山东省枣庄市第四十二中学八年级数学下册 第七章《解二元一次方程组》教案（2） 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学八年级数学第七章《解二元一次方程组》教案（2） 北师大版
教学过程
一、创设问题，引入新课
师：上节课我们学习了解二元一次方程组的一种方法——代入消元法.现在有一个问题，你能解决吗？（出示课件）小明和小丽去超市买文具，小明买了3支铅笔、1块橡皮，共用去3.5元；小丽买了2支铅笔和1块橡皮，共用去2.5元．设铅笔x元/支，橡皮y元/块.请列出方程组．
生1：
师：你列出的方程组和他的一样吗？
生：一样．
师：看来同学们把方程组的应用都学会了．那么你会解这个方程组吗？
生：会（齐声回答）．
师：现在给你点时间把它解出来．
（学生解方程组，教师巡视指导）
师：哪位同学来展示自己的答案？
生1：
师：他的答案对不对？
生：对（齐声回答）．
师：你是怎样解得这个结果的？
生1：我利用上节课学习的代入消元法，由①式得y＝3.5－3x，再把y＝3.5－3x代入②得2x＋(3.5－3x)＝2.5．解这个一元一次方程得x＝1，再把x＝1代入y＝3.5－3x得y＝0.5
师：很好．这个方程组还有其他解法吗？
生：有．
师：今天我们就继续学习解二元一次方程组（二）.（板书课题：解二元一次方程组 二）
（设计意图：联系实际用有趣的例子引入新课，一方面培养学生分析问题、解决问题的能力，同时，收到温故知新的效果；另一方面，让学生体会用二元一次方程组来描述实际问题中的数量关系，并渗透数学建模的思想，激发学生的学习兴趣）
二、分组合作，探究新知
① ②
活动一：解方程组
师：下面请同学们探究如何解这个方程组．（展示课件）
（学生小组探究，教师巡视指导）
师：有结果的请举手．
生1：我是采用代入法消元，把②变形，得 ③
把③代入①，得 ＋5y＝21,解得y＝3，把y＝3代入②，得x＝2．
所以原方程组的解为
师：很好！还有其他做法吗？
生2：我是把②式中的5y当作整体代入①式的．由②得5y＝2x＋11 ③
将③代入①，得3x＋(2x＋11)＝21．解得x＝2．把x＝2代入③，得5y＝2×2＋11，y＝3
所以原方程组的解为
师：这两位同学的做法哪个简单？
生：生2的（齐声回答）．
生3：还有更简单的呢？
师：你来说一说吧．
生3：我发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到3x＋5y＋2x＋（－5y）＝21＋（－11），而5y＋(－5y)＝0恰好消去了y．于是得到3x＋2x＝10，所以 x＝2，再代入①得y＝3．所以原方程组的解为
师：大家听明白他的意思吗？
生：明白（齐声回答）．
师：现在我们比较一下这三种解法．它们有什么共同点呢？
生1：都是把二元转化为一元，求出一个未知数后再求另一个．
师：它们的不同点是什么呢？
生2：前两种解法用到了代入消元法，第三种解法是把两个方程相加消去未知数的．
师：很好！无论用哪种方法，解答完后，都别忘记检验，养成进行检验的习惯．刚才题目中相同未知数的系数是一对互为相反数，我们通过相加就能把这个未知数消去．仔细观察下面这个方程组，还能利用相加消去未知数吗？（课件展示）
（设计意图：通过上述题目，使学生初步体会当方程组中某个未知数的系数互为相反数时，通过相加就可以消去一个未知数，初步了解加减法．）
① ②
活动二：解方程组
师：对于这个方程组，如果我们把①式和②式相加，一定消不去未知数，怎么办呢？
生：相减（个别学生说出）．
师：有的同学已经提到了，现在你用相减试试能解出来吧．
（学生探究，教师巡视指导）
师：哪位同学能给大家上黑板演示一下解题过程？
（生1在黑板演示）解：①－②得：－8y＝8， y＝－1．
把y＝－1代入①得，2x－5（－1）＝7，x＝1．
所以原方程组的解为
师：大家看一下他的解题步骤，有问题吗？
生：没有（齐声回答）．
师：非常好！我们鼓励一下．现在你能用同样的方法解决开始时我们列的方程吗？
生：能（齐声回答）．
师：哪位同学来展示一下？
① ②
（生1在黑板演示）解：　　　　①－②得：x＝6，
把x＝6代入①得，3×6＋y＝22，y＝4．
所以原方程组的解为
师：大家对照自己的解题步骤，看看有问题吗？
生：没有（齐声回答）．
师：很好！我们再鼓励一下．现在谁能总结一下，什么情况可以把两式相加消元，什么情况下可以把两式相减消元吗？
生1：当二元一次方程组中，两个方程的某个未知数的系数互为相反数时，可以把方程的两边分别相加来消去这个未知数；当二元一次方程组中，两个方程的某个未知数的系数相同时可以把方程的两边分别相减来消去这个未知数．
师：总结比较全面．但是要注意以下两点：(1)注意解题的易错点是两式相减时，方程左、右两边去括号时的符号.无论是①-②，还是②-①都可以消去一个未知数，我们通常选择相减后剩余未知数系数是正数的方法；(2)把解得的一个未知数的值代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.根据刚才两个例题，现在我们共同探究下一个题目，看看能不能用刚才的方法解这个方程组呢？（展示课件）
（设计意图：因为活动一设计的是两个方程相加的形式，在这里设计两个方程相减的形式，以实际例子强化加减法的主要过程，为学生总结这种方法的步骤做铺垫．）
① ②
活动三：解方程组
师：仔细观察这个方程组，能不能直接相加或相减？
生：不能．
师：如果二元一次方程组的两个方程中，没有系数互为相反数或相等的两项，我们是否可以对方程变形，把它化归为可以运用相加或相减的方法求解的二元一次方程组呢？现在给你一点时间，小组探究完成．
（学生小组合作探究，教师巡视指导）
师：哪位同学来展示一下自己的解法？
（生1在黑板展示）解：方程①的两边同时除以2得：x＋＝6 ③
方程②的两边同时除以3得：x＋＝ ④
③－④得： － ＝ , 解得 y＝4
把y＝2代入 ①得 2x＋3×2＝12， 解得 x＝3．
　　　　　　　　　　　所以原方程组的解为
生2：我认为这样做y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦．
师：你有更简单的做法吗？
生2：我觉得应该找到x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得6x＋9y＝36当作③式，在方程②两边同乘以2，得6x＋8y＝34当作④式，然后用③－④就可以将x消去，得 y＝2，把y＝2代入①得，x＝3．所以方程组的解为
师：你说的可能还有好多同学没有明白．你把思路板书一下吧．
（生2在黑板展示）解：方程①的两边同时除以3得：6x＋9y＝36 ③
方程②的两边同时除以2得：6x＋8y＝34 ④
③－④得：y＝2． 把y＝2代入 ①得 2x＋3×2＝12， 解得 x＝3．
　　　　　　　　　　　所以原方程组的解为
师：做的太好了，我们鼓励一下．其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反．我们遇到的往往就是像刚才这道题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，然后再相加或相减，从而达到消元的目的，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
（设计意图：这一环节的设置，一方面让学生通过发现未知数系数都不相同，就不能直接相加或相减，从而探究出其他解法；另一方面让学生在动手操作及比较中，体会对同一个方程组中的方程选取不同变形方式的差异性，从而形成初步解题经验：方程变形后，字母系数越简单越好．最后总结出加减消元法的定义．）
活动四：议一议加减消元法解二元一次方程组的主要步骤
师：通过这几个题目的学习，你认为解二元一次方程组的基本思路是什么呢？
生：消元．
师：对，无论是代入消元法还是加减消元法，思路都是“消元”，把“二元”变为“一元”．那么，利用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤是什么呢？大家可以讨论一下．
（学生讨论后回答）
生1：我认为首先观察方程组，如果同一未知数的系数互为相反数或相同，就能直接相加或相减；如果系数不相同，找出两个方程中同一个未知数系数的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数互为相反数或相等．
师：这个过程我们可以简单记作“变形”．但要注意一点：由于系数有正有负，我们找的是同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，这样才能通过相加或相减消去一个未知数．然后呢？
生1：把得到的新方程相加或相减，消去一个未知数．
师：也就是加减消元，得到一个一元一次方程.接着呢？生1：解这个一元一次方程．把求出的未知数的解代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
师：很好！但是别忘了检验结果．对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，包括去分母、去括号、合并同类项等．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑．现在哪位同学能用简短的语言概括出用加减法解二元一次方程组的步骤？
生1： ①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．②加减消元．③解一元一次方程．④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
师：很好！用加减法解二元一次方程组有时比代入法更简洁，但并不是所有情况下都是简单的，要具体情况具体分析．现在我们就用加减法解二元一次方程组．
（设计意图：归纳总结，理清问题的解决方法及所学内容．）
三、学有所用
（1） （2） （3） （4）
（设计意图：题目由简到难，部分学生可以通过黑板演示．通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．）
四、学习收获
师：通过刚才的练习，大部分同学基本掌握了用加减法解二元一次方程组．回顾这节课，你有什么收获呢？大家仔细想一想.
生1：我学到了用加减法解二元一次方程组，首先要对方程变形，使某个未知数的系数绝对值相等；然后加减消元；再解一元一次方程；把求得的未知数值代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
师：还有吗？
生2：还要注意检验.
师：这两位同学总结的很全面.下面我们完成自我检测题目.
（设计意图：培养学生的总结能力，进一步领会本节的重点知识，并能互相帮助解决学习上的困难．）
五、课堂检测
A类：1．解方程组：(1)　　　　　　　 （2）
（3）　　　　　　　　（4）
（设计意图：进一步巩固本节课的基础知识，学会用加减消元法解二元一次方程组．）
B类
1．已知＋|3x＋4y―2|＝0，求x、y的值.

