九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角教案2 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

24．1.3　弧、弦、圆心角
01　　教学目标
1．通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．
2．运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．

02　　预习反馈
阅读教材P83～84内容，回答下列问题．
1．顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．如图所示，下列各角是圆心角的是(B)

A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC
3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
4．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦．

(1)如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠COD，＝；
(2)如果＝，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，＝．
5．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)

(1)△ACO≌△ABO；
(2)AD垂直平分BC；
(3)＝．(答案不唯一)

03　　新课讲授
例1　(教材P84例3)如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

【解答】　证明：∵＝，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．
又∵∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
【跟踪训练1】　如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．

解：∵＝，
∴∠ACB＝∠ABC.
又∵∠ACB＝75°，∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝30°.
例2　(教材P84例3变式题)如图．
(1)如果＝，求证：AB＝CD；
(2)如果AD＝BC，求证：＝.

【解答】　证明：(1)∵＝，
∴＋＝＋，即＝.
∴AB＝CD.
(2)∵AD＝BC，∴＝.
∴＋＝＋，即＝.

例3　(教材补充例题)如图，AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点．求证：＝.
【思路点拨】　连接OC，OD，构造全等三角形．

【解答】　证明：连接OC，OD.
∵M，N分别为AO，BO的中点，
∴OM＝OA，ON＝OB.
又∵OA＝OB，∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.
在Rt△CMO和Rt△DNO中，
∴Rt△CMO≌Rt△DNO(HL)．
∴∠AOC＝∠BOD.
∴＝.

【跟踪训练2】　已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？
【点拨】　(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件；(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．

解：∠AMN＝∠CNM.理由如下：
连接OB，OD.
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴BM＝AM，DN＝CN，且OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵AB＝CD，∴BM＝DN.
在Rt△OBM和Rt△ODN中，
∴Rt△OBM≌Rt△ODN(HL)．
∴OM＝ON.∴∠OMN＝∠ONM.
∴90°－∠OMN＝90°－∠ONM，即∠AMN＝∠CNM.

04　　巩固训练
1．(24.1.3习题变式)如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为75°．

2．(24.1.3习题变式)如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，并且它们的延长线分别交⊙O于点A，B.
(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；
(2)求证：＝.

【点拨】　(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等．
解：(1)△OEF为等腰三角形．理由：
过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG.
∵CE＝DF，
∴CG－CE＝DG－DF，即EG＝FG.
∵OG⊥CD，∴OG为线段EF的中垂线．
∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形．
(2)证明：连接AC，BD.
由(1)知OE＝OF，
又∵OA＝OB，
∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.
∵∠CEA＝∠OEF，∠BFD＝∠OFE，
∴∠CEA＝∠DFB.
在△CEA和△DFB中，
∴△CEA≌△DFB(SAS)．∴AC＝BD.
∴＝.

05　　课堂小结
弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．