八年级数学 第六章 一次函数综合解说-北师大版.doc

八年级数学 第六章 一次函数综合解说
学习目标
　　1、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展同学们的抽象思维能力；经历一次函数的图象及性质的探索过程，在合作与交流活动中发展同学们的合作意识和能力.
2、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展同学们的数学应用能力；经历函数图象信息的识别应用过程，发展同学们的形象思维能力.
3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系.
4、能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并列用它们解决简单的实际问题.
学法建议
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容，国际数学课程发展的趋势表明，对变化规律的探索、描述应从低年级非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的.因此，本套教科书对函数的学习不是一蹴而就的，而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计.
在六年级下学期探索了变量之间关系的基础上，本章继续通过对变量间关系的考察，让同学们初步体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数——一次函数.我们希望通过解剖一次这一“麻雀”，使同学们了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
由于已经有了六年级下册的铺垫，本章教材设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——概念、规律、应用与拓展”的模式，让同学们从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时改革了传统教材中先研究特殊的正比例函数，再研究一般的一欠函数的教学顺序，将正比例函数纳入一次函数的研究中去.
在具体内容的呈现上，教科书力求为同学们提供生动有趣的问题情境，提供观察、操作、交流、归纳等教学活动，在活动中加深同学们对数学知识的理解，发展同学们的学思思维；在新知的导入上，既注重了与同学们生活实际的联系，又注意了新旧知识的联系；在新旧知识的比较与联系中，促进了同学们新的认知结构的建立与完善，如在“函数”的教材设计中，注意了与六年级下册“变量之间的关系”一章的联系；在“一次函数”的教材设计中，加强了一次函数与一次方程的联系等.
此外，教科书注重了同学们形象思维能力的培养，形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养同学们形象思维的一个重要渠道.但在传统教学中，较为强调函数的代数表达式这一“数”的特征，而相对弱化了其图象这一“形”的特征，同学们的识图、用图能力较弱，数形结合的意识较为薄弱.为此，教材中设计了第4节“一次函数图象的应用”，让同学们通过图象获取信息（识图），并解决有关问题，培养同学们的数形结合能力，发展形象思维能力.

1.函数
教材分析
1.学习目标与要求
（1）初步掌握函数概念，能判断两个变量的关系是否可看作函数.
（2）经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.
（3）初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
2.新知识点全解
（1）函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量和y，如果给定一个的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是的函数，其中是自变量，y是因变量.
函数广泛存在于自然界许多问题中.如：圆的面积的大小变化，依赖于圆的半径大小变化；在一定时间内行程的变化大小依赖于速度的大小变化.
注：对函数概念的理解，主要应抓住以下三点：
①有两个变量
②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化
③自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应
例如：y2=，尽管y与之间有一种关系式，但由于＞0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与它对应，所以y不是x的函数.
（2）函数关系式：用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称为函数解析式.例如：y＝3x就是一个函数解析式.函数解析式在书写时是有顺序性的.例如：y＝-3x+1表示y是x的函数.若写成x＝-y+就表示x是y的函数.也就是说：求y与x的函数关系式，必须是只用变量x的代数式表示y，即得到算式左边只含一个变量y，右边是含x的代数式.
3.课内问题探究
P153
（1）根据图6-1填表：
t/分
0
1
2
3
4
5
…
h/米
3
11
37
45
37
11
…
P154做一做1.
层数n
1
2
3
4
5
…
…
物体的总数y
1
3
6
10
15
…
…
P154做一做2.
当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s为米、12米、米.
给定一个v值，能相应求出s值.
典型例题讲解
例1：为了适应电化教学的需要，某校新建了阶梯教室，教室的第一排有25个座位，后面每排都比前排多一个座位.若第n排有m个座位，教室共有p个座位.
试求：（1）m与n、p与n之间的函数关系式.
（2）若教室座位共安排15排，座位总数将达到多少个？
［点拨］第二排比第一排多一个座位，第三排比第一排多两个座位……第n排比第一排多（n-1）个座位，n-1+25就是第n排的座位数m.教室座位的图形构成一个梯形，如果把一个座位看成是一个单位，那么第一排的座位数就是这个梯形的上底长，第n排的座位数就是这个梯形的下底长，排数就是这个梯形的高，求座位　实质就是求梯形的面积.这样，根据梯形的面积公式就可以写出n与p之间的函数关系式了.
解：（1）m＝25+（n-1）＝n+24（n＞0）
P＝.n＝n（n+49）（n＞0）
　 （2）当n＝15时，P＝×15×（15+49）＝480
跟踪练习1：某礼堂共有P排座位，第一排有a个座位，后面每排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排数n的函数关系式.
例2：如图6-1-1，长方形ABCD中，当点P在边AD上从A向D移动时，有些线段的长度始终保持不变，而有些则发生了变化，有些三角形的面积始终保持不变，而有些则发生变化。
（1）试举出在此运动过程中变与不变的两条线段与两个三角形。
（2）假设长AD＝10㎝，AB＝4㎝，线段AP的长为x㎝,分别写出你所列的变化线段PD的长度y、△PCD的面积S与x之间的函数关系式.
［点拨］本题要求在某些运动的变化过程中体会函数的概念.
解：（1）PA、PB、PC、PD的长度都是变化的；AB、BC、CD
的长度都是不变的；△PAB和△PCD的面积是变化的，

