八年级数学下册 20.5 等腰梯形的判定教学设计 华东师大版.doc

20.5 等腰梯形的判定教学设计
一、知识与技能
1．能说出和证明等腰梯形的判定定理．
2．能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算．
3．会画出符合条件的等腰梯形．
二、过程与方法
1．经历探究梯形的判定条件的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识．
2．初步学会通过添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形、矩形、三角形来解决．
三、情感态度与价值观
1．通过探究活动，发展学生的说理意识，培养主动探究的习惯．
2．在解决梯形问题的过程中渗透转化思想．
教学重点 梯形的判定及应用．
教学难点 解决梯形问题的基本方法．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
师：上节课，我们研究了梯形，并且研究了特殊的梯形──等腰梯形的概念及其性质，请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形？
生：两腰相等的梯形是等腰梯形．
师：等腰梯形有什么性质？
生：等腰梯形是特殊的梯形，所以它具有梯形的性质，它还具有下列一般梯形所不具备的性质．
同一底上的两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形．
师：下面请同学们来做一做（老师播放课件，学生进行画图、讨论、总结）
在下图中的每个三角形中画一条线段．

（1）怎样画才能得到一个梯形？
（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形呢？
生：（1）因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形．
（2）第（2）（3）个三角形中能够得到一个等腰梯形．在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平行于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形．
师：说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定．
二、讲授新课
师：受刚才做图的启发：只有等腰三角形才能得到等腰梯形．请同学们考虑下面的问题．
议一议：
“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？能否加以证明．
学生活动：
（通过想一想，试一试，议一议，做一做的小组活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理）
证法一：如下图延长BA、CD相交于点E．
∵∠B=∠C，（三角形中等角对等边）
∴BE=CE．
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC．
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C．
∴∠EAD=∠EDA．（三角形中等角对等边）
∴AE=DE．
∴BE-AE=CE-DE．
即AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
证法二：如下图将CD平移到AE位置，此时四边形AECD是平行四边形．
则AE∥CD且AE=CD，
∴∠AEB=∠C．
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB．
∴AB=AE．（三角形等角对等边）
∴AB=CD，
因此梯形ABCD是等腰梯形．
证法三：如下图
作梯形ABCD的高AE、DF分别交BC于E、F．
∵梯形上、下底平行，即AD∥BC，
∴AE=DF．（夹在平行线间的垂线段相等）
又∵∠AEB=∠DFC=90°，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
师：通过活动，同学们的说理能力已有了很大提高．由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法．
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
应用举例：
【例2】如下图，梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB．DE=DC，∠A=100°，求梯形其他三个内角的度数．
师生共析：
（1）梯形上、下底平行，可以由同旁内角互补求得∠B=80°．
（2）可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形，从而解决∠C和∠ADC的问题．
解：∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=DE．
又DE=DC，
∴AB=DC．
梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠B=180°-∠A=80°，
∠D=∠A=100°．
补充题：画一个等腰梯形，使它的上、下底分别为4cm和10cm，高为3cm．
分析：假设等腰梯形ABCD已画出，如下图，作出高AE和DF，可证得Rt△ABE≌Rt△DCF，所以EF=AD=4cm，BE=CF=（BC-EF）=3cm，AE=3cm．于是可先画出Rt△ABE，进而确定点C，过A作AD∥BC，使AD=4cm，可确定D，连结DC，即可确定等腰梯形ABCD．
画法：（1）画Rt△ABE使∠AEB=90°，AE=3cm，BE=3cm．
（2）延长BE到C使BC=10cm．
（3）过A作AM∥BC，且使BC、AM在AB的同旁，在AM上截取AD=10cm．
（4）连结DC，则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形．（如下图）

（还可以启发学生思考、讨论，得多种画法）
如左下图，平行移动一腰AB到DE，可在Rt△CDF中算出腰CD的长，CD= =5（cm），因此可先画出等腰△DCE，从而画出等腰梯形ABCD；又如右下图利用等腰梯形轴对称图形，且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线．因此可以先画直角梯形ABEF，使EF=3cm，EF⊥BE，BE=6cm，AF=2cm，AF∥BE．然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD．

