山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 5.4 三角形的全等复习教案 北师大版.doc

5.4三角形的全等复习教案

教学目标
1．熟练应用三角形的性质及判定定理证明线段相等、角相等，能识别两个三角形全等或通过识别两个三角形全等来进一步解决问题．
2．会利用基本作图解决一类与之有关的尺规作图问题，并注意作图的有关要求以及轴对称、旋转变换．
3．深刻体会通过构造全等三角形，灵活“转化”问题的思路．
教学重点与难点
重点：利用三角形全等证明线段或者角相等．
难点：构造三角形全等，灵活“转化”问题．
教法与学法指导
复习课课堂上要以学生分析为主，教师在教学中扮演着点拨、解惑等角色，体现“教师为主导，学生为主体，能力培养为核心”的教学原则．以训练为主线，突出重点，指向双基，面向全体学生．在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系；给予学生充足的空间展示复习结果，及时了解学生的理解情况，使学生信息能及时得到反馈，以便迅速进行查漏补缺，达到复习的目的．
课前准备：
教师准备：多媒体课件．
学生准备：学生梳理有关三角形全等的内容，复习课本七下第五章、九上第一章．
教学过程：
一、情感交流，激志导入
师：同学们在前面的复习中表现的很棒！夯实基础是成功的基础！让我们踏上“三角形全等动车组”继续向前挺进！（语气激扬）
（教师板书课题：第五讲 考点4 三角形的全等）
学生精神饱满，情绪高涨.
师：三角形全等这部分内容是中考数学试题命题的重要组成部分，这部分知识我们接触的比较早，使用的也相对比较熟练，结合我们的学习经历都知道全等知识穿插在初中很多的知识点中．我们找同学展示一下课前知识梳理.
设计意图：通过情感交流入复习课，调动学生学习的积极性；更快的让学生进入角色，为本节复习课奠定基础.
二、知识梳理，厚积薄发
（多媒体展示，课前学案完成）
考点一 全等图形及全等三角形
1．两个能够完全________的图形称为全等图形，全等图形的形状和________都相同．
2．能够完全______的两个三角形叫全等三角形．
[注意]完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同； (2)图形的大小相等．
考点二 全等三角形的性质
1．全等三角形的对应边________；对应角________；
2．全等三角形的对应边上的高________；全等三角形的对应边上的中线________；全等三角形的对应角的平分线________．
考点三 三角形全等的判定方法
1．三条边对应相等的两个三角形全等(记为___)；
2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(记为____)；
3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(记为_____)；
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(记为______)；
5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(记为______) ．
【易错点】满足下面的条件的三角形也是全等三角形：
1．有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等；
2．有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；
3．有两角和其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等；
4．有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等；
5．有两边和其中一条边上的高对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等；
6．有两边和其中第三条边上的高对应相等的两个两个锐角(或钝角)三角形全等．
考点四 尺规作图
1．基本尺规作图：作角的平分线，作线段的垂直平分线，作一角等于已知角．
2．按给定条件，如“边边边”、“边角边”、“角边角”作三角形．
全等三角形中常见的基本图形：

你能理清顺序，全盘把握吗？

（导学案提前下发，学生在导学案中填空．）
（展台展示学生的导学案，学生一起检查并纠正错误，教师多媒体展示答案．）
设计意图：课下预习，温故所学，夯实基础．掌握初中所学的统计的基本概念；节省课上时间，为知识拓展打下基础．而知识结构网络，理清各板块内容间的联系，学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的.
三、预习诊断，把握学情
诊断题：
1.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A、72° B、60° C、58° D、50°

2.（12•柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　）
A、PO B、PQ C、MO D、MQ
3.如图，已知AB=AD那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）
A、BC=DC B、∠BAC=∠DAC C、∠BCA=∠DCA D、∠B=∠D=90°

4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有( )
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
（学生独立完成后逐题分析，教师适当点评）
师：下面请同学分别说明每题考查的知识点及解题方法.
生1：本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，∠α是边a、c的夹角，所以它的对应角是（180-58-72），所以答案选D．
师：三角形全等是证明线段相等或者角相等的常用方法之一，找准对应．
生2：本题考查的是利用三角形全等全等解决实际问题，所求的线段MN的对应边是PQ，PQ=MN.所以答案选择B.
师：本题考查的知识给我们提供了一种利用全等三角形测量无法直接测量两物体之间距离的方法.（多媒体展示）
如图，找可以直接到达点M、N的一点O，在MO的延长线上取一点Q，使QO=MO；在NO的延长线上取一点P，使PO=NO，此时测得PQ的长度就是MN的长度。

