九年级数学上册 21.4 二次函数的应用教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

二次函数的应用
适用学科
数学
适用年级
初三
适用区域
沪科版
课时时长（分钟）
80
知识点
二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题
用二次函数图象解决几何问题
教学目标
1.知识与技能：会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。
2.过程与方法：通过本节内容的学习，提高自主探索的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。
3.情感态度与价值观：提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。
教学重点
利用二次函数解决最值问题。
教学难点
根据题意进行相应形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式。
教学过程
一、复习预习
我们学习了利用二次函数最值的求法，我们要能利用二次函数解决最值问题的同时还要能利用二次函数与其他知识相结合解决综合性的问题。

二、知识讲解
考点/易错点1
用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决．
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值．

考点/易错点2
用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全等、相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决．解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．

三、例题精析
【例题1】【题干】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）。当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？
【答案】

【解析】
（1）由可得p最大为41。.继而求的5年所获利润的最大值。
（2）首先求前两年的获利最大值，然后后三年。
（3）比较可知，该方案具有极大的实施价值。
【例题2】
【题干】牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

【答案】解：（1）画图如图：
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为，
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，解得，
∴函数关系式是
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元，依题意得：
　　　当时x=40，W有最大值9000.
（3）对于函数，当x时，W的值随着x值的增大而增大，
　　销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．

【解析】设好一次函数关系式，利用函数的性质
【例题3】
【题干】某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
【答案】解：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴，
解得，
所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当m=6时，W有最大值6.6，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
【解析】（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
【例题4】
【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
【答案】已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．
由题意得：y=x（90-x）×20
=-20（x2-90x）
=-20（x-45）2+40500
当x=45时，y有最大值，最大值为40500．
答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．
【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值．
【例题5】
【题干】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B都不重合）．
（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=x，△AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

【答案】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5
∴三角形ABC的周长为12，又因EF平方三角形ABC的周长，
∴AE+AF=6，而AE=x，
∴AF=6﹣x
过点F作FD⊥AC于D
则
∴
∴
所以
（Ⅱ）这样的EF存在，
S△ABC=BC?AC=×4×3=6
∵EF平分△ABC的面积，
所以
解得：
∵0＜x＜3
∴
∴6﹣x＜5
符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=．
【解析】（Ⅰ）根据AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；
（Ⅱ）根据EF平分三角形ABC的面积列出有关x的一元二次方程，解得有意义即可判定存在
【例题6】
【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

解这个方程组，得
所以解析式为
（2）由，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，
因此OM+AM最小值为．
【解析】(1)待定系数法求函数解析式
（2）两点之间线段最短

四、课堂运用
【基础】
1、如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为米，面积为平方米．（注：的近似值取3）
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当半径为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．

【答案】
（1）设扇形的弧长为l米.
由题意可知，.
∴.
∴.
其中.
（2）∵.
∴当时，.由题意可知，.
∴.
∴. …………………………………………………2分
其中.…………………………………………………………………3分
（2）∵.
∴当时，.……………………………………………………
由题意可知，.
∴.
∴. …………………………………………………2分
其中.…………………………………………………………………3分
（2）∵.
∴当时，.
由题意可知，.
∴.
∴. …………………………………………………2分
其中.…………………………………………………………………3分
（2）∵.
∴当时，.
【解析】本题主要考查了函数模型的选择与应用．此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大.

2、已知二次函数的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证： ∽
【答案】

【解析】

【巩固】
1、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x2+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）2+4000
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
【解析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值.
【拔高】
1、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
【答案】（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．          
由题意可得：
解得
故y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108．                   
（2）每天获得的利润为P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．                                 
故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大
【解析】（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；
根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格.

2、已知：抛物线的对称轴为x=-1与x轴交与A,B两点，与y轴交于点C,其中A（-3,0），C（0,-2）
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标

【答案】解：（1）由题意得解得
所以此抛物线的解析式为
（2）连结AC,BC.因为BC的长度一定，所以周长最小，就是使PC+PB最小。 B点关于Y对称轴的对称点是A点，AC与对称轴的交点即为所求的点P。

设直线AC的表达式为则，
解得
∴此直线的表达式为
把x=-1代入得'
所以点p坐标为（-1，）
【解析】
根据已知条件列出方程解抛物线的解析式。利用抛物线的对称性找到对称点即可

课程小结
二次函数的应用中有关最值的问题是和一元二次方程、一次函数相结合的产物，所以要求的综合能力较强，对知识的要求也较高。在解决利润问题时，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时注意考虑问题要周全。

课后作业
【基础】
1、教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是_____。

【答案】10m
【解析】本题考查二次函数的应用。令函数式中，，
，
解得
即铅球推出的距离是10m。

【巩固】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

【答案】设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）
由所给函数图象得                                                 
解得                                                   
∴函数关系式为y＝－x＋180.                                        
(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)                              
     ＝－x2＋280x－18000                                         
    ＝－(x－140)2＋1600                                  
当售价定为140元，W最大＝1600.
∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元
【解析】本题主要考查学生利用函数解决实际问题的能力，第一问，我们可以利用待定系数法求出一次函数的解析式；然后利用计算利润的公式：利润=（售价－进价）×销售量，得到二次函数解析式，并会利用配方法求二次函数最值。
【拔高】
1、某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
【答案】：（1）由题意，可设y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得：
解得：，
所以y与x之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；
（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）
=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）
=﹣10000（x2﹣12x+32）
=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]
=﹣10000（x﹣6）2+40000
所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．
【解析】（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；
（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．

2、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1 ）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，∴k=﹣4，
∴双曲线的解析式为，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0），
∴解得：
故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x；
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x，
∴顶点E（﹣，），对称轴为x=-，
∵B （1，﹣4），
∴﹣x2﹣3x=﹣4，
解得：x1=1，x2=﹣4，
∴C（﹣4，﹣4），
∴S△ABC=5×6×=15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（﹣，1），
∴EF=﹣1=，
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=；
【解析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，继而可得出三角形ABC的面积，先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，继而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得出答案．
（3）先确定符合题意的三角形ABD的面积，继而可得出当点D与点C重合时，满足条件，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标．