而△PBC的面积是不变的.
（2）线段PD的长度y与AP的长度x之间的
关系为y＝10-x（0≤x≤10）
△PCD的面积S与AP的长度x之间的关系为S＝20-2x（0≤x≤10）
跟踪练习2：如图，正方形ABCD的边长为，有一点P在BC上运动，P不与B、C重合），设PB＝x，图形APCD的面积y，写出y与x之间函数关系式.

过关练习精选
1.选择题
（1）在某变化过程中两个变量x和y，下列关系中，一定能称y是x的函数的是（　）
A.y由x确定出
B.给定一个x值就能确定出一个y值
C.给定一个x值就能确定出两个y值
D.给定两个x值就能确定出一个y值
（2）设圆的面积为S，直径为D，则S＝πD2中，下列说法正确的是（ ）
A.S是的函数　　　　　　　　　　　　B. S是π的函数
C.S是D2的函数　　　　　　　　　　　　D.S是D的函数
（3）汽车匀速行驶时速度为v，行驶时间是t,行驶距离为s，汽车油箱内剩余测量为Q.下列说法：①S是v的函数；②S是t的函数③S是Q的函数.其中正确的说法个数一共（ ）
A. 1个　　B.2个　　 C.3个　　 D.0个

（4）已知函数y＝-2x-3，当y＝5时x＝a，当y＝8时，x＝b，则a与b的大小关系是（ ）
A.a>b B.a=b C.a<b D.不能确定
2.填空题
（1）在y＝中，y　　　（填“是”或“不是”）x的函数，x　　　（填“是”或“不是”）y的函数.
（2）正方形边长是10㎝，它的边长减少x㎝后，得到新的正方形的面积为y㎝2，那么y与x之间的函数关系为　　　　.
（3）在无人售票公共汽车上，无论坐多少站都是一元钱.若某人乘车x站（x≤12），与所应付钱y（元）之间的函数关系式为　　　　　.
（4）下列每个图形都是由棋子围成的正方形图案，图案每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S.按下图的排列规律推断S与n之间的关系可以用式子　　　　来表示.（如图6-1-2）

○○○
○　○
○○○

○○○○
○　　○
○　　○
○○○○

○○○○○
○　　　○
○　　　○
○　　　○
○○○○○

○○
○○

（6-1-2）
3.甲、乙两地相距80km，A骑自行车，B骑摩托车沿相同路线由甲地驶往乙地.两人行驶路程y（km）与时间x（h）之间的关系如图6-1-3所示，请你根据图象回答下面问题：
（1）谁出发较早？早多少时间？谁到达乙地较早？早多少时间？

