山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 6.1 勾股定理复习教案 北师大版.doc

6.1勾股定理复习教案

考试要求：
1.掌握勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的性质.
2.体验勾股定理的探究过程，会用勾股定理解决实际问题.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：会用勾股定理解决实际问题.
教法及学法指导：
本节课是复习勾股定理，借助导学案，帮助学生回顾梳理本考点的知识要点；在小组讨论的基础上，师生共同建构本章的知识体系；进一步通过考题研究、来巩固本章的主要内容，达到巩固基础、提升能力的目的,在学习过程中要注意勾股定理的运用．同时，把握知识点间的联系．在学习过程中，还应注意研究中考的命题方向，夯实学生的基础，消灭易错点，确保基础不丢分,提高训练的针对性．
教学准备：
教师准备：多媒体课件．
学生准备：导学案．
教学过程：
一、激趣导入，预习展示
【师】同学们还记得这个美丽的图案吗？在我们学习什么知识的时候用过它？
【生】学习推导勾股定理的时候（异口同声）.
【师】请同学们结合下列知识网络图对本考点进行简要回顾.
（多媒体展示）

直角三角形的知识结构图

直
角
三
角
形

勾股定理逆定理

边角关系：三角函数

勾股定理： a2+b2=c2（∠c是直角）

角的关系：两锐角之和是90°
边与边的关系：勾股定理

勾股定理逆定理
的应用

勾股定理的广泛应用

已知直角三角形的两边求第三边
设计意图：出示知识结构图让学生清晰、形象地了解各知识点间的联系．同时在此停留时间不宜太长，让学生有个大概的认识就行．
考点提要
（导学案提前下发，学生在导学案中填空.）
一、勾股定理
1.如果直角三角形两条直角边长分别为a，b斜边长为c，那么a，b，c三边应满足： _____________.
2.勾股数： 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
几组常见勾股数：（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17；
（5）7，24，25； （6）9, 40, 41等
勾股定理的应用：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边问题.
（2）实际生活的运用（比如题组三）.
（3）利用勾股定理解决折叠、对称、旋转问题等.
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是__________.
勾股定理的逆定理应用：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）先确定最长的边；
（2）验证最长的边的平方是不是其它两边的平方和；
（3）若相等,那么这个三角形是直角三角形,最长的边对的角是直角；若不相等,那么这个三角形就不是直角三角形.
提示：定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足a2+c2=b2，那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）.

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
设计意图：让学生进一步巩固本节学习的内容，把握复习重点，如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间，也能加深学生对知识网络的理解．
实际效果:通过课上展示，学生间相互补充，努力做到语言规范，准确．这样做既能够暴露出学生存在的问题（比直接给出答案让学生对比纠正要好的多），又能使学生感悟到知识的严密性，同时也节省了上课的时间．
二、题组训练，夯实基础
（导学案课前完成，课堂矫正）
题组一：
1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( )
A．4 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
A．13 B．8 C．25 D．64
设计意图：本题组的设计以基础题目为主，训练运用勾股定理以及逆定理的基本技能.
实际效果：从学生的做题反馈来看，准确率高，很好.
题组二：
1. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 等腰三角形
点拨：根据勾股定理的公式a2+b2=c2可以看出同时扩大相同的倍数k时，运用勾股定理是边同时变成倍数平方倍k2a2+k2b2=k2c2，左右同时除以k2时，利用等式的基本性质得到仍是直角三角形.
2.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
A．25 B． 12.5 C． 9 D． 8.5

3.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______.

4.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D,若BC=8，AD=5，则AC等于______________.

