八年级数学等腰三角形的性质(2)浙教版.doc
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等腰三角形的性质(2) 教学目标 1.进一步巩固并掌握等腰三角形的性质定理及其推论 2.会熟练运用等腰三角形的性质定理及其推论,求等腰三角形有关角的度数, 证明等腰三角形中有关的角相等或线段相等. 3.会灵活地运用性质添加恰当的辅助线 4.通过性质定理和推论的运用,进一步培养学生分析问题、解决问题和逻辑推 理的能力,并渗透在几何问题中用代数方法转化为代数问题并解决的数学思想 教材分析 教学重点:等腰三角形性质定理及推论的运用 教学难点:添加恰当的辅助线 教学过程 问题1:等腰三角形的性质定理是什么? A 图3.12(1) B C 结合图形回答:如图3.12(1),在△ABC中,AB=AC,∠B、∠C具有怎样的数量关系? 问题2:等腰三角形的性质定理的推论是什么? 结合图形3.12(2)填空:如图3.12(2),在△ABC中,AB=AC, (1)若AD⊥BC,则 (2)若AD平分∠BAC,则 (3)若BD=CD,则 问题3:等腰三角形一个角为70°,求其它的角的度数? (70°为锐角,它既可能为顶角,也可能为底角。当它为顶角时,其它两角为55°,55°;当它为底角时,其它两角为70°,40°) 问题4:等腰三角形一个外角为50°,求三角形三个内角的度数。 (已知的外角为50°,则与它相邻的内角为180°-50°=130°,130°为钝角,它只可能为顶角,故底角为25°,25°。三角形的三个内角分别为25°,25°,130°) 问题5:等腰三角形顶角是底角的4倍,求三个内角的度数。 解:设底角为X°,则顶角为4X°,根据三角形内角和定理得 X+X+4X=180 X=30 ∴三角形三个内角分别为30°,30°,120°。 (说明:第5题是通过列方程用代数式方法来解的。像这样用代数方法解几何题是我们以后常用的方法。今天我们进一步学习等腰三角形的性质的应用) 例1.已知:如图3.12(3),在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD 图3.12(3) (1) 指出图中共有几个等腰三角形? △ABC △BCD △ABD (2) 指图中相等的角? ∠ABC=∠C=BDC ∠A=∠ABD (3)求△ABC各角的度数。 解:∵AB=AC,BD=BC (已知) ∴∠ABC=∠C=∠BDC (等边对等角) ∵AD=BD (已知) ∴∠A=∠ABD (等边对等角) ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A (三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和) ∴∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=Xº,则∠C=∠ABC=2Xº, 根据三角形内角和定理有 X+2X+2X=180 X=36 图3.12(4) ∴∠A=36º,∠ABC=∠C=72º 例2.已知:如图3.12(3),点D、E在△ABC的边上, AB=AC,AD=AE 求证:(1)BD=CE (2)∠BAD=∠CAD 分析: (1)如何证明两线段相等? (2)如何通过三角形全等来证明两条线段相等? 有几种证明方法? (△ABD≌△ACE,△ABE≌△ACD) (3)观察图中有几个等腰三角形?它们的顶点和底边各有什么特征? 图3.12(5) F (4)除了通过三角形全等来证明两线段相等外,还通否运用等腰三角形性质来证明?结合图形的特征应如何添加辅助线?有几种方法? (有三种方法: 1º作DE(或BC)边上的高AF 2º作DE(或BC)边上的中线AF 3º作∠BAC(或∠DAE)的角平分线AF) (5)比较你所添加辅助线的方法中,哪种辅助线最简单? 证明:(1)作AF⊥BC,垂足为F,如图3.12(5), ∵AB=AC,AD=AE, AF⊥BC,AF⊥DE, ∵AF=BF,DF=EF ∴BD=CE (2) ∵AB=AC,AD=AE, AF⊥BC,AF⊥DE, ∴∠BAF=∠CAF, ∠DAF=∠EAF ∴∠BAD=∠CAD 例3.关于撑伞的数学问题 已知:如图3.12(6),AB=AC,DB=DC 问:图中可以得到哪些结论? 引导学生已知完成 解答:(1)∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠DCB (2)AD平分∠BAC、∠BDC,AD⊥BC,AD平分BC 图3.12(7) 图3.12(6) 练习: 已知:如图3.12(7),在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC 求证:EF⊥AD (先利用三角形全等证明AE=AF,再利用“三线合一”的性质证明EF⊥AD) 课堂小结 1.通过列方程(组)用代数方法解决几何计算题是几何中常用的方法,要善于将几何的定理、关系式转化为方程。 2.研究等腰三角形的问题,常添加的辅助线是顶角的平分线,底边上的中线和高线,虽然三线合一,有时三种均可,有时只能其一,但添辅助线要根据具体情况选择最恰当的添画方式。 3.要灵活地应用等腰三角形的性质及推论证明线段相等、角相等及两线垂直问题。 课堂检测 1.已知:如图3.12(8),D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,∠ DBP=∠ DBC 图3.12(8) 求证:∠P= 30º 证明:在△BPD和△BCD中 在△ADC和△BCD中 ∴∠ P=30º 2.已知:如图3.12(9),在△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE. 求证:EF⊥BC 图3.12(9) 证明:作BC边上的高AM,M为垂足 ∵AM⊥BC ∴∠BAM=∠CAM 又∵∠BAC为△AEF的外角 ∴∠BAC =∠E+∠EFA 即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA ∵∠AEF=∠AFE ∴∠CAM=∠E 图3.12(10) ∴EF∥AM ∵AM⊥BC ∴EF⊥BC 3 .已知:如图3.12(10),在△ABC 中,AB=AC, CD⊥AB于D, 求证:∠BAC=2∠DCB 分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意、图形,观察已知角、边间的特殊性. ∠BAC是等腰三角形的顶角,因此较容易找到它的半角. 从而转化为两角间的相等关系. 证明:过点A作AE⊥BC于E. ∵AB=AC ∴ ∠1=∠2=∠BAC ∵∠1+∠2=90º ∴CD⊥AB ∴∠CDB=90º ∴∠3+∠B=90º ∴∠1=∠3 即∠BAC=2∠DCB- 配套讲稿:
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