山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 5.7梯形复习教案 北师大版.doc

5.7梯形复习教案

教学目标：
1.明确梯形与平行四边形的区别，理解掌握梯形的性质和判断。
2.掌握解决梯形问题时常作的辅助线，体现转化思想
3.综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题
教学重点与难点：
重点：明确梯形与平行四边形的区别，理解掌握梯形的性质和判断.
难点：综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.
教法与学法指导：
教法：1.创设情境法.通过展示导学案，创设问题情境，激发学生学习兴趣.
2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.
学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.
2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果.
课前准备:
教师准备：导学案，多媒体课件．
学生准备：导学案（完成知识要点梳理及课前热身训练部分）
教学过程：
一、课前热身训练
【师】同学们，上节课我们共同复习了平行四边形，我们知道平行四边形是一种特殊的四边形，在我们的学习中还有那种特殊的四边形？
【生】梯形.
【师】本节课，我们将再次走进“梯形”的世界，体会梯形的特殊之处，及它给我们带来的数学思想及方法.同学们，对本课的学习有没有信心？
【师】好，请同学们按照小组分配的内容先展示我们的自主复习结果.
（多媒体出示题组）
1.下列说法正确的是（ ）
A.一组对边平行的四边形是梯形
B.有两个角是直角的四边形是直角梯形
C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形
D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形
2.四边形的四个内角的度数比是4∶5∶5∶4，则这个四边形是（ ）
A.等腰梯形 B.直角梯形 C.平行四边形 D.不能确定
3.梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=54 °，∠C=36°， AD=10 AB=12，CD=16,
则BC=_____________
4.如图，在直角梯形ABCD中，AB=4 cm, AD=4.5 cm,∠C=30°,则DC=_____ cm，BC= _______cm （ ）
A.8,4 B.8 cm,(4.5+4) cm
C.4(+1)+,8 D.8 cm,(4错误！未指定应用程序。+4) cm

5.已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是 ( )
A. 25 B. 50
C. 25 D.
6.已知：如图，在等腰梯形中，
求证：．
7. 已知：如图，等腰梯形中，平分，且于，梯形的周长为20，求梯形各边的长．

【生】（第一组代表）选C.本题考查梯形、直角梯形、等腰梯形的概念，梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，A错；有两个角是直角的四边形可能是矩形，B错；一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是平行四边形，D错；C答案强调了“只有”两个字，所以，选C.
【师】（点拨强化）梯形的概念经常以判断的形式出现在选择题中，要特别注意它与平行四边形的区别，能够准确的对各种梯形进行描述.
【生】（第二组代表）选A.本题考查等腰梯形的判别，根据各角所占比例可以看出此四边形满足“同一底上的两角相等的梯形”，所以是等腰梯形, 选A.
【师】判别等腰梯形除了用“同一底上的两角相等的梯形”这一方法以外，还有哪些方法？
【生1】还可以用定义“两腰相等的梯形是等腰梯形”.
【生2】还有“对角线相等的梯形是等腰梯形”.
【师】（点拨强化）判别等腰梯形时，我们需注意方法：（1）先判别四边形是梯形，（2）再判别此梯形是否满足“同一底上的两角相等”或“两腰相等”或“对角线相等”.
【生】（第三组代表实物投影展示）如图，过点D作DE∥AB交BC与点E，则∠DEC=54 °,
△DEC是直角三角形， AB=DE=12，∵CD=16 ，∴根据勾股定理得，CE=20，∵AD=BE=10，
∴BC= BE+ CE=36.
E
C
D
A
B
第4题图
【师】（点拨强化）在解决与梯形有关的计算和证明问题时，常需要添加辅助线，“平移一腰”就是其中一种常见的辅助线，它可以将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题来解决，是一种转化思想的体现，希望同学们能够掌握.
【生】（第四组代表实物投影展示）选D.如图，过点D作DE⊥AB垂足为E，则DE=AB=4 cm，BE=AD=4.5 cm， △DEC中，∵∠C=30°，∴CD=8 cm；根据勾股定理得，CE=4cm，∴BC=(4错误！未指定应用程序。+4) cm.
【师】（点拨强化）和上题类似，本题仍然通过添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题来解决，“作高”也是梯形中常见的辅助线之一.
【生】（第五组代表实物投影展示）选A.作DE∥AC，交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，则四边形ACED是平行四边形，BD⊥DE，
∴DE=AC，AD=CE=3，∴△BDE是等腰直角三角形
∴BF=EF=DF=BE==(7+3)=5
∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=错误！未指定应用程序。(3+7)×5=25.
【师】（点拨强化）本题仍然通过添加辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题来解决，“平移对角线”是梯形中常见的辅助线之一.
【生】（第六组代表实物投影展示）本题考查等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两腰相等；（2）等腰梯形同一底上的两角相等.
证明：四边形是等腰梯形．