（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？

（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶的路程y（km）与时间x（h）的关系式.（要求写自变量的取值范围）

8
（4）指出在哪段时间里两车均行驶在途中（不包括端点），在这一时间段里，请你按要求写出关于时间x的方程或不等式.
①自行车行驶在摩托车之前.
②自行车与摩托车相遇时.
③自行车落后于摩托车.
能力升华-新中考指向
1.(2005年福建南安)函数y=3x2+2x-1中,自变量取值范围是__________.
2.(2005年湖南常德)小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是　（　　）

A B C D

3.(2005年北京市中考题) 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）

4．(河北省2005年中考数学试题 )在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 。
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？

。

答案与提示
跟踪练习
1．m=bn+a-b 2.y=2- x

过关练习精选
1.(1)B (2)E (3)B (4)A
2.(1)是;不是 (2)y=(10-x)2 (3)y=1 (4)S=4n (n≧2)
3.(1)自行车,3小时,摩托车,3小时
(2)自行车,10km/h;摩托车,40km/h (3)y=10x y=40x (4)3-5小时
(A)0≤x<4 (B)x=4 (C)4<x<8
能力升华-新中考指向
1． X取任意值
2． C 3.C
4. 解：（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时。
（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为。由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），∴，解得
∴ y＝－15x＋30
设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为。由图可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，25），∴，解得
∴ y＝－10x＋25
（3）由题意得 －15x＋30＝－10x＋25，解得x＝1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。
观察图象可知：当0≤x＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低
课本习题解答
P155随堂练习
1.(1)可将T看成t的函数 (2) 可将y看成x的函数(也可将x看成y的函数)
可将y看成m的函数
P156习题6.1
1.(1)反映了抛射距离s与高度h之间的关系.
(2)依次为2.0,2.5,2.65,2.5,2,0 (3)确定 (4)可以
2.略
瞭望角
真假函数
“函数”这个词被用作数学术语，最是德国数学家莱布尼兹.他于1692年第一次用这个词.最初莱布尼兹用“函数”这个词表示幂；后来他用用“函数”这个词表示直角坐标系中，曲线上一点的横坐标，纵坐标等.
进入18世纪，数学家对函数的概念进行了扩张.
1718年，瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一些常数结合而成的数量.”意思是凡是由变量和常量所构成的式子都叫做函数.
后来数学家觉得不应该把函数概念局限于只能用公式来表示.只要一些变量变化，另一些变更能随之而变化就可能.至于这两类变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准.
1775年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称之为后面变量的函数。”在欧拉定义中，就不强调函数要用公式表示了.
有的数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家对不用公式来表示函数还持怀疑态度.因此，数学家曾经把用公式表示的函数叫做“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”.
现行中学课本上的函数定义是由谁提出来的呢？最早提出类似定义的是法国数学家柯西.柯西于1821年提出如下定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定某一变量的值，其他变量的值可随着而确定时，则将最初的变量叫做自变量，其他各变量叫做函数.”在柯西的定义中出现了“自变量”一词.
与柯西同时期的德国数学家黎曼也提出了类似的定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定的值与它对应，而不论建立x、y之间的对应方法如何，这时把y叫做x的函数.”
由用公式表示的才叫函数，扩充到现在的用公式法、图象法、列表法等表示的都叫函数，经历了一段很长的认识过程.19世纪70年代，德国数学家康托尔提出了集合论，函数便明确地定义为集合间的对应关系，使得函数这个概念更准确，应用范围更广泛.
2.一次函数
教材分析
1.学习目标与要求
（1）经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力.
（2）理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给的条件写出简单的一次函数表达式，发展数学应用能力.
2.新知识点全解
一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y＝kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量）例如：y＝2x-1, y＝x等.
正比例函数：在一次函数y＝kx+b(k≠0)中，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y＝4x；y＝-x等.
注：（1）一次函数解析式的结构特点，kx+b是关于x的一次二项次式，其中常数项b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零实数.
（2）当b=0，而k≠0时，y=kx是正比例函数，仍然是一次函数.
（3）当k=0，即y=b（b是常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数.
（4）关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0,b≠0）可以转化为一次函数,其中.
一次函数与正比例函数的关系：
（1）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数.
（2）一次函数

