八年级数学下册 1.1.3 等腰三角形教案2 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

课题：1.1 等腰三角形（3）
教学目标：
1. 证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.
2. 初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.
3. 体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
教学重点与难点：
重点：等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义.
难点：运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.
教法与学法指导：
教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练．
学法：发挥学生的自主学习意识，引导学生积极探索，利用小组合作学习，鼓励同学间互相交流、互相补充．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决实际问题的方法．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、复习提问，导入新课
活动内容：回答下列问题.
问题1：等腰三角形有哪些性质？
问题2：你能画出图形，用数学式子表示出等腰三角形的性质吗？
问题3：如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A= ∠B．如果这两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
处理方式：先让学生回顾交流，再让学生口答，如问题 1：等腰三角形的两个底角相等.简称：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称三线合一. 问题2：让学生画出图形，渗透数形结合的思想，用数学式子表示出等腰三角形的性质.问题3：引导学生解答.由问题3提出：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？今天我们就来探索这个问题，从而引入出新课．
设计意图：回顾等腰三角形的性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力,调动其积极性，使学生可以积极主动的快速进入到学习状态，同时为本课的学习做好铺垫.
二、探究学习，获取新知
活动1：证明“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.”是真命题.
前面，我们已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题吗？
多媒体出示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
处理方式：根据性质定理的逆命题画出图形，写出已知，求证．
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
处理方式：学生分组讨论，探讨证明的思路．由等腰三角形的两底角相等的证明获得启发，引导学生作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法证明它们全等．因为我们得到的条件是两边及其中一边的对角对应相等，是不能够判断两个三角形全等的．然后让两名学生上黑板写出证明过程，其他学生自己思考解决，体现学生自主解决问题的能力，最后学生纠错，教师引导，直至规范.
参考答案：
证法一：作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中，

A
B
C
D
∵ ∠B＝∠C，
∠1＝∠2，
AD＝AD，
∴ △BAD≌△CAD（AAS）．
∴ AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．
证法二：作BC边上的高AD．
在△BAD和△CAD中，
∵ ∠B＝∠C，
∠ADB＝∠ADC=90°
AD＝AD，
∴ △BAD≌△CAD（AAS）．
∴ AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．
教师总结定理的运用语言：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
设计意图：本环节主要证明“等角对等边”，先由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法；再让学生发言提供解题思路，互相纠正出现的问题，这里体现学生的合作学习共同学习，并给予鼓励性评价.
活动2：学以致用
知识在于应用，下面我们通过例题来学习等腰三角形判定定理的简单运用．（多媒体出示）
例2 已知：如图，AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形．
处理方式：引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程.
参考答案：
A
B
E
C
D
证明:在△ABD和△DCA中，
∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA（SSS）.
∴∠ADB=∠DAC．
∴AE=DE(等角对等边).
∴△AED是等腰三角形.
设计意图：进一步规范学生的证明过程.
巩固训练、举一反三：
一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的 距离．同学们想出了 很多方法，其中小明的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向
前进至C，在C处测得∠C=30°．量出AC的长，就是河的宽度（即A，B之间的距离）．这个方法对吗？请说明理由．

处理方式：让学生体会数学来源于生活，同时又反作用于生活，让学生完成证明的书写过程，使学生更好的明确解题规范，同时也是一个很好的巩固练习.
设计意图：增强学生的数学应用意识，让学生体会数学的应用价值；所以我设计了这样两道应用的问题，也更为了提高学生的学习兴趣与积极性，培养勇于探索的探索精神．
活动3:探索反证法
A
C
B
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，
要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得
∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
师生共同总结反证法步骤：
（1）假设：假设命题的结论不成立．
（2）归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果．
（3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
处理方式：停留半分钟时间，让学生明确用综合法证明本结论是行不通的，从而，产生要探究一种新方法的欲望，结合课本小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中的作用.
设计意图：反证法学生比较难以理解,因此我在教学中先让学生独立思考,然后让学生判断命题的真与假．
活动4：学以致用
例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：△ABC中不能有两个角是直角．
处理方式：按反证法证明命题的步骤，首先要假设结论的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．从而肯定命题结论的正确.
参考答案：
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
即设∠A=90°， ∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
因此∠A 和∠B是直角的假设不成立,
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
设计意图：例题设计可以让学生熟悉反证法的步骤，规范学生的书写，减轻学生理解上的压力.
三、课堂练习，巩固提高
1.（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8
2．（2014•泉州）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=　 　°．

3．已知5个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于.
处理方式：学生独立完成，师巡视、了解情况，等大多数都完成时，让生辨析正误，同时同桌互换批改，老师可以稍作点拨，让出错的同学纠错.
设计意图：注重基础的夯实，能力的提升．使学生对所学知识得以巩固，都能获得成功的喜悦．
四、课堂小结，纳入系统
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
处理方式：同学之间相互讨论，几名同学起立谈体会，收获和不足.
设计意图：总结归纳是一节课所学知识的升华，是对所学知识有一个完整而深刻系统的认识，所个这个环节是必做的．让学生畅谈体会，收获和不足，让学生养成及时反思的习惯．同时，引导学生对知识方面、方法技巧方面的归纳，以形成知识网络．
五、课堂检测，反馈矫正
1．（2014•日照）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（　　）
　A．5个 B． 4个 C． 3个 D．2个
2.（2014•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（　　）
　 A． 30 B． 45 C． 60 D． 90
3．（2014· 海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ．
A
B
C
D
E
3题图

4.(2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
处理方式：8分钟后课件出示答案，全班反馈、矫正．教师及时评价！
设计意图：检测题注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．
六、课后延伸，布置作业
必做题：课本第9页 习题1.3 第1、2、4题．
选做题：如图为一个残缺的等腰三角形铁片（只剩下∠B和一边BC），你能否想法将它恢复原状．
设计意图：作业采取自选题的形式，必做作业让学生巩固基础所用，选做作业是对有余力的学生提供更大的思维发展空间．
板书设计：
1.1 等腰三角形（3）
定理：等角对等边
例2：

学生板演处

反证法：
学生板演处
例3：反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．

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