春八年级数学下册 第1章 三角形的证明 1 等腰三角形教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

1　等腰三角形
第1课时　三角形的全等和等腰三角形的性质
教学目标
一、基本目标
1．了解作为证明基础的8条公理的内容．
2．使学生经历“探索—— 发现——猜想——证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理．
3．让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式．
4．经历作辅助线的证明过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系．
二、重难点目标
【教学重点】
等腰三角形的性质及推论．
【教学难点】
运用等腰三角形的性质及推论解决相关问题及证明的书写格式．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
3．等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角．
4．等腰三角形“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．
5．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(　B　)
A．BD＝CD
B．AB＝AC
C．∠B＝∠C
D．∠BAD＝∠CAD

6．如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是(　D　)
A．∠1＝∠2　 B．AC＝CA
C．∠D＝∠B　 D．AC＝BC
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝(　　)

A．80°　 B．100°　　
C．140°　 D．160°
【互动探索】(引发学生思考)由边相等可以得到什么？这与∠BCD有什么关系？
【分析】∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°－∠BAD＝280°.又∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280°÷2＝140°.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)求角的度数时，需根据实际情况分析：(1)在等腰三角形中，要考虑三角形内角和定理；(2)有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；(3)两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.
【例2】等腰三角形的一个角等于30°，求它其余两角的度数．
【互动探索】(引发学生思考)等腰三角形的角有什么特征？已知角是顶角还是底角？
【解答】分情况讨论：
当底角为30°时，顶角度数为180°－2×30°＝120°；
当顶角为30°时，底角度数为(180°－30°)÷2＝75°.
综上，该等腰三角形其余两角的度数为30°，120°或75°，75°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．至少有两边相等的三角形是(　B　)
A．等边三角形　 B．等腰三角形
C．直角三角形　 D．锐角三角形
2．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝68度．
3．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于15.
4．如图所示，已知AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55度．

5．如图所示，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.

证明：∵∠1＝∠2，∴BD＝DC.∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．

【互动探索】根据等腰三角形“三线合一”可得AE⊥BC→求出∠CDE→根据“直角三角形两锐角互余”求出∠DCE→根据角平分线的定义求出∠ACB→根据“等腰三角形两底角相等”列式求出∠BAC.
【解答】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角平分线或底边上的高与其他两线互相重合．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．两三角形全等的判定：AAS、ASA、SSS、SAS.
2．等腰三角形
练习设计
请完成本课时对应练习！

第2课时　等边三角形的性质
教学目标
一、基本目标
1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的性质．
2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．
3．把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处．
二、重难点目标
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的相关性质．
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等．
2．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
3．一个等腰非等边三角形中，它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条)(　B　)
A．9　 B．7　　
C．6　 D．5
4．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(　B　)
A．顶角　 B．顶角的一半
C．顶角的2倍　 D．底角的一半
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC.

【互动探索】(引发学生思考)要证DE∥BC，需证∠ADE＝∠ABC，从而结合已知条件考虑证△BEC≌△CDB即可．
【证明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，∴∠EBC＝∠DCB.在△BEC和△CDB中，∵ ∴△BEC≌△CDB，∴BD＝CE，∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
【例2】如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE、DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

【互动探索】(引发学生思考)由△ABC是等边三角形可以得到哪些结论？如何利用这些结论求∠CED?
【解答】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．

活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为(　D　)
A．120°　 B．135°　　
C．145°　 D．150°

2．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论正确的是(　A　)
①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A．全部正确　 B．仅①和②正确
C．仅②和③正确　 D．仅①和③正确
3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为50°或130°.
4．如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，求∠α的度数．

解：如题图，过点C作CE∥直线m.∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°.在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60°，∴∠α＝40°.
5．如图，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数．

解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵ ∴△AMB≌△BNC，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.

活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.