（3）一次函数的自变量取值范围是全体实数，但从实际问题中归纳出的一次函数，它的自变量取值范围往往有一定限制.
3.课内问题探究
P157
（1）
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）x与y之间的关系式为y=3+0.5x
P157做一做
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
100
91
82
73
64
46
(2)x与y之间的关系式为y=100-0.18x.
典型例题讲解
例1：一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg，并且每挂kg就伸长㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y（㎝）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.
［点拨］由于弹簧每挂1kg就伸长㎝，所以挂xkg就伸长x㎝.另外由于弹簧能挂的物体质量有个限度，不能超过18kg，所以x的取值范围为0≤x≤18.
解：　　（0≤x≤18）
跟踪练习1：我国发射的第一颗人造地球卫星绕地球的平均速度为7.12km/s（1）写出卫星的运行时间t(s)与运行路程s（km）之间的关系式.

（2）s是t的一次函数吗？是t的正比例函数吗？

（3）卫星运行1小时所经过的路程有多少千米？

例2：已知函数是一次函数，求m的值.
［点拨］根据一次函数的定义可知，自变量系数不为0，其指数为1，因此必须同时满足以下两个条件：①m+3≠0　　②m+1=1　　即m满足不等式由此可以求出m的值.
解：由题意得
解之得：m＝0.
跟踪练习2：已知函数为正比例函数，求k的值及正比例函数关系式.
例3：已知4y-1与2x+7成正比例，证明：y是x的一次函数.
［点拨］根据一次函数定义，称为一次函数，需说明三点：①函数可以写成的形式；②k、b均为常数；③k≠0.两数M、N（式）成正比例，则一定具有关系：M＝kN（k≠0）
解：由于4y-1与2x+7成正比例，

跟踪练习3：某地面气温是10℃,如果每升高1千米，气温下降3℃,写出气温t（℃）与高度h（千米）之间的函数关系式，并判决t是否为h的一次函数.
过关练习精选
1.选择题
（1）有下列函数关系：其中一次函数关系式有（　　）
A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.5个　
（2）已知：，那么y与x之间（　　）
A.不成函数关系　　　　　B.不是一次函数关系
C.是一次函数关系，但不是正比例函数关系
D.是正比例函数关系
（3）若函数过点（3,4），那么它还一定通过（　　）点　
A.（3，-4）　　　B.（4,3）　　　C.（-4，-3）　　D.（-3，-4）　
2.填空题
（1）某仓库有粮食1190吨，每天运进28吨，x天后仓库总共有粮食y吨，则x、y的函数关系式为　　　　　.
（2）在代表式，因为给定一个x的值，便能相应地确定一个y值，所以　　　值是　　　的函数.
（3）正比例函数经过点（3，-6），那么这个函数的关系式是　　　　.
（4）某摩托车油箱内原装有汽油2升，现再加汽油x升，如果每升汽油2.3元，那么油箱汽油的总价y（元）与x之间的关系式是　　　　　.
3.已知一次函数解析式中的常数项互为相反数，求这两个一次函数的表达式.
4.某商店进货时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x与售价y如下表所示.请你根据表中所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式，并求出当数量2.5千克时的售价是多少？
数量（xkg）
1
2
3
4
5
…
售价（y元）
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
40+2.0
…
能力升华-新中考指向
1.（湖北省荆门市2005年中考题）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的长度为y(cm)与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（　　）
A、
O
x
4
y
20
B、
O
x
4
y
20
C、
O
x
4
y
20
D、
O
x
4
y
20