三、随堂练习
1．课本练习
（1）参看例1：证法三．
（2）画法：参看补充题．
腰长==5（cm）．
周长=2×5+5+11=26（cm）．
面积=（5+11）×4=32（cm2）．
2．补充练习．
（1）等腰梯形与等腰三角形有哪些联系？
答：延长一个等腰梯形的两腰，可以得到一个等腰三角形；过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线，可以得到一个等腰梯形．
（2）有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形吗？为什么？
答：是等腰梯形，理由是：
这两个70°的内角的位置仅有三种可能：
①相邻：顶点是同一条腰的两个端点．
②相邻：顶点是同一底边的两个端点．
③相对．
当顶点是一条腰的两个端点时，两个角应该是互补的；两角相对时，可以推得此时的四边形是平行四边形．因此，这两个70°的内角只能是同一底上的两个内角，因此这个梯形是等腰梯形．
四、课时小结
（与学生共同梳理，总结梯形的判定方法及添加辅助线解决有关梯形问题常用方法．同时演示课件，让学生加深理解并记忆）．
等腰梯形的判定方法：
（1）两腰相等（定义）
（2）同底上的两个角相等（判定定理）

梯形的画法：画出符合条件的梯形，通常先要“分析”，借助辅助线找出可以画出的部分图形（等腰三角形，直角三角形等）
梯形中常用的四种辅助线的添法（如下图）：

五、课后作业
习题
板书设计
20.5 等腰梯形的判定
1．等腰梯形的判定方法
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
2．应用举例
例2
补充题：画法一、画法二、画法三．
3．随堂练习
4．小结
5．作业 习题
活动与探究
如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形，等腰梯形？

过程：这是一个探索性的题，题中涉及了平行四边形的判定，等腰梯形的性质及判定，让学生在充分理解题的情况下，进行探讨．
结果：解：∵AD∥BC，
∴只要PD=CQ，四边形PQCD是平行四边形．
这时，根据题意有
24-t=3t，解得t=6（s）．
同理可知：只要PQ=CD，PD≠CQ四边形PQCD是等腰梯形．
过P、D分别作BC的垂线，交BC于点E、F，则四边形PEFD是矩形，△PQE≌△DCF．
∴PD=EF，CF=QE=2．
∴24-t=3t-2×2，解得t=7（s）．
因此，t为6时，四边形PQCD是平行四边形，t为7时，四边形PQCD是等腰梯形．
习题详解
习题19．3
1．解：FC=（BC-AD）=（4-2）=1，
DC=．
四边形ADEB是平行四边形
AD=DE=6，AD=BE=5．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD=6．
EC=BC-BE=8-5=3．
∴△CDE的周长为6+6+3=15．
3．证明：∵四边形ABCD是梯形．
∴AD∥BC，
∴∠A与∠B互补，
∵∠A与∠C互补，
∴∠B=∠C．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
4．解：S横截面=×20×1.5+（2.65+1.5）×（40-20）+2.65（60-40）+（2.65+1.9）（80-60）+（100-80）×1.9=174（m）．
∠C+∠AEC=180°
四边形AECD是平行四边形AD=EC，AE=CD．
△ABE的周长=梯形ABCD的周长-2AD=29-2×5=19．
6．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD∥BC，∠B=∠DCB．
∴∠CDE=∠DCB．
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE．
∴∠B=∠E．
7．证明：AD∥BC

△ABM≌△DCM
AB=CD

梯形ABCD是等腰梯形．
8．6个等腰梯形．
9．解：EF=（AD+BC），
平移CD到AM，交EF于点N，
则四边形ADCM是平行四边形，且N是MA的中点．
∴EN是△ABM的中位线．
∴EN=BM，
EF=BM+FN=BM+（AD+NC）
=（AD+BC）．

Rt△ODA≌Rt△OEC
∠DAO=∠ECO，DO=EO

∠ADE=∠CED，
同理可证∠DAC=∠ECA．
又∵四边形内角和为360°，
∠DAC+∠ADE=180°．
∴DE∥AC．
又∵ADEC．
∴四边形ADEC是梯形．
又AD=EC，
∴四边形ACED是等腰梯形．
梯形的高h=．

备课资料
一、求梯形的面积
1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=9，∠B=60°，求AB的长和梯形ABCD的面积．
2．已知在梯形ABCD中AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，求梯形ABCD的面积．
1．答案：AB=4 S梯形ABCD=14．
BD=4，
∴BC=BD=4（cm）．
∵四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=60°，
又AB=4．
∴梯形的高h=2．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）·h=（4+4）·2=12+4（cm）2．
二、梯形中常见的辅助线做法