生3：本题考查的是三角形全等的判定，两个三角形有一组边对应相等还有一组公共边，选项A，可以利用SSS证明三角形全等；选项B可以利用SAS证明三角形全等；选项D可以利用HL证明三角形全等；选项C不能证明三角形全等，所以答案选C．
师：已知三角形有两条边相等时，要证明三角形全等，第三个条件是角时必须是两条边的夹角，不是夹角不一定能说明两个三角形全等，例如
（多媒体展示）
如图，△ABC与△ACD，中AC=AC，∠ACB=△ACB，AB=AD，但是很显然△ABC与△ADC不全等.

生4：本题综合考察考查三角形全等的各种方法，由等腰梯形的相知可知，同一底上的两个底角相等和对角线相等可以提供很多的角相等和变相等，因为这个题是选择题所以在选择的时候我只是看两个三角形的形状没有具体的写出完整步骤，可以快速的完成本题，答案选择B．
师：这位同学选择了一个很聪明的方法，但是数学是严谨的，在时间允许的情况下，我们最好把问题分析透彻，下面哪位同学把全等的三角形指出来并说明全等的依据.
生5：△ABD≌△ACD(SAS)；
△ABO≌△DCO(AAS)；
△ABC≌△DCB(SAS)．
设计意图：对于复习课很多学生认为是自己学过的知识，课堂不具有挑战性，没有意义.针对学生的这一心理，本节课先让学生做预习诊断题，在自我诊断的过程中自主发现存在的问题，以便有更明确的目标进行复习、训练，教师在题后适当点拨，引导学生初步回顾各知识点的应用．
考试要求
（多媒体展示，同教学目标）
备考兵法
1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．
2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，会在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．
设计意图：通过课前检测的热身，对本节课内容进行梳理，明确考试要求及解题策略，对知识进行整体感知，形成知识体系．
四、热点跟踪，基础过关
师：我们共同来看一下中考中本节的知识点的呈现方式．
（多媒体依次出示热点）
（学生参考学案中的三个热点，针对自己的完成情况展示师生交流）
热点一：全等三角形的性质
1.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，在不添加新点的情况下，作出两条相等的线段，并说明理由.
【师生共析】
因为两个三角形都是等边三角形，提供了相等的角和相等的线段，为证明三角形全等提供了条件，连接AD、BE，可证明△ACD≌△BCE.
【学生板演】
解：连接AD、BE，则AD=BE.
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
师：如果把△CDE绕着点C旋转一定的角度，这个结论依然成立.

如果把两个等边三角形都换成等腰直角三角形也有相同的结论，如图.

如果连接AE、BD，则有AE=BD.
（09，兰州）如图在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

【师生共析】
由上题可知AC=BD，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.
【学生板演】

（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）
设计意图：本组两个题目的设置是有一定的联系的，这样选择既可以减轻学生的课堂压力也可以让学生接触更多的题型，第一题是学生学习时的常见题型，也为解决第二题做了很好的铺垫．让学生进一步感受三角形全等的作用．
热点二：全等三角形的证明
2．（12，绍兴）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.
【师生共析】
（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数.
（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB=∠CMN.
【学生板书】
（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）
（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°.
又∵∠ACD=114°，
∴∠CAB=66°.
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°.
（2）证明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA.
∴∠CAN=∠CMN.
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC.
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，
∴△ACN≌△MCN（AAS）.
师：本题叙述了角平分线的作法，其实通过角平分线的作法体现了三边对应相等两个三角形全等，全等三角形对应角相等，所做的射线是一直角的平分线.

如图，已知，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 ；
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 .
设计意图：通过两个题目的训练让学生进一步规范三角形全等证明过程，不能因为接触的时间长，用得熟练而放松对步骤的规范性，中考中不能造成不必要的失分．
热点三：全等三角形与其他知识融合
3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的点，F是AB上的点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm,矩形ABCD的周长是32cm,求AE的长.
【师生共析】
矩形的周长是长和宽和的2倍，设AE的长可以表示出AD、CD的长，可以证明△AEF≌△DCE得到AE=DC.
【学生板书】
（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）
解:∵四边形ABCD矩形，
∴∠A=∠D=90°．
∵EF⊥EC，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∵EF=EC，
∴△AEF≌△DCE(AAS)．
∴AE=DC．
∵矩形ABCD的周长是32cm，
∴AE+DE+DC=16．
即2AE+4=16，
AE=6cm．
如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，弦AD∥OC.
求证：CD是⊙O的切线．

