九年级数学上册 第21章 一元二次方程数学活动教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

数学活动
一、活动导入
1.导入课题：老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”.(板书课题)
2.活动目标：
(1)通过观察点阵(数学模型)，了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律.
(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
(3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
(4)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.
3.活动重、难点：
重点：探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.
二、活动过程
活动1三角形点阵
1.活动指导
(1)活动内容：三角形点阵.
(2)活动时间：10分钟.
(3)活动方法：完成活动参考提纲.
(4)活动参考提纲：
图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有
2个点……第n行有n个……观察图形，完成下面各题.
①下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整.

②若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n.
由①知前n行的点数和为=300，解得n1=24，n2= -25(舍去)，即行数n为24.
③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由.
前n行的点数和=600,解得n1=, n2=,因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以三角点阵前n行的点数和不能是600.
④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？
前n行的点数和为=n(n+1)
⑤在④中，三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.
依题意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2= -25(舍去).
即n的值为24.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.
②差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.
(2)生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
(1)三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
(2)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.
活动2正六边形点阵
1.活动指导
(1)活动内容：正六边形点阵.
(2)活动时间：8分钟.
(3)活动方法：完成活动参考提纲.
(4)活动参考提纲：
如图2是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推.
①填写下表：

②写出第n层所对应的点数(n≥2)；6(n-1)
③写出n层正六边形点阵的总点数(n≥2)；
1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6··(n-1)=1+3n(n-1)
④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？
1+3n(n-1)=331
解得：n1=11，n2=-10(舍去)，它共有11层.
⑤点阵设计大赛：
设计时间：5分钟.
设计要求：
A. 每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探究提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.

B. 每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.
C. 优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学:
(1)师助生:
①明了学情：明了学生是否会归纳n层正六边形点阵的总点数.
②差异指导：对困难学生在归纳n层正六边形点阵的总点数方面进行指导.
(2)生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
(1)n层正六边形点阵总点数的计算公式.
(2)运用一元二次方程的知识和n层正六边形点阵总点数的计算公式解决问题的一般过程.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：从学生回答问题、课堂的注意力等方面进行评价.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：本课时是规律探究类问题的学习，解决问题的方法是列一元二次方程，也体现了一元二次方程用途的广泛性.教学思路是以学生自主探究为主，教师引导为辅，让学生成为获取知识的主动者，从而达到让学生在掌握知识技能的同时并会运用的目的.

(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(50分)
1.(30分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律.

(1)下图反映了一个“三角形数”是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；

①1=1；
②1+2=3；
③1+2+3=6；
④1+2+3+4=10.
(2)通过猜想，写出(1)中与第九个点阵相对应的等式：1+2+3+…+9=45.
(3)2015是“三角形数”吗？为什么？
解：不是.“三角形数”都可以写成的形式，令2015=，

因为n是正整数，方程的两根均不符合条件，所以2015不是“三角形数”.
(4)从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.结合(1)观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.

①1=12；
②1+3=22；
③3+6=32；
④6+10=42；
⑤10+15=52.
(5)通过猜想，写出(4)中与第n个点阵相对应的等式：+=n2.
(6)判断225是不是“正方形数”，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
解：是.∵152=225.∴225是“正方形数”.
由(5)，+=152，
∴225可以看作105，120这两个相邻的“三角形数”之和.

2.(20分)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由217个圆组成？

解：第n个图形由1+3n(n-1)个圆组成.
令1+3n(n-1)=217,解得 n1=9,n2=-8(舍去).
∴第9个图形由217个圆组成.
二、综合应用(20分)
3.(20分)如图是一个正五边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前n层共有331个点,求n；这个五边形点阵会不会存在前n层共有1261个点的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，说明理由.
解：前n层共有1+个点.
由1+=331,解得n1=12，n2= -11(舍去).
令1+=1261,解得n1=n2=.
∵n为正整数，∴方程的两根均不合题意.
即这个五边形点阵不会存在前n层共有1261个点的情形.
三、拓展延伸(30分)
4.(30分)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问题：

(1)在第n个图中，每一横行共有(n+3)块瓷砖，每一竖列共有(n+2)块瓷砖(均用含n的代数式表示)；
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?
解：(2)第n个图共有(n++5n+6)块瓷砖.
由n2+5n+6=506.
解得n1=20,n2=-25(舍去).∴n=20.
(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.
86×4+420×3=1604(元).
共需1604元钱购买瓷砖.
(4)不存在.理由如下.
在第n个图中白瓷砖块数是n(n+1).
则有n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1)
化简得n2-3n-6=0.
解得n1=, n2=.
∵n为正整数，方程的两根均不合题意.
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.