2．（浙江丽水市2005年初中毕业、升学考试）
为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组乘船往返于丽水（A）、青田（B）两码头，在A、B间设立拍摄中心C，拍摄瓯江沿岸的景色．往返过程中，船在C、B处均不停留，离开码头A、B的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）船只从码头A→B，航行的时间为 小时、航行的速度为 千米/时；船只从码头B→A，航行的时间为 小时、航行的速度为 千米/时；
（2）过点C作CH∥t轴，分别交AD、DF于点G、H，设AC=，GH=y，求出y与之间的函数关系式；
（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处， 摄制组在拍摄中心C分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头B后，立即返回．
①求船只往返C、B两处所用的时间；
②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心C
有多远．
3．（镇江市2005年初中毕业升学考试数学试卷）
某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示.
（1）当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 ；
当200≤x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 .
（2）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出多少张门票？
（3）请思考并解释图像与y轴交点（0，－1000）的实际意义.
（4）根据图像，请你再提供2条信息.

答案与提示
跟踪练习
1.(1)S=7.12t (2)S是t的一次函数,是t的正比例函数.(3)卫星运行1小时所经过的路程是25632千米.
2.k=-2 y=-5x 3.t=10-3h 一次函数
过关练习精选
1.(1)B (2)C (3)D
2.(1)y=1190+28x (2)y,x (4)y=-2x (5)y=2.3x+4.6
3.a=1 y1=-3x+2,y2=-x-2 4.y=8.4x,21元
能力升华-新中考指向
1. B
2.解：（1）3、25；5、15；……………………………………………………4分
（2）解法一：设CH交DE于M，由题意：
ME=AC=x ，DM=75–x， … ……………………………………1分
∵GH//AF，△DGH∽△DAF ， …………………………………1分
∴ ，即， ………………………………2分
∴ y=8. …………………………………………………1分
解法二：由（1）知：A→B（顺流）速度为25千米/时，B→A（逆流）速度为15千米/时，y即为船往返C、B的时间.
y=，即y=8.（此解法也相应给5分）
（3）①当x=25时，y=8（小时）.……………………2分
②解法一：

