八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.1《等腰三角形》教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学教案.doc

《等腰三角形》
第1课时
教学目标
知识与技能：
1、了解等腰三角形的概念；
2、探索并掌握等腰三角形的性质；
过程与方法：
1、经历动手制作出等腰三角形的过程，从对称轴的角度去体会等腰三角形的特点；
2、通过实践、观察、证明等腰三角形性质的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力；
3、通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
情感态度与价值观：
1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形的性质的过程中培养学生认真思考的习惯.
2、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲；
教学重难点
教学重点：
1、等腰三角形的概念及性质．
2、等腰三角形性质的应用．
教学难点：
1、等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
2、等腰三角形性质的证明.
教学过程
一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
如图(1)，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？

图(1)
二、学生活动设计：
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．
教师活动设计：
让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图(2)：

图(2)
△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．
学生观察、归纳并展示结论，教师适时引导(如指出：重合即相等)，结合学生的猜想给出性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.(板书在黑板上)
教师在学生的猜想基础上，引导学生观察、完善、归纳出等腰三角形的性质1和性质2.
三、等腰三角形性质的证明

已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B＝∠C
证明：取BC边的中点D，连接AD
D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B＝∠C(全等三角形对应角相等)
受性质1的证明的启发，由△ABD≌△ACD，还可以得出
从而.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角，并垂直于底边BC.
教师在上面证明的基础上添加下面证明步骤：

师：用类似方法，我们还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，地边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了性质2.
四、随堂练习，变式训练
求等腰三角形个角度数：
(1)在等腰三角形中，有一个角的度数为36°.
(2)在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.
归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数，求其它两角时，
(a)若已知角为钝角或直角，则它一定是顶角；
(b)若已知角为锐角，它可能是顶角，也可能是底角.
五、小结
请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容.等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
第2课时
教学目标
1、理解并掌握等腰及等边三角形的定义，探索等腰、等边三角形的性质和判定方法定
2、体会等腰、等边三角形与现实生活的联系．
3、能够用等腰、等边三角形的知识解决相应的数学问题．
教学重难点
教学重点：等腰、等边三角形的性质．
教学难点：等腰、等边三角形性质应用．
教学过程
一、知识回顾：
1、回顾一般三角形定义及判定定理
2、当两边相等边的三角形是什么三角形？它有什么特点？假如它三边相等呢？它又是什么三角形？
二、教学内容
等腰三角形：等腰三角形基本概念；有两边相等的三角形叫作等腰三角形；相等的两边叫作腰，另一边叫作底边；两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．
1、等腰三角形的基本性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等．(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(简称成“三线合一”)
2、等腰三角形的判定定理
判定定理：有两边相等的三角形是等腰三角形
典型例题
(1)、一个等腰三角形的周长是13，其中一条边是3，那么腰长是_________
(2)、已知等腰三角形的一个内角是40°，那么这个等腰三角形的顶角为_________
例1：如下图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．

例2：已知：如下图，△ABC中，AB=AC ，D为BC边的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
求证：DE=DF

等边三角形
1、等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形．
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形．
讨论：等边三角形的性质？
(学生分组讨论，教师提示从角、边、重要线段、对称性去考虑)
2、等边三角形的性质
(1)等边三角形的三条边相等；
(2)等边三角形的内角相等，且为60°；
(3)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
3、等边三角形的判定：
(1)三边相等的三角形是等边三角形
(2)三角相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
4、例题分析
例3：已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？
例4：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.

课后总结
1．等腰、等边三角形的性质
2．等腰、等边三角形的判定
3．等腰、等边三角形的轴对称性及轴对称图形
第3课时
教学目标
知识与技能
1．了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形；
2．会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法．
能力目标：
经历“猜想—验证—总结归纳—应用”的探究过程，采用自主探索与合作交流的方式，亲历“做数学”的过程，培养探究 数学问题、解决问题的能力．
情感目标：
1．体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性，对数学产生强烈的好奇心和求知欲．.
2．在学习中获得成功的体验，感受到数学学习的乐趣，建立自信心．
3．体会数学源于生活而又反作用于生活，培养用数学的意识．
教学重难点
教学重点：等腰三角形的性质判定．
教学难点：等腰三角形的性质判定的证明及应用．
教学过程
学生活动设计：
学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．

图1
学生活动设计：
教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．
最后归纳出等腰三角形的判定方法．
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”)
第4课时
教学目标
知识与技能：
1．掌握证明的基本步骤和书写格式．
2．能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理．
能力目标：
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理．
情感目标：
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
教学重难点
教学重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.
教学难点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理．
教学过程
(一)．复习旧知，导入新知
[师]上一节课中，我们学习了等边三角形的性质和判定，请大家回忆一下：
1．等边三角形有哪些性质？
2．你有哪些判定等边三角形的方法？
这一节课，我们将应用等边三角形的性质和判定解决一些相关的问题．
(二)自主探究，学习新知
[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)
[生1]用含30°角的直角三角尺摆出了如下等边三角形：

理由：因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=30，所以∠ABD=60°，所以△ABC是等边三角形.(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
[生2]图(1)中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．(三个角都相等的三角形是等边三角形).
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，在图(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．

图2
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如上图)
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC=BD=AB．
[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，它是证明线段倍分关系的又一定理.你能写出这个定理的符号语言吗？
_
C
_
A
_
B

图3
如图3，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°．∴ BC=AB．
下面我们就来看一下这个定理在实际中的应用．
(三)合作探究，应用新知
[师]再看下面的例题．
例：等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

图4
已知：如图4，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的
解：∵∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．
∴CD=AC=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
[师]下面我们来做练习．
(四)．课堂小结
说一说你在等边三角形这一节中印象最深的是什么？都有哪些收获？
这节课，我们应用等边三角形的性质和判定推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
(五)．活动与探究
在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
方法分析：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．

图5
已知：如图(5)，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
∴BC=BD．
又∵BC=AB，
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．