【师生共析】
CD与⊙O的公共点明确，只要证明CD⊥OD即可，题目中∠ABC是直角，可以证明△OCD≌△OCB，得到∠CDO=∠CBO=90°．
【学生板书】
（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）
设计意图：通过考试中有关三角形全等的热点问题的探究，让学生把握好这一知识点的命题方向和考查方式，提高学生的解题能力.
五、典例探究，发散思维
例1 （2011·枣庄）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
求证：EF=CF；
【师生合作分析】
师：要证明两条线断相等EF=CF常用的方法有哪些？
生：（齐声）证明三角形全等或者等角对等边.
师：在这个题目中你选择哪种方法？
生：可以证明△EDF≌△CDF即可.
师：通过已知可以发现这组三角形有哪些量是相等的？
生：两个三角形已知一个内角相等和一条公共边，
师：第三组相等的条件应该如何寻找？
（学生陷入思考，相当多的同学感到很困惑）
师：四边形ABCD中是什么图形？
生：直角梯形.
师：梯形常作的辅助线有哪些？
生：梯形常作作的辅助线是，平行一腰或者作底边的高，而对于直角梯形这两种辅助线就是一条.
师：作出这条高线，看看有什么发现？
（学生作图探究）
生：过D作DG⊥BC于G，可以证明△ADE≌△GDC，从而得到DE=DC所以△EDF≌△CDF.
【学生板书】
解：（1）过D作DG⊥BC于G．
由已知可得，四边形ABGD为正方形．
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC．
∴DE=DC，且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，
∴△EDF≌△CDF．
∴EF=CF．
设计意图：这道题目是枣庄市最近几点中考题中有关全等三角形比较典型的题目，还有一定的难度，让学生仔细分析题目，结合图形的特点得到解题思路.
六、课堂小结，反思提高
1.通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？
（学生自由回答）
2.本节课的学习值得思考的还有是什么？
（学生自由回答）
设计意图:组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．
七、课堂检测，达标反馈
1．（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　）
A、SSS B、ASA
C、AAS D、角平分线上的点到角两边距离相等
2．（2012•济宁）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）
A、12cm B、16 cm C、20 cm D、28 cm
(提示：先求出△EFH是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=20，再利用全等三角形的性质解答即可．)
3．（2012•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是 ( )
A、DF=BE B、AF=CE C、CF=AE D、CF∥AE
4．（2012•临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　　）
A、AC=BD B、OB=OC
C、∠BCD=∠BDC D、∠ABD=∠ACD
5．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=
设计意图：通过基础训练，考点达标，及时获知学生对所复习知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
八、布置作业，课后促学
必做题：复习指导丛书 P88 第1—9题．
选做题：复习指导丛书 P89 第10题．
设计意图：作业分层，让基础不同、能力不同的学生，各取所需，个性发展．
板书设计：
5.4 三角形的全等
知识梳理

热点跟踪
典例分析

学生板演区

教学反思：
闪光之处：复习课如果上成串知识点或练习课那就失去了复习课的意义，复习课其实是旧知识新应用，因此必须精选好例题和习题.好的例题习题的设计是整堂复习课的灵魂，一个好的例题能激起学生学习数学的兴趣，合理的变式会激起学生探索的欲望.通过变式训练，能让学生掌握解决这一类问题的基本方法，起到举一反三、触类旁通的作用.
本节课大多数题目有学生来完成，我只是做了个别的点拨，大胆放手，让学生充分发挥他们的主动性，因为我放开了，学生真正成为学习的主人.作为教师，还应继续更新教育观念，要有创新精神，对学生在学习上要放手，培养他们学会学习、学会合作、学会探究，变被动为主动、变不会学为会学，逐步养成良好的学习.
不足之处：在主观认识上以为全等形的知识学生比较熟悉，而且又在课前完成了学案，所以很多题目都是学生独立完成，学生小组合作还要加强.还有个别地方给学生留的思考时间不足，对于临界生的关注度还有待提高.
再教建议：在上复习课过程中题目数量是不好控制的，尤其在45分钟内要完成所有教学任务就很难做到面面俱到，所以合理的借助学案可以提高课堂效率，针对学生出现的问题针对性的引导、分析、总结，真正起到复习的目的，让学生有一次质的提升．对于过于简单且学生掌握较好的部分教师可以在学案批阅中加以简单点评或者课堂多媒体展示中适当的点拨即可，充分合理利用好45分钟，真正实现“堂堂清”的目的.