设计意图：本题组是在三角形和四边形中运用勾股定理、垂直平分线的性质，并且较第一组练习增加了题目的灵活性（网格问题），同时锻炼了学生的做题的技巧.
实际效果：较第一组练习来看，2、3、4、5题做的很好，第1题有几个同学出现错误.
题组三：
5
3
1.如图，某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.
点拨：首先明确楼梯铺设地毯的展开图是矩形，其矩形长是楼梯台阶向上的面与竖着的面的长度总和，楼梯台阶向上的面是楼梯底面的长可用勾股定理求出，从而求出地毯的长度.
2.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_______米.
点拨：过矮树的顶端向高树那边作垂线段，得到矩形和直角三角形，这时直角三角形的两条边分别是8和5，再用勾股定理求出即可.
3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.
点拨：连续运用正方形的面积公式与勾股定理来完成.

设计意图：本题考查矩形、正方形、勾股定理相结合的综合性的题目，关键是根据每个图形中隐含的等量关系来找到数量之间的关系，从而利用勾股定理来完成.
实际效果：尽管是综合性比较强的题目，学生做题正确率较好.
三、典例剖析，深化知识
【考点一】勾股定理的逆定理与三角形
【例1】( 2012，四川巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系
+|a-b|=0,则△ABC的形状为______.
【解析】由关系+|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即∴a=b,△ABC是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.
设计意图：判断一个三角形的形状可分为三种情况：当两个非负数或三个非负数之和为零时，那么这两个非负数或三个非负数同时为零.比如：开算术平方根、绝对值、平方，同时对因式分解进行综合训练.
【跟踪练习1】
1．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A． 等边三角形 B． 钝角三角形 C． 直角三角形 D． 锐角三角形.
2．已知三角形的三边长分别为a、b、c,并且满足a2c2-b2c2=a4-b4则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上答案都有可能
点拨：a2c2-b2c2=a4-b4得到（a2-b2）c2=（a2+b2）（a2-b2）当a2-b2=0时，此三角形为等腰三角形；a2-b2≠0时，（a2+b2）= c2此三角形为直角三角形，所以都有可能.
实际效果：学生会用分解因式的方法找到关系式，第2题学生出现错误较多.
【考点二】勾股定理与逆定理
A
B
C
D
【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm ∠C=90°，
（1）求BD的长;
（2）当AD为多长时，∠ABD=90°?
【解析】（1）在Rt△BCD中，BC=3,CD=4
∴BD2=BC2+CD2=42+32=25，BD=5(cm) .
(2)当AD=13时，∠ABD=90°.
∵AB=12，BD=5，AD=13，
∴AB2+BD2=AD2
∴∠ABD=90°.
【点评】本题考查勾股定理和逆定理的相互结合的应用.
设计意图：本题是勾股定理和逆定理的相互结合的应用，特别是跟踪练习需要作辅助线构成三角形.
【跟踪练习2】

C
A
B
D

3．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积.
4．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？
实际效果：学生在做这两道练习时，做法能够掌握，效果很好.
【考点三】勾股定理与折叠
【例3】（2012，荷泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.
【解析】（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10,AB=8, ,
∴CE=4，∴ E(4，8)
在Rt△DCE,DC2+CE2=DE2,
又DE=OD,∴(8-OD)2+42=OD2,
∴ OD=5,∴D(0,5).
【点评】根据折叠问题及矩形的性质，可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标.
设计意图：根据矩形的性质，结合折叠中出现的直角三角形的性质来完成.
【跟踪练习3】
5．（2012，武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10

6．如图，将一张长方形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD=8，AB=4，求△BED的面积.
C
D
B′
点拨：由折叠和矩形的性质可得△BED是等腰三角形即BE=DE，有AD=AE+DE，可换成AE+BE=8，因此在Rt△BED用勾股定理来完成BE的长度，从而求出面积.
实际效果：第5题 效果很好，但是第6题求△BED的面积有一部分同学有疑惑.
【考点四】勾股定理与对称
【例4】（2012，陕西）如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4,3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为________．
【解析】设这一束光与x轴交与点C，作点B关于x轴的对称点B′，过B′ 作B′D⊥y轴于点D．由反射的性质，知A,C,B′这三点在同一条直线上．再由轴对称的性质知B′C=BC.则AC+CB=AC+CB′=AB．
由题意得AD=5,B′D=4, 由勾股定理，得AB′=．所以AC+CB=．【答案】.
【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、轴对称性质以及勾股定理等.
设计意图：在立体图形中求线段的长度，往往采用展开图来完成.
【跟踪练习4】
7． 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

