八年级数学上册 2.7.1 二次根式教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级上册数学教案.doc

课题：2.7.1 二次根式
教学目标：
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索积的算术平方根与商的算术平方根的性质．
3.利用积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式．
4.通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识．
教学重点与难点：
重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简.
难点：理解（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．并用它们进行二次根式化简.
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动内容：求下列各数，思考下面的两个问题:
1.我校有两个正方形的花坛，一个面积为8平方米，一个面积为2平方米，大家说这两个正方形的边长是多少？
2. 5的算术平方根是多少？
3.一个正数的平方是7.2，这个数多少？
4.直角三角形的斜边长是c，一条直角边是b，那么另一条直角边的长为多少？
问题1：它们的值有什么共同特点?
问题2：它们的值是最简形式吗？
处理方式：学生独立完成，写出两个正方形的边长和，然后同伴交流所提出的两个问题。 引入我们今天要学习的内容.
设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题，一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．二是加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性.同时也顺利的引入了新课.
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：（多媒体出示）观察下列各数并思考下面的问题：
问题：，，，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？
处理方式：以小组为单位，让学生充分讨论后回答，只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励，通过式子的特点介绍二次根式的概念. 一般地，式子叫做二次根式.a叫做被开方数．强调条件：．
设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形态.同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习．
练一练：
1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?
，,,,,，，
2.当x是多少时，二次根式 在实数范围内有意义？
3.若 有意义，则m能取得最小整数值是（ ）.
参考答案：1. ,,，是二次根式，，，，
2. 3. 1
处理方式：学生独立完成后进行交流讨论，使学生对二次根式有一个较深刻、全面的认识.使学生认识到：看一个式子是否为二次根式，关键看是否满足的形式. 即:二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数.
设计意图：通过练习，让学生加强对二次根式定义的认识. 第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件.第2题和第3题都是用不同的形式来考察学生对二次根式有意义的理解.让学生在练习中发现乐趣，掌握知识.
活动内容2：（多媒体出示）计算下列各题，你发现了什么规律？
(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？
＝　　　； ＝　　　，
＝ ＝　　　　，；
处理方式：让学生完成题目后交流，发现算式的特点及规律.
设计意图：引导学生发现算式的特点及规律，并产生猜想, 增强学生的求知欲．
(2). 猜猜＝　　　＝　　　　，也有类似的关系吗？
你还能举出类似的例子吗？并用计算器验证.
设计意图：引导学生验证猜想，得出规律,使学生获得成功的喜悦.并且收获了研究数学问题的探究方法．
问题1：你能用字母表示这个规律吗？
问题2：能用语言描述这个结论的意义吗?
处理方式：小组内交流展示，重点引导学生认识算式的特点及二次根式有意义的条件.小组总结出结论. ( a≥0，b≥0)，这里应强调a,b的取值范围.
预设：如果不能得出a,b的取值范围，教师应及时引导学生根据二次根式有意义的条件去发现。
设计意图：使学生经历“产生猜想-----验证猜想-------形成理论”的完整过程，再一次培养和提升学生的逻辑思维能力，使学生学会学习.
活动内容3：（多媒体出示）计算下列各式，你又发现了什么规律？
＝ ；＝ ； ＝ ；＝ ．
处理方式：以自主学习的方式让学生用同样的方法完成本项活动的探究.
使学生明白： (a≥0， b＞0) ，这里应强调a,b的取值范围.
设计意图：让学生用同样的方法探究积的算术平方根和商的算术平方根的性质目的是让学生独立完成本问题的探究，使学生新学的方法和思维得以检查和巩固，同时培养同学们的计算能力、语言表达能力和概括能力.
三、例题解析，应用新知
活动内容1：有了积的算术平方根和商的算术平方根,你能顺利完成下列题目吗?(展示课件)
例1 化简下列各式，并回答下列问题:
（1）；（2）；（3）.
答案：（1）；
（2）；
（3）=；
（4）；
（5）．
问题1：观察化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
问题2：化简要化到什么形式为止？
处理方式：学生小组交流做题过程,教师指导. 并通过计算，小组讨论，找出结果的共同特征，理解最简二次根式的概念. 师生共同总结：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
注意： 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
设计意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论，增强学生对最简二次根式的有关注意.
活动内容2：下列各式是最简二次根式吗？若不是，如何化简?
例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
处理方式：先让学生判断上述各式是否是最简二次根式，并说一说为什么？然后，学生分组完成上述各式的化简过程, 老师指导. 最后小组讨论、总结上述各题的化简方法.
注意：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．
参考答案：（1）；
（2）；
（3）=；
（4）；
（5）．
设计意图:巩固积的算术平方根和商的算术平方根的性质,探究将二次根式化成最简二次根式的方法，训练学生将二次根式化成最简二次根式的能力.
问题：将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流.
处理方式：小组交流. 教师强调：如（1）和（2）都是要展开成平方数和一个不含平方数的乘积；（3）是注重了分母中不含根号；（4）和（5）是要求被开方数数中不含分母.对最简二次根式的几种类型都进行了练习
设计意图:检验学生对二次根式化简的理解，培养学生的概括能力，增强学生对二次根式化简的理解掌握.
四、巩固练习，拓展提高
1.下列根式中,最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【参考答案: C. 】
2. 式子 是二次根式的条件是________.
【参考答案: x=-2. 】
3. 化简:
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .
处理方式：先让五位学生黑板板演，然后教师引导学生纠正答案.
【参考答案: (1)4； (2)6； (3) ；(4)； (5).】
设计意图 ：巩固二次根式化简,掌握二次根式化简方法.
五、交流小结，收获感悟
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：同学之间交流本节课的学习收获和体会.教师帮助学生归纳必要的内容
设计意图：1、通过小结让学生进一步把握重点，明确学习的方向. 依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点， 2、使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、当堂达标，反馈矫正
A类:
化简:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
B类:
一个直角三角形的斜边长为15cm,一条直角边长为10cm,求另一条直角边长.
C类:
(1)若是一个正整数,则正整数m的最小值是__________.
(2) 式子是二次根式的条件是_________.
设计意图:分层训练，使不同学生得到相应的训练.
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本43页 习题2.9 第1，2，3题.
选做题：课本43页 习题2.9 第4题.
板书设计：
§2.7 二次根式（1）
1.二次根式定义:
一般地，式子叫做二次根式.a叫做被开方数．

2.最简二次根式定义:
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.

例1 化简：

例2化简：
投
影
区
学 生 活 动 区

1.二次根式定义: 3.例1.

学生板演处
2.最简二次根式定义: 4.例2.