九年级数学下册 2.5用三种方式表示二次函数教案1 北师大版.doc

2．5 用三种方式表示二次函数
教学目标
(一)教学知识点
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
(二)能力训练要求
1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．
2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．
2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．
教学重点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
教学难点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
教学方法
讨论式学习法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2．5 A)
第二张：(记作§2．5 B)
第三张：(记作§2．5 C)
第四张：(记作§2．5 D)
教学过程
Ⅰ. 创设问题情境，引入新课
[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：
x(千克)
0
0．5
1
1．5
2
2．5
3
y(元)
0
1
2
3
4
5
6
这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好?
Ⅱ．新课讲解
一、试一试
投影片；(§2．5 A)
长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗?
(1)用函数表达式表示：y= .
(2)用表格表示：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10-x

y

(3)用图象表示：
[师]请大家互相交流．
[生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为：

y＝x(10-x)=-x2+10x
(2)表中第二行从左至
右依次填9、8、7、6、5、
4、3、2、1；第三行从左至
右依次填9、16、21、24、25、
24、21、16、9.
(3)图象如右图．
[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限．可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢?
[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．
[师]大家同意这种说法吗?
[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x的图象，就不是在第一象限作图象了．
[师]非常棒．
二、议一议
投影片：(§2．5 B)
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么?
(2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y随x的变化而变化的情况．
[师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流．
[生](1)因为x是边长，所以x应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0<x<10．
(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝-x2+10x化成顶点式．当x＝-时，函数y有最大值.
∴y=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x)
=-(x2-10x+25-25)
=-(x-5)2+25．
∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2．
可以通过观察图象得知．
也可以代入顶点坐标公式中求得．
当x=-=5时，
y最大==25cm2.
当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小。
[师]回答得棒极了．
这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大．
三、做一做
投影片：(§2．5 C)
两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗?
1．用函数表达式表示：y＝ .
2．用表格表示：
x

y

3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式问答下列问题：
(1)白变量x的取值范围是什么?
(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(3)如何描述y随x的变化而变化的情况?
(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的?
[师]请大家互相交流．
[生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积y=x(x-2)＝x2-2x所以函数的表达式为y＝x2-2x．
2.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
15
8
3
0
-1
0
3
8
15

3．图象如右图．
4．(1)因为数可以
是正数、负数和零，所
以x的取值范围为任何
实数．
(2)y=x2-2x=(x2-2x
+1)-1＝(x-1)2-1．
因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)．
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大．
(4)通过观察图象可知．
四、议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点?它们之间有什么联系?与同伴进行交流．
[生]表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系．
它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象．
[师]很好．下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系．
投影片：(§2．5 D)
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要．
它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示．
Ⅲ：课堂练习
1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?

(2)完成下表：
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数

(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．
(2)从左至右应填1，3，6．10，15．
(3)m=.
Ⅳ．课时小结
本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．
Ⅴ．课后作业
习题2．6
Ⅵ. 活动与探究
2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么?
(2)完成下表；

边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数

(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)第1个图形中有1个小圆圈．
第2个图形中有1+6=7个小圆圈．
第3个图形中有7+2×6=19个小圆圈．
第4个图形中有19+3×6＝37个小圆圈．
(2)从左至右填1．7，19，37，61．
(3)m＝6×+1＝3n2-3n+1．
板书设计
§2．5 用三种方式表示二次函数
一、1.试一试(投影片§2．5 A)
2．议一议(投影片§2．5 B)
3．做一做(投影片§2．5 C)
4．议一议(投影片§2．5 D)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业