浙教版八年级数学上册直角三角形.doc

直角三角形
从容说课
直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度.因此教科书将其两种证明方法放在“读一读”中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，而对其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．
因此本节的重点是：(1)进一步以公理和已证明的定理为基础证明或了解勾股定理及其逆定理的证明方法，证明直角三角形全等的“HL”判定定理，掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；(2)结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．而探索证明方法同样是本节的重点和难点.
教学中，使学生经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方
法，体会证明的必要性，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.
教学目标
(一)教学知识点
1．经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性．
2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命
题不一定成立．
（二）思维训练要求
1．进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，
发展抽象思维．
2．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的创新精神．
(三)情感与价值观要求
1．在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲．
教学重点
1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题
不一定成立．
教学难点
1．勾股定理及其逆定理的证明方法．
2．对不是“如果……那么……”形式的逆命题的叙述．
教学方法
引导、探索法
教具准备
投影片
第一张：勾股定理的证明(记作§1．2．1 A)
第二张：议一议(记作§1．2．1 B)
第三张：想一想(记作§1．2．1 C)
第四张：随堂练习(记作§1．2．1 D)
教学过程
I．创设情境，引入新课

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?B1C1呢?
[生]解：在Rt△ABC中，
∠CAB＝30°，AB＝10 cm，
∴BC＝AB＝×10＝5 cm．
∵CB1⊥AB．∴∠B+∠BCB1＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCB1＝∠A＝30°．
在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝×5=cm＝2．5cm.
∵AB1＝AB-BB1＝10-2．5＝7．5(cm)．
∴在Rt△AB1C1中，∠A＝30°，
∴B1C1=AB1=×7．5=3．75(cm)．
[师]很好，我们上节课证明了含30°角的直角三角形的性质，但对一般的直角三角形具有什么样的性质呢?
[生]在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，我们把这个结论叫做勾股定理．
[问题2]我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?
下面就请同学们一块打开课本P17，看“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．
Ⅱ．讲述新课
1．勾股定理及其逆定理的证明．
[师生共析]这里我们先看其中的一种证明方法，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．

已知：如图，在△ABC中，
∠C＝90°，BC＝a，AC=b，AB＝c.
求证：a2+b2=c2．
证明：延长CB至D，使BD
＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE=90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形ACDE＝ (a+b)(a+b)＝ (a+b)2．
∴∠ABE＝180°-∠ABC-∠EBD
＝180°-90°＝90°，
AB＝BE．
∴S△ABE=c2．
∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，
∴ (a+b)2＝c2+ab+ab，
即a2+ab+b2＝c2+ab．
∴a2+b2＝c2．
两千多年来，人们对勾股定理进行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法，如果你有兴趣，可查阅有关资料，了解勾股定理的其他证明方法．
教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如下：(打出投影片§ 1．2．1 A)

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
(1)勾股定理的内容从左到右分层次出现，其中定理内容中的“直角三角形”闪烁3下．
(2)定理内容中的“两直角边的平方和等于斜边的平方”在“直角三角形”停止闪烁后，接着闪烁3下．

[师]反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明此结论吗?这对同学们来说也是具有一定难度的，下面我们一同来完成．

[师生共析]已知：
如图，在△ABC中，
AB2+AC2＝BC2．
求证：△ ABC是直角

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°，是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠A′＝90°，A′B′=AB，
A′C′=AC(如图)，则A′B′2
+A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．
∵AB2+AC2=BC2,A′B′=AB，A′C′＝AC，
∴BC2＝B′C′2．
∴BC＝B′C′．
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此， △ABC是直角三角形．
教师用多媒体显示定理内容．

定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

2．互逆命题和互逆定理．
[师]观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?
[生]上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
[生]我们在前面也曾遇到过这样的情况．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．
[生]例如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”这样的命题，我们上节课曾证明此命题为真命题．
……
[师]很好!同学们已注意到，在数学上存在很多这种关系的命题，其中生活中也有这样的命题.下面我们再来看几组命题，(出示投影片§ 1．2．1 B)
议一议：观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．

如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．

三角形中相等的角所对的边相等．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．
[师生共析]我们不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
我们再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
[生]在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
[生]在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
[生]在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
[师生共析]由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
下面我们来看投影片§1．2．1 C

想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?

[师]要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．
[生]上述原命题的条件是“有两个相等的有理数”，结论是“这两个有理数的平方相等”，所以逆命题是“如果有两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”．
[师]原命题是真命题吗?逆命题呢?
[生]原命题是真命题，而逆命题是假命题．例如22＝(-2)2，但2≠-2．
[师]很好!这位同学不仅能判断命题的真假，而且还能举反例解释自己的判断依据．值得肯定．
但有些命题，原命题是真命题，而且逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理．其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．
谁能举例说出我们已学过的互逆定理?
[生]如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．
[生]“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”．
[生]如“等边对等角”和“等角对等边”等．
Ⅲ．随堂练习
(出示投影片§ 1．2．1 D)

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0．

[分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．
可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．
解：(1)多边形是四边形，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．
(3)如果a＝0．b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
Ⅳ．课时小结
这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了学生的演绎推理能力．
Ⅴ．课后作业
习题1．4第1、3题
Ⅵ．活动与探究
若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c．判断△ABC的形状．
[过程]需将已知条件变形，寻找a、b、c的关系，然后判断△ABC的形状．
[结果]由已知条件可得
a2+b2+c2+338-10a-24b-26c＝0，
即a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169＝0．
∴(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2＝0．
∴(a-5)2＝0，(b-12)2=0，(c-13)2＝0．
∴仅当a＝5，且b＝12，且c＝13时原式成立．
又∵a2+b2＝52+122＝169，
c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2.△ABC是直角三角形．
板书设计
§1．2．1 直角三角形(一)
1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法．
2．互逆命题和互逆定理
(1)互逆命题的关系：由“议一议”得：两个命题中，如果一个命题的条件和结论分
别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题是互逆命题．
(2)互逆命题的真假性不一定一致：“想一想”．
(3)如果互逆命题都是真命题，那么它们称为互逆定理，举例说明．
3．随堂练习
写出命题的逆命题,判断其真假．

备课资料
参考例题
[例]如图，折叠矩
形纸片ABCD，先折出折
痕(对角线)BD，再折叠
使AD也与对角线BD重
合，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，求AG的长．
分析：AG虽在Rt△ADG中，但因只有AD已知，而DG不可求，考虑A在DB上折叠的重合点设为A′，则△AGD≌△A′GD，找到AG的等量A′G．在Rt△A′BG中，A′B可求，BG可用含AG的代数式表示，应用勾股定理可求出A′G即AG的长．
解：过G作GA′⊥DB．垂足为A′，则△DAG≌△DA′G，AG＝A′G，DA′＝DA＝BC＝1．
设AG＝x，则GA′＝x，DB=
A′B＝DB-DA′＝-1，BG＝AB-AG＝2-x，
在Rt△A′BG中，x2+(-1)2=(2-x)2，
解得A′G＝x= ∴AG＝．
[评注]利用图形的性质，借助于勾股定理作为等量关系列出方程是解此题的关键，用代数方法解几何题是常用的方法之一．