8．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ________cm.
【解析】将圆柱展开，．
【答案】15
【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.
实际效果：第8题有难度，学生完成情况不好.
【考点五】勾股定理与旋转
【例5】 (2012，四川省充) 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.
【解析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.则△ABE≌△ADF，得AE=AF，进一步证明四边形AECF是正方形，且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等.则所以.
【答案】cm.
设计意图：本题考查了三角形的全等变换、正方形的性质以及勾股定理.解题的关键是正确的做出旋转的全等变换，将四边形的问题转化成正方形的问题来解决.
【跟踪练习5】
9．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于_________cm2．
实际效果：通过在图形中找旋转图形的不变性，掌握很好.
【考点六】勾股定理中的易错问题
【例6】（2012，安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
【解析】考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.
解答：如下图，,故选C．

设计意图：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．
【跟踪练习6】
10.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．32，42，52 C． D．
错解：选（B）
正解：因为 ，故选（C）
点拨：关键找清较小两条边的平方是不是最大的边的平方．
11. 在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为，且，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形
错解：选（B）．
正解：选（C）．
分析：该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断．
实际效果：第1题未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式．第2题有的同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，导致错误．

四、课堂小结，反思提高
本节课复习了勾股定理和逆定理，这节课你的收获有哪些？还有哪些困惑的地方?印象最深的是什么？
（生交流）
设计意图：通过本节课的交流谈一谈自己的不足，以增加做题的熟练程度和技巧．
实际效果：从同学们的相互交流可以看出，勾股定理的运用学生印象比较深，学习的方法灵活多变，总结比较全面．
五、当堂达标，反馈矫正
1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．、2、 D．5、12、13
2．如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<c<b　　 B．a<b<c　 　 C．c<a<b　　 D．c<b<a
y
x
3．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①，②，③④.其中说法正确的是 （ ）
A．①② B． ①②③ C．①②④ D．①②③④
4．已知在Rt△ABC中，∠ACB是直角，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 .
设计意图：针对本节课的复习内容进行检测，了解本节课的复习效果，同时对课下的复习更有针对性.
实际效果：由于时间比较紧张，有一小部分同学没有完成最后一道题，前三道效果很好．
六．布置作业，巩固强化
必做题：《新课程数学复习丛书》 P110 第1、 2 、5、7题.
选做题：《新课程数学复习丛书》 P111 第11、12题.
设计意图：通过本节课的复习，同学们可以利用课下的时间进一步进行加强和巩固.
板书设计：
第六讲 考点1 勾股定理
例1

例2

例3

例4
例5

例6

投
影
区

学生板演区

教学反思:
本节课的亮点：
1.本节课首先明确考点的要求，知识的重难点，让学生把握中考的目标，所以课前通过三组不同类型的题目进行练习，由易到难，层层推

进，达到分散难点的同时也突出重点的效果，真正由浅入深，使学生理解的更充分，能够根据学生的掌握知识的规律出发，从而掌握更好的学习方法和技巧。
2.本节课的题目处理方式主要以充分发挥学生的主体作用的原则 ，“学生讲老师点拨”的方式进行，从而活跃的学生的学习积极性，大大的提高了学习效率。
3.例题的设计从不同方面与勾股定理相结合的综合运用，多方面的体会勾股定理的广泛用法。从而使知识更有连贯性，更好的形成知识网络。
不足之处: 本节课的容量比较大，题组训练放在课前完成，课堂上需要纠正，所以耽误了一些时间，在处理当堂达标的题目时，仍有少数同学有一道题没有完成，时间比较紧张．今后需要注意把握一下课堂的时间。