九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数章末复习（热点专题训练）教案（新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

本章热点专题训练

【知识与技能】
掌握二次函数、反比例函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解一些实际问题.
【过程与方法】
通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力.
【情感态度】
经历探索二次函数、反比例函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活.
【教学重点】
二次函数、反比例函数图象及其性质，应用函数分析和解决简单的实际问题.
【教学难点】
函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题.

一、知识结构

【教学说明】根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点.
二、释疑解惑，加深理解
1.二次函数的概念：
表达式形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.
2.二次函数y=ax2(a＞0)的图象及性质为：
①抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是坐标原点;
②a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；
③a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大；
3.抛物线y＝ax2＋k的性质：
抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同，抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿y轴方向平移|k|个单位得到，当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移.
4.抛物线y＝a(x+h)2的性质：
抛物线y＝a(x+h)2与y＝ax2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同，抛物线y＝a(x+h)2可由抛物线y＝ax2沿x轴方向平移|h|个单位得到，当h>0时，向左平移；当h＜0时，向右平移.
5.函数y＝(x-2)2＋1的性质：
函数y＝(x-2)2＋1的图象可以看成是将函数y=(x-2)2的图象向上平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y=x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝，顶点坐标是(，).

7.二次函数的应用：
在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.其步骤为：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.
8.反比例函数的概念：
一般地，表达式形如（k为常数且k≠0 ）的函数叫作反比例函数.反比例函数 (k≠0)的图象叫作双曲线.
9.反比例函数的性质：
①当k＞0时，图象的两个分支分别位于一、三象限，在每个象限内，图象自左向右下降，函数y随x的增大而减小.
②当k＜0时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数y随x的增大而增大.
10.反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义：
过双曲线（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
【教学说明】让学生回忆二次函数、反比例函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．

三、运用新知，深化理解

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）.求a、b、c.
解：∵二次函数的最大值是2,
∴抛物线的顶点纵坐标为2.
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上,
∴当y=2时，x=1 ,
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）,
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2.
又∵图象经过点（3，-6）,
∴-6=a(3-1)2+2,∴a=-2,
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2,
即：y=-2x2+4x
3.（1）抛物线y=2(x-1)2+3是由抛物线y=2x2怎样平移得到的？（2）若抛物线y=-x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式.
【分析】由抛物线平移时，形状和开口方向不变.
解：（1）抛物线y=2x2的顶点是（0，0），抛物线y=2(x-1)2+3的顶点是（1，3），∴抛物线y=-2(x-1)2+3是由y=2x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的.（2）抛物线y=-x2的顶点是（0，0），把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是（－2，－4），
∴平移后的抛物线解析式为y=-(x+2)2-4.
4.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4；当x=3时，y=5，求x=-1时，y的值．
【分析】先求出y与x之间的关系式，再求x=-1时y的值．

说明：不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k1、k2的值.
5.求抛物线y=-x2-x+的顶点坐标，写出对称轴及函数与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取何值时，y随x的增大而减小？

6.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，
则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）.
易知CN=4-x，EM=4-y．
过点B作BH⊥PN于点H,
则有△AFB∽△BHP,

∴y=-x+5,S=xy=-x2+5x(2≤x≤4)，
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，
∴当x≤5时，函数值y随x的增大而增大，
对于2≤x≤4来说，当x=4时，S最大=-×42+5×4=12．
【教学说明】通过精心的选题让学生演练，在教师引导下完成，达到巩固知识的作用.
四、复习训练，巩固提高
1.一次函数y=-x+1与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是如图中的（ A ）

【分析】∵y=-x+1的图象经过第一、二、四象限，故排除B、C；又的图象两支在第一、三象限，故排除D．∴答案应选A.
2.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ B ）
A.4.6 m B.4.5 m C.4m D.3.5m

3.某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：设提高x个单位价格时，总获利为y元，则y=(2700+100x-2500)(400-50x)(0≤x≤8)整理，得y=-5000(x-3)2+125000.当x＝3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元.
4.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ D ）

【分析】由y=ax2+(a+c)x+c与y=ax+c常数项均为c，所以两个图象与y轴交点应是一个点（0，c），∴A、B不对;当y=0时，ax2+(a+c)x+c=0的解为x1=-1,x2=,∴抛物线与x轴的交点为（－1，0），（，0）.当y=0时，ax+c=0的解为x=,∴直线与x轴的交点为（，0）,∴抛物线与直线另一交点在x轴上，∴应选D.

5.如图，P是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式.

【分析】求反比例函数的解析式，就是求k的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．
解:设P点坐标为（x,y）．因为P点在第二象限，所以x＜0，y＞0．所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x,y．又-xy=2，所以xy=-2．因为k=xy，所以k=-2．所以这个反比例函数的解析式为．
说明:过反比例函数图象上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于中的|k|．
6.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关．
【教学说明】根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能。让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦.
五、师生互动，课堂小结
师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流.

教材“复习题”A组中第2 、3、4、8、13，B组中3、5、6题.

让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力.引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化，条理化，网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学.