观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
（3）图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（4）当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？
你是如何知道的？
3.二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象
4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
5.说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质？与同伴交流。

第四环节 练习与提高
活动内容：
1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：（1）满足条件的m 的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
o
y
x
A
2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。
（1）求A的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由，与同伴进行交流.

抛物线
y=x²
y=－x²
顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

增减性

最值

学生思考，代表发言

学生分组交流，自己画图

小组讨论图像性质

对比图像性质

自己作答案

小组交流

代表板书

同伴交流

板书设计
1、画图像步骤、 2、画图像 3、图像性质 4、练习
教学
反思

教学课题
2.2 二次函数图像性质（2）
课时安排

教
学

目

标

知识与
技 能
1.能作出二次函数和的图象，并能够比较它们与二次函数的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。

问 题
解 决
经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。

情 感
价 值
体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
教学重点
和图象的作法和性质
教学难点
能够比较、和的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
教具准备
投影片、三角板
学具准备
三角板

教 师 活 动
学 生 活 动

一、课前展示

二、新知索引

三、运用新知

四、变式引申

五、展示风采

六、总结收获

活动一、回顾展示
1.二次函数y＝x2与y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有y＝x2与y＝-x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
活动二、画图小结
1.在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(1)完成下表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
活动三、 议一议
活动内容：
1.在同一直角坐标系内作出函数与y＝2x2+1的图象，并比较它们的性质．
2.在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质．
活动四、师生互相交流总结：
1.作二次函数图象的步骤：列表、描点、连线。
2. 快速、准确的说出和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
3. y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
活动五、反馈训练
填空1、y＝-2x2向上平移两个单位得到（ ）顶点坐标（ ）有最（ ）值是（ ）.
2、 y＝2x2+1把向下平移3个单位得到（ ）对称轴是（ ）.

让学生作出完整的二次函数图象（在第二环节只是画了一半的图象，原因是速度只能是正数），然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数的系数对图象的影响。

学生小结

学生讨论得出结论

对比小结

学生自练

板书设计
1、图像性质；2、对比小结

教学课题
2.2 二次函数的图象与性质（3）
课时安排

教
学

目

标
知识与
技 能
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
问 题
解 决
经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。

情 感
价 值
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重点
理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
教学难点
y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
教具准备
投影片、三角板
学具准备
三角板

教 师 活 动
学 生 活 动
一、课前展示

二、新知索引

三、运用新知

四、变式引申

五、展示风采

六、总结收获

活动一
二次函数y=3（x－1）2+2的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？
活动二、做一做
1、做一做：先作二次函数y=3(x-1)2的图象，再回答问题。
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x2

3(x-1)2

（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
活动三、议一议
（1）在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（2）x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
（3）猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状.
（4）请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
活动四、二次函数y=a(x-h)2的性质
1.顶点坐标与对称轴；
2.位置与开口方向；
3.增减性与最值.
抛物线
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a＜0)
顶点坐标
（h，0）
（h，0）
对称轴
直线x＝h
直线x＝h
位置
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x＝h时，最小值为0
当x＝h时，最大值为0
开口大小
|a|越大，开口越小
3．想一想
（1）在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
（2）二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象；y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.

总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质
1.顶点坐标与对称轴；
2.位置与开口方向；
3.增减性与最值.
抛物线
y=a(x-h)2＋k (a>0)
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x＝h
直线x＝h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x＝h时，最小值为k
当x＝h时，最大值为k

活动内容：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:

2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
（3）对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?

学生展示

学生动手做图像

比较两个图像关系

回答问题，小组讨论

小组分工讨论回答

二次函数性质归纳

图像性质小结

学生理解记忆

代表总结

学生展示

学生小结
板书设计
1.二次函数图像对比2、性质小结3、训练题目
教学
反思