九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

《圆周角和圆心角的关系》
◆ 模式介绍
“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．
探究式教学通常包括以下五个教学环节：
创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高
◆ 设计说明
首先通过问题1和问题2帮助学生回顾圆心角概念和圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，为本节内容的学习做好知识储备；问题3通过射门游戏引出本节课所学内容，既能来激发学生的学习兴趣，又可以引发学生进一步探究的欲望．问题4让学生比较圆心角的定义得出圆周角的概念，并通过追问来辨析深化圆周角概念．引导学生从特殊情况入手证明圆周角定理，有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．问题6是研究圆周角定理的推论，问题7是利用圆周角定理研究圆内接四边形的内角和外角的性质，问题（1）讨论一种特殊情况，问题（2）把问题从特殊推广到一般．最后通过例、习题的巩固，突出圆周角定理及其推论的运用．
◆ 教材分析
本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第4节《圆周角和圆心角的关系》的教学内容，本节课是在学生学习了圆的相关概念、圆的对称性和垂径定理及其推论的基础上进行的，本节内容用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系．这个定理在与圆有关的推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一．
本节内容分两部分进行教学，第一部分主要研究圆周角和圆心角的关系定理，并得出定理的第一个推论，在第二部分主要研究圆周角定理的另外三个推论．在探究圆周角和圆心角关系的过程中，让学生经历分类讨论的过程，明确分类的依据，进一步体会分类的思想．教学时应让学生先独立思考，然后再进行交流，要鼓励学生说理方式的多样性．
◆ 教学目标
【知识与能力目标】
1、理角圆周角的概念．
2、了解并证明圆周角定理及其推论．
3、熟练运用圆周角定理及其推论解决有关问题．
【过程与方法】
在探究圆周角和圆心角关系的过程中，让学生进一步体会分类讨论的数学思想．
【情感态度与价值观】
在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心．
◆ 教学重难点
【教学重点】
圆周角定理及其推论．
【教学难点】
圆周角定理证明方法的探讨．
◆ 课前准备
多媒体课件、教具等．
◆ 教学过程
【创设情境】
问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？
顶点在圆心的角叫做圆心角．
问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
问题3 如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员站在B，D，E的位置射球时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个张角的大小有什么关系？

设计意图：问题1和问题2帮助学生回顾圆心角概念和圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，为本节内容的学习做好知识储备；问题3通过射门游戏引出本节课所学内容，既能来激发学生的学习兴趣，又可以引发学生进一步探究的欲望．
【启发思考】
问题4 观察上图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC．它们与圆心角有什么区别？这样的角称之为什么角？
顶点不同，圆心角的顶点在圆心，∠ABC，∠ADC，∠AEC的顶点在圆上．
圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角．
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交．
追问：下列哪个图形中的角是圆周角？

答案：第三个图形中的角是圆周角．
设计意图：问题4让学生比较圆心角的定义得出圆周角的概念，并通过追问来辨析深化圆周角概念．
【探究问题】
问题5 如图，∠AOB=80°．
（1） 请你画出几个弧AB所对的圆周角．这几个圆周角有什么关系？与同伴交流．
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴交流．

追问：改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？如何证明你得到的结论？
结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
已知：如图，∠C是弧AB所对的的圆周角，∠AOB是弧AB所对的的圆心角．
求证：．
分析：根据圆周角与圆心的位置，分成三种情况讨论：
（1）圆心O在∠C的一边上，如图（1）所示；
（2）圆心O在∠C的内部，如图（2）所示；
（3）圆心O在∠C的外部，如图（3）所示．

在三种位置关系中，下面选择（1）进行证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．
证明：（1）圆心O在∠C的一边上，如图（1）所示．
∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．
∵OA=OB，∴∠AOB=2∠C，即．
想一想：在问题3的射门游戏中，当球员在B、D、E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
结论：它们都等于弧AC所对的圆心角度数的一半，所以这几个角相等．
设计意图：引导学生从特殊情况入手证明圆周角定理，有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．
问题6 （1）如图，BC是⊙O的的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？

（2）如图，圆周角∠A=90°，弦BC是直径吗？为什么？

问题7 （1）如图，A、B、C、D是⊙O圆上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？

（2）如图，点C是的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？

（3）如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠DCE是它的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？

设计意图：问题6是研究圆周角定理的推论，问题7是利用圆周角定理研究圆内接四边形的内角和外角的性质，问题（1）讨论一种特殊情况，问题（2）把问题从特殊推广到一般．
【形成结论】
总结归纳出圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
推论3：圆内接四边形的对角互补；四内接四边形的一个外角等于它的内对角．
【巩固提高】
例题 如图，AB是☉O的直径，BD是☉O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD．理由如下：
连接AD．∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AC=AB，∴BD=CD．
学生练习1 课本80页随堂练习第1题、第2题．
学生练习2 课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．
课堂小结：
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、概念：圆周角，圆内接四边形，四边形的外接圆．
2、圆周角的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：圆内接四边形的对角互补；四内接四边形的一个外角等于它的内对角．
布置作业：
1、教科书习题3.4第1题、第2题；习题3.5第1题、第2题、第3题．（必做题）
2、教科书习题3.4第3题、第4题；习题3.5第4题．（选做题）
◆ 教学反思
略．