设船在静水中的速度是a千米∕时，水流的速度是b千米∕时，
即
解得
即水流的速度是5 千米∕时.…………1分

a+b=25 a=20
a–b=15 b=5
船到B码头的时间t 1==2小时，此时橡皮艇漂流了10千米.
设船又过t2小时与漂流而下橡皮艇相遇，
则（5+15）t2=75–25–10，∴t2=2. ……………………………1分
∴船只离拍摄中心C距离S=（t 1+ t2）×5=20千米. …………1分
解法二：
设橡皮艇从拍摄中心C漂流至P处与船返回时相遇，
得，∴CP=20千米.
3.(1)当0≤x≤200 时, y=10x-1000, 当 200≤x≤300时, y=15x-2500
(2)234 (3)说明当游乐场没有门票收入时,需要付出管理费用1000元
(4)略
课本习题解答
P159.随堂练习
1. y=2.2x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
2. y=100+80x,y是x的一次函数.
P161习题6.2
1.y=-3x (2)y=50+0.4x (2)110.8元 (3)375分钟
试一试:(1)选择A类收费方式
(2)每月通话250分钟时,两类收费方式所缴纳话费相等.
瞭望角
奇妙的“y=3x+1”
你听说过“数字黑洞”吗?你对“数字黑洞”感兴趣吗?其实“数字黑洞”是一种有趣的数学现象,下面就是一个与函数y=3x+1有关的“数字黑洞”问题,也许看过之后你能受到某种启发.
现在有以下两个函数y=3x+1 (1)y=1/2 x(2)如果随意给出一个正整数x,我们都可以求出(1)或(2)的函数值y.
我们规定:如果x是奇数,则代入(1)中求值.如果x是偶数,则代入(2)中求值.按照这种规律计算下去,就会出现一个有趣的现象.
例如,取x=7,则代入(1)中y=3x+1=22,22是偶数,就代入(2)中y=1/2 x=1/2 ×22=11是奇数,再代入(1)中,y=3x+1=34…
继续做下去就会得到下面一串数字:
34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1
最后一组为4,2,1,并不断地循环下去.
再取x=12,则依次得到如下一列数:
6→19→58→29→88→44→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1
结果仍是4,2,1的循环.同学们可以再随意取出一些正整数试一试,结果一定同样奇妙,最后总是落入4,2,1这一“数字黑洞”.这就是奇妙的y=3x+1问题.
人们利用计算机试遍了从1到7×1010的所有正整数,结果都是如此.但验证得再多也不可能把所有的正整数都验证完,更不能替代证明.所以,这个问题至今仍然没有得到完整的证明.
3.一次函数的图象
教材分析
1.学习目标与要求
（1）经历一次函数的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤.
（2）能熟练作出一次函数的图象；掌握一次函数及其图象的简单性质.
（4）能由两个条件求出一些简单的一次函数表达式，并解决有关现实问题.
2.新知识点全解
（1）函数图象：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
例如：对于函数y＝x在平面直角坐标系内描出的点是横坐标与纵坐标相等的点.由几何知识：到一个角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线可知，这样的点组成的图形是一条直线.（第一、三象限角平分线）.（如图6-3-1）
（2）由函数解析式画函数图象的一般步骤：
①列表：给出自变量与函数的一些对应值.
②描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐
标系内描出相应的点.
③连线：按照自变量由小到大（或由大到小）的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来.
例如：作函数y=x+1的图象：
第一步列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-1
0
1
2
3
…
第二步描点，第三步连线（如图6-3-2）

（3）一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条
直线.通常，我们把一次函数的图象
叫做直线.
（4）一次函数的画法：经过两点能画出一条直线，并只
能画出一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.
当b≠0时，画一般的一次函数的图象，应选取它与两坐标的交点：（0,b）,()（即横坐标或纵坐标为0的点）较好，当b＝0时，画特殊的一次函数（正比例函数）的图象，通常选取（0,0）,(1,k)两点.个别情况下也可根据具体题目做些变通.例如：画正比例函数的图象，可以选择（0,0）,(1,)，也可选择（0,0）,（3,2）两点.
（5）正比例函数的性质：
图象必定经过（0,0）点（即原点）.
当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大.
当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.
的值越大，直倾斜程度越大，直线越靠近y轴，的值越小，直线倾斜程度越小，直线越靠近x轴.
（6）一次函数的性质：（如图6-3-3）
对于一次函数

注：①函数的增减性质是由k的正负性决定的，k>0则为增函数（y随x增大而增大）；k<0则为减函数（y随x增大而减小）.
②b的正负性决定一次函数与y轴的交点位置.b＞0，则一次函数与y轴交点在轴的正半轴；b<0，则一次函数与y轴交点在y轴的负半轴.
3.课内问题探究
P163.做一做
（1）做出一次函数y=-2x+5
x
…
0
2
…
y
…
5
1
…
（2）略
P163.议一议
（1）是　　（2）是
（3）是一条直线，必过（0，b）和（-　，0）点.
（4）两个
P164.议一议
（1）图象是一条过原点的直线
（2）两个　　（0，0）和（1，k）
（3）y=3x与x轴正方向所成的锐角最大；直线y＝x与x轴的正方向所成的锐角最小。
P164.做一做

