八年级数学上册 勾股定理证明教案 湘教版.doc

勾股定理
【教学内容】湘教版八年级数学上册第95～98页
一、教学目标
1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
三、教学过程
（一）、新课引入
已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？
（二）、探究定理
1、画一画：
让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
2、做一做
（1）、如图1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。
R
P
正方形
P
Q
R
面积
9
16
25
Q
思考：
问题1：这三个正方形的面积分别
为多少？你是怎么求的？
问题2：这三个正方形的面积之间满足一个
什么等式？ 图1
问题3：正方形的面积等于边长的平方，那
么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？
问题4：我们前面说过：在直角三角形中，
我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，
斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？

（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？
3、议一议
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
4、猜一猜
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有
a2＋b2=c2
【过渡语】
猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。
5、探一探（小组活动）
⑴、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分别标好a,b,c，拼出一个边长为c 的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图2）。
b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a

图2

【小组合作探究】，思考：
问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？
问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？
问题3：大正方形由哪几个图形构成？
问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？
问题5：分别怎么来表示它们的面积？
⑵、证明：如图2左（赵爽弦图）所示，其等量关系为：
4S△+S小正=S大正 即
4×ab＋（b－a）2=c2，
c
b
C
a
B
A

化简可证。右图证明请同学们课后自己思考，教材第96－97页有另一种证法，请同学们现在用2分钟看完。

6、归纳总结
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有
a2＋b2=c2。
图3

我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？
（1）介绍《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五 这个规律
（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；
c2=a2 + b2
（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．
（4）反思：公式变形：

a2=c2－b2
b2 =c2-a2

说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。
问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？
问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？
结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。

（三）、勾股定理的应用
1、例题分析：
例1、如图4，在△ABC中，∠C＝900，AB=17,AC=8，求BC的长。 A
分析：在这个直角三角形中，已知斜边和
条直角边，求另一条直角边。根据勾股定 8 17
理可得
图4
C B
BC===15
方法小结：利用勾股定理建立方程。
2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究）
（四）解决问题：
A
解：如图5，在直角△ABC中
AC = 6 , BC =8
已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？
6

所以 AB2 = AC2 + BC2
= 62 + 82
= 100

C
B

8
所以 AB = 10

答：猫头鹰至少要飞10米.

图5

（五）小结：
1、本节课我们经历了怎样的过程？
2、本节课我们学到了什么？
3、学了本节课后我们有什么感想？
（六）拓展练习：
如图6，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_________cm2。

图6

（七）作业：
1、教科书第98页练习
2、查资料找勾股定理其他证法。

四、教学反思
新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：
一、让学生主动想学
上这节课前一个星期教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上．同时培养学生的自学能力及归类总结能力。
二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究
首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。
三、教会学生思维，培养学生多种能力
课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力……
四、注重了数学应用意识的培养
数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。
整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