九年级数学上册：22.2降次——解一元二次方程（4）教案新人教版.doc

22.2降次——解一元二次方程（4）
教学内容
本节课主要学习用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用。
教学目标
知识技能
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
数学思考
从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
解决问题
　用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况．
情感态度
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
重难点、关键
重点：理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
难点：用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
关键：从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、 复习引入
【问题】
用公式法解下列方程,并说明根的情况（三位同学到黑板上作）
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
老师点评：
（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；
（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；
（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生独立利用公式法解上述3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题过程，总结一元二次方程根的规律和的关系
【设计意图】
复习用公式法解一元二次方程，为继续学习根的判别式作好铺垫．
二、 探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
【活动方略】
学生活动：
学生通过思考，归纳结论
老师活动：
在学生讨论时，注意引导学生根据平方根的意义，得出结论。
【设计意图】
推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
【应用】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
　（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根．
　（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
∴方程有两个不相等的实根．
【活动方略】
学生活动：
学生首先独立思考，自主探索，然后交流
教师活动：
在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题。
【设计意图】
主体探究、通过解几个具体的问题，进一步体会一元二次方程的根与的关系．
三、 反馈练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-=0
（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0
（7）x（2x-4）=5-8x
　　【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况.
四、 应用拓展
例1：某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙．现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由．
【活动方略】
学生活动：
学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题。
教师关注：
（1）学生是否能够迅速设出未知数，列出方程；
（2）学生是否能够准确判断问题的答案；
（3）学生能否选择合理的解决问题的方案．
例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
　　　　 a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
　　 ∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
应用根的判别式与根的情况解题，深刻体会一元二次方程的根与的关系．

五、 小结作业
1．问题：
本节课学到了哪些知识？有什么体会？
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
2．作业：课本P45 习题22．2 　 第9、11、12题
　【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。