九年级数学下册 函数与三角形综合类型题教案 人教新课标版.doc

函数与三角形综合类型题教案
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苏
初四数学

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教学目标
1、 学会对函数综合题如何分析的一般规律。掌握二次函数与三角形综合题的解题思路及分析方法。

授课纲要及重、难点提示
通过对典型二次函数综合题的剖析，使其掌握一般的解题分析方法及技巧，提高综合分析解决问题的能力。
重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握。
教学过程
一、复习
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； （3）交点式： .
2通过配方可得，其图像关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）.
3. 二次函数的图像和性质

＞0
y
x
O
＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值
当x＝ 　 时，y有最 　 值
当x＝ 时，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而　
y 随x的增大而　
在对称轴右侧
y随x的增大而　
y随x的增大而　
4. 二次函数用配方法可化成的形式，其中 ＝ ，＝ .（要求掌握过程）
5. 二次函数的图像是由图像如何左（右）及上（下）平移而得？. 明确二次函数的平移规律：将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x－p)2＋b(x－p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c（即左正右负）；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c-q（即上正下负）
6. 二次函数中的符号的确定.（开口方向有a确定，开阔程度有a的绝对值确定，越小越开阔；C为与Y轴的交点横坐标，a、b的符号决定对称轴位置）
二、典例分析
一、与等腰三角形相关
例1、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？

例2、如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．
（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．

解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．
∵，．∴．∴．∴ ．解得．
（2）分三种情况讨论：
① 当时，如图②作交于，则有即．∵，∴，
∴，解得．
② 当时，如图③，过作于H．则，∴．∴．
③ 当时，如图④．则．． 综上所述，当、或时，为等腰三角形．
例3、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，，，点在边上且．
（1）求直线的解析式．
（2）在轴上是否存在点，直线与矩形对角线交于点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点和点（点在轴正半轴上），且沿折叠后点落在边上处？

例3图

解：（1）OA=1，OC=2则A点坐标为（0，1），C点坐标为（2，0）设直线AC的解析式为y=kx+b
解得 直线AC的解析式为
（2）或
（3）如图，设，过点作于F，
由折叠知，或2

例4.已知抛物线的图象与x 相交与A、B（点A在B的左边），与y轴相交与C，抛物线过点A（－1，0）且OB=OC．P是线段BC上的一个动点，过P作直线PE⊥x轴于E，交抛物线于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△BPE与△BPF的两面积之比为2∶3时，求E点的坐标；
（3）设OE=t，△CPE的面积为S，试求出S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）中，当S取得最大值时，在抛物线上求点Q，使得△QEC是以EC为底边的等腰三角形，求Q的坐标．
A
C
O
x
y
B
P
E
F
Q1
Q2

例5图

例6图
例4图
二、与直角三角形相关
例5、.如图所示， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）谁能先到达终点 （填M或N）；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.

例6、如图，在矩形ABC右，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从A开始沿AC向C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒1厘米的速度运动。设运动的时间为t秒（0＜x＜5），△PQC的面积为Scm2.
（1）求S与t之间函数关系式.
（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？
（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜x＜5），∴AP＝2t cm，CQ＝t cm，
CP＝（10－2t）cm。————————2分
过Q点作OE⊥AC于E点.
∵△ECQ∽△CBA，∴，
∴，∴
∴S与t之间的函数关系式为：
S＝PC·QE＝（10－2t）·＝＋3t—5分（2）∵，∴时，△PQC的面积最大，最大面积是—7分（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形。分两种情况：—8分
①当∠PQC＝90°时，∵△CPQ∽△CAB，∴，
∴，∴符合题意。—10分

②当∠CPQ＝90°时，∵△CPQ∽△CBA，∴，
∴，∴符合题意。—12分综合上述，在P、Q的移动过程中，当或时，△PQC能为直角三角形。——13分

例7、如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是．（1）求点坐标及的值；
（2）如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向左平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点关于点成中心对称时，求的解析式；
（3）如图2，点是轴负半轴上一动点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点的坐标．

R
G

C1
C4
P
N
F
E
H
A
B
Q
y
x

解：（1）由抛物线C1：得顶点P的坐标为（2，5）∵点A（－1，0）在抛物线C1上∴.
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..∵点P、M关于点A成中心对称,∴PM过点A，且PA＝MA..
∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴顶点M的坐标为（，5）∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式.
（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称. 由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.∵旋转中心Q在x轴上,
∴EF＝AB＝2AH＝6. ∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.
根据勾股定理，得
①当∠PNE＝90º时，PN2+ NE2＝PE2，解得m＝，∴N点坐标为（，5）
②当∠PEN＝90º时，PE2+ NE2＝PN2，解得m＝，∴N点坐标为（，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º 综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．

三、与等腰直角三角形相关
例8、

例9、 在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为，B点的对应点为．
（1）求旋转后的图象解析式；（2）求、点的坐标；（3）连结．动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：（1）旋转后的图象解析式为． （2）由旋转可得（4，-1）、（1，-4）．
（3）依题意，可知．若为直角三角形，则同时也是等腰三角形，因此，只需求使为直角三角形的值．分两种情况讨论：
①当是直角，时，如图1，∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，
∴B′M=8-t，∵，∴． 解得 （舍去负值），
∴．
②当是直角，时，如图2，∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，∴B′M=MN=8-t，
∵，∴，解得 ．∵，，∴此时t值不存在． （此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以）
综上所述，当时，为等腰直角三角形．

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