【互动探索】要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．
【证明】连结BD.∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°.在△DMB和△DME中，∵ ∴△DMB≌△DME，∴BM＝EM.
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以利用三角形全等得到．此外，要明确等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．

环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等．
2．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
练习设计
请完成本课时对应练习！

第3课时　等腰三角形的判定与反证法
教学目标
一、基本目标
1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
2．了解反证法的基本证明思路，培养学生的逆向思维能力，并能简单应用．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握等腰三角形的判定定理．
【教学难点】
利用反证法进行证明．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P8～P9的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边．
2．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
3．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设三角形的三个外角中，有两个锐角．
4．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有(　D　)

A．2个　 B．3个　　
C．4个　 D．5个

环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，结合已知条件考虑证明CE＝CF即可．
【证明】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【例2】求证：△ABC中不能有两个钝角．
【互动探索】(引发学生思考)用反证法证明时，假设什么？
【证明】假设△ABC中能有两个钝角，不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，
因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
【互动总结】(学生总结，老师点评)反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，则必须一一否定．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　C　)
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有(　D　)
A．1个　 B．2个　　
C．3个　 D．4个

3．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有3个．
4．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．
证明：不妨设等腰三角形△ABC中，∠A为顶角，则分情况证明．①设∠B、∠C都是直角，则∠B＋∠C＝180°，故∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②设∠B、∠C都是钝角，则∠B＋∠C＞180°，故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①②错误，所以∠B、∠C只能为锐角，即等腰三角形的底角必为锐角．
5．如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，交BC于点E，且BD＝BE，求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠1＝90°，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠1.∵BD＝BE，∴∠2＝∠D.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A＋∠D＝∠C＋∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．

活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

【互动探索】(1)根据“等边对等角”可得∠B＝∠C，从而利用“边角边”证明△BDE≌△CEF，进而根据“全等三角形对应边相等”可得DE＝EF，即可证得结论；(2)根据“全等三角形对应角相等”可得∠BDE＝∠CEF，从而得到∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的外角定理求出∠B＝∠DEF，进而求出∠DEF.
【解答】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵ ∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－∠A)＝65°，∴∠DEF＝65°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．
2．反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
练习设计
请完成本课时对应练习！

第4课时　
等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
教学目标
一、基本目标
1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这些定理解决一些简单的问题．
2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
二、重难点目标

【教学重点】
等边三角形判定定理的发现与证明．
【教学难点】
理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P10～P12的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为(　A　)
A．120°　 B．130°　　
C．150°　 D．160°
4．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　D　)
A．①②③　 B．①②④
C．①③　 D．①②③④
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
【互动探索】(引发学生思考)证明△ABC是等边三角形应从哪些角度考虑？(边、角)．结合已知条件，本题应从边的角度考虑证明△ABC是等边三角形．
【证明】原关系式整理，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是(　　)

A．3 cm　 B．6 cm　　
C．9 cm　 D．12 cm
【互动探索】(引发学生思考)在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.即AB的长度是12 cm.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．若三角形中，三条中线都垂直于所对的边，则此三角形是(　D　)
A．等腰三角形　 B．钝角三角形
C．直角三角形　 D．等边三角形
2．下列说法错误的是(　C　)
A．等边三角形是等腰三角形
B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
D．有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形
3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝60°.
4．在△ABC中，∠B＝∠C＝15°，AB＝2 cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是1 cm.
5．如图所示，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．

解：∵PA＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°.∵PA＝PB，∴∠B＝∠PAB.又∵∠B＋∠PAB＝∠APQ＝60°，∴∠PBA＝∠PAB＝30°.同理，∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【互动探索】由CE＝CD，EB＝ED，根据“等边对等角”及三角形外角性质，可得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．
【解答】△ABC是等边三角形．证明如下：
∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.
又∵∠ECB＝∠CED＋∠D，
∴∠ECB＝2∠D.
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D，
∴∠ECB＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠ECB.
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，
∴∠ECB＋∠ECB＋90°＝180°，
∴∠ECB＝60°.
又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．等边三角形的判定定理：

2．含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
练习设计
请完成本课时对应练习！