① ②
2．已知甲、乙两人共同解方程组 ， 如果甲正确解得方程组的解为，而乙看错方程②中的c，得到方程组的解是，请求a、b、c的值．
（设计意图：培养学生观察能力，能从题目中找到已知条件，列出方程组，并求解．）

C类
① ② ③

（设计意图：让有余力的学生进一步体会“消元”的思想，并且尝试用这种思想去解三元一次方程组，为后面学习打下基础，培养学生的综合应用能力．）
六、作业：
习题7.3知识技能 第1题
七、板书设计：
§7.2.2 解二元一次方程组（二）
1．
2．
3．
4．
5．加减消元法：
6．学习收获
7．课堂检测

八、教学反思
1．本节课从生活中的实例引入新课，通过三个不同的方程组，一步一步引导学生学习利用加减消元法解二元一次方程组．引例也为下一节学习二元一次方程组的应用打下了基础．本节课的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组．这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识，有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣．必须充分利用学生学会这种方法的积极性．加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用这种方法， 同样也是解三元一次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视．
2．不足：课堂教学中个别同学消去未知数不相同，教师没有及时强调这些学生的做法是正确的，对学生的思路是一种限制．今后在教学中要注意这一点．
3．建议：课后检测题目如果不能全部完成，个别题目可以留给学生课下探究，但是教师一定要及时指导．教学中给学生充分的探索空间，让学生通过观察、思考、尝试、交流、比较等活动，自己发现解法，体会消元化归的思想．