P164.议一议
（1）y=2x+6与y=5x,y随x的增大而增大.
（2）y=-x与y=-x+6，y随x的增大而减小.
P164.做一做
（1）

（2）

（3）

议一议
（1）三条直线平行.
（2）（1，6）点　　　　　（3）y=6x
典型例题讲解
例1：已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴上？
（3）m为何值时，直线位于第二、三、四象限？
［点拨］一次函数的增减性完全由k值决定，位置由k、b共同决定.（1）当4m+1<0时，y随x的增大而减小；（2）直线与y轴的交点在x轴下方的条件是-（m+1）<0；（3）当4m+1<0且-（m+1）<0时，直线位于第二、三、四象限.
解：

跟踪练习1：已知直线y=(2m-1)x+1-3m.
（1）m为何值时，直线经过原点？
（2）m为何值时，直线与y轴交于点（0，2）？
（3）m为何值时，直线与x轴交于点（，0）？
例2：如图6-3-4，某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品.
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的关系式，并求出第几天结束，甲、乙两条生产线的总产量相同.
（2）在如图所示的坐标系中，作出上述两个函数在第一象限内的图象.观察图，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量最高.

解：（1）由题意得，甲生产线生产时对应的函数关系式是：
y=20x+200,乙生产线生产时对应的函数关系式是：y=30
令：20x+200=30x，解得x＝20
∴第20天结束时，两条生产线的总产量相同.
（2）由（1）可知，甲生产线所对应的生产函数图象一定经过A(0,200）和B（20，600）两点；乙生产线对应的函数图象一定经过两点O（0，0），B（20，600）.（如图6-3-5）

由图象可知：第15天结束时，甲生产线的总产量最高，第25天结束时，乙生产线的总产量最高.
跟踪练习2：某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存
放在储蓄罐内，准备捐献给希望工程，罐内原来有40元，2
个月后有80元.
（1）求出罐内钱数y（元）与存钱时间x（月）之间的函数关系式.
（2）右直角坐标系中作出函数图象.
（3）观察图象回答：按上述方法，该同学经过几个月能存够200元？
过关练习精选
1.选择题
（1）下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（　　）
A.　　B. 　　C.　　　D.
（2）一次函数的图象不经过（　　）
A.第一象限　　B.第二象限　　　C.第三象限　　D.第四象限
（3）下列图象中，不可能是关于x的一次函数的图象的是（　　）（如图6-3-7）

（4）弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图6-3-8所示，由图可知不挂物体时弹簧的长度为（　　）
A.7㎝　　　　　B.8㎝　　　　C.9㎝　　　　D.10㎝
（5）汽车开始行驶时，油箱内有汽油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余测量Q（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为（　　）（如图6-3-9）

2.填空题
（1）函数的图象是经过（0，　　　）和（1，　　　）
的直线，y随x的增大而　　　　　.
（2）已知函数，当k＝　　　　时，图象过原点；当k= 时，图象过（5，3）；当k的取值满足　　　　时，函数y随x的增大而减小.
（3）由下列函数图象，确定k、b的符号.（如图6-3-10）
（4）已知一次函数的图象过点（0，2），且y随x的增大而减少，则m等于　　　　　.
3.某地长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重要的行李，如果超过规定，则购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，且.
(1)画出这个函数图象.

（2）旅客最多可免费携带多少行李？

能力升华-新中考指向
1．(2005年江苏海安)现往一塑料圆柱形杯子(重量忽略不计)中匀速注水，已知10秒钟能注满杯子，之后注入的水会溢出，下列四个图象中，能反映从注水开始，15秒内注水时间t与杯底压强P的图象是 ( )

2.( 马尾区2005年数学中考试题)某村的粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量为y（吨），人口数为x，则y与x之间的函数图象应为图中的（ ）
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
D
O
x
y
C

3.(2005年浙江杭州)已知一次函数,若随着的增大而减小,则该函数图象经过 ( )
(A)第一,二,三象限 (B)第一,二,四象限
(C)第二,三,四象限 (D)第一,三,四象限
4.( 2005年大连市中考题)小明、爸爸、爷爷同时从家里出发到达同一目的地后立即返回