又

在和中，
．

【生】（第七组代表实物投影展示）
解：梯形为等腰梯形．

设，
则．

【师】等腰梯形的性质常结合三角形的性质进行考查，同学们应熟练等腰梯形的性质在证明和计算题中的应用.
【生】（两分钟纠错、交流、反思）
设计意图：本环节主要是帮助学生课前自主复习梯形的有关概念、等腰梯形的性质和判别、梯形中常见的辅助线等知识，这些都是基础知识和基本技能的再现.
处理方式：学生课前独立完成，课上再让小组代表展示，让学生口述每个题目考查的知识点以及解题思路和方法.做错的题小组内帮助分析原因并纠错.老师巡视关注学困生，必要时给与指导.
实际效果：因问题都是基础题，解决较顺利，正确率较高，为课堂的下步探究打下良好的基础.其中，第5题有部分同学跟不上.
二、知识要点梳理
（导学案提前下发，学生在导学案中填空.）
1.梯形的有关概念：一组对边_________且另一组对边_________的四边形叫做梯形；
两腰__________的梯形叫做等腰梯形；一条_____和_______垂直的梯形叫做直角梯形.
2.等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的两腰___________，两底__________.
（2）等腰梯形同一底上的两个内角___________.
（3）等腰梯形两条对角线____________.
（4）等腰梯形是轴对称图形
3.等腰梯形的判别：（1）定义
（2）__________________的梯形是等腰梯形.
（3）________________________的梯形是等腰梯形.
4.梯形的面积公式:S=__________________________________
5.辅助线的作法：
（1）如图1，过上底顶点做一腰的平行线，把梯形转化为平行四边形和三角形；
（2）如图2，过上底的顶点作梯形的高，把梯形转化为矩形和两个直角三角形；
（3）如图3，延长两腰交于一点，把梯形转化为三角形；
（4）如图4，过上底的顶点作对角线的平行线，把梯形转化为平行四边形和三角形；
（5）如图5，连结上底顶点和一腰的中点并延长，与下底的延长线相交，得到全等三角形，把梯形转化为和它面积相等的三角形；

图1
图2
图3
图4
图5
图6
（6）如图6，过一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形转化为平行四边形．

设计意图：在填空的过程中，让学生初步回顾本考点学习的内容，如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间，又可以为后面的专题训练作准备.
处理方式：展台展示一生的导学案，学生检查并纠正错误.多媒体展示标准答案，结合
课前热身训练题组加深对各概念及定理的理解.
实际效果:主要存在以下几个方面的问题：①语言不严密，概念把握不准；（2）对梯形辅助线的作法不能灵活应用．通过上课时展示，学生间相互找问题，能够将语言规范．这样做能够曝露出学生掌握存在的问题，比直接说更能感悟到知识的严密性，同时也节省了上课的时间.
答案：1.平行、不平行 、相等、腰、底 2.相等、平行、相等、相等 3.同一底
上的两个内角相等、两条对角线相等. 4.
三、典型例题示例
（多媒体出示例题）
例1 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=4cm，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积．
【师】本题与前面哪题类似？
【生】课前第5题.
【师】这两题有何区别？
【生】上题已知等腰梯形和上、下底的长，求面积.本题没有等腰梯形，也没有上、下底的具体长度，求对角线长及面积.
【师】你能类比上题的方法解决此题吗？我们如何解决呢？
【生】（1分钟时间自主思考后，在小组内交流解题思路）
【生】（第八组代表实物投影展示）
解：(1)梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴AC=BD
过点D作DE∥AC,则四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC=BD CE=AD BD⊥DE，
∴△BDE是等腰直角三角形
∵BE=AD+BC=4
∴BD²+DE²=(4)²=32
∴BD=DE=AC=4
(2)∵AD∥BE、AD＝CE，∴△ABD和△DCE是等底等高的三角形，
∴梯形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△BDC的面积＝△DCE的面积＋△BDC的面积＝△BDE的面积＝BD×DE＝×4×4＝8.
【师】（点评指导）本题与上题类似，仍“平移对角线”，不同的是，本题我们要首先判
别梯形ABCD是等腰梯形，再结合直角三角形的性质及整体思想解决问题.
设计意图：“平移对角线”这一辅助线是梯形常用的辅助线，但学生对此辅助线的应用比较陌生，对学生来说这类题是难点.因此，除热身训练题组出现此类题以外，在例题中再次出现的目的就是让学生体会要想顺利的解决梯形问题，正确的添加辅助线可以事半功倍.
处理方式：引导学生对比上题的解决方法添加辅助线，自主解决后，在小组内讨论交流，再由一组学生代表展示，教师规范解题过程.
实际效果:有了上题的基础，学生容易联想到辅助线的作法，整体代入计算意识仍需加强.
例2 （2012河北）如图10，某市A、B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD—DC—CB。这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：DC=10:5:2.
（1）求外环公路总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路长.

【生】（1分钟时间读题）
【师】第（1）题若抽象为数学问题，即已知什么，求什么？
【生】已知等腰梯形ABCD，DC∥AB，AB：AD：DC=10:5:2.求（AB+AD+DC）：BC的值.
【师】比值多少？为什么？
【生】（1分钟时间自主思考后展示）
解：（1）设AB=10k km，则AD=5 k km ，CD=2 k km.
∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，
∴BC=AD=5 k ∴AD+DC+BC=12 k
∴外环公路总长和市区公路长的比为12 k：10 k =6:5
【师】第（2）题可以转化为什么问题？
【生】列一元一次方程解决行程类问题.
【师】如何解决？
【生】（1分钟时间自主思考后，第九组代表实物投影展示）
（2）由（1）可知，外环公路总长为12x km，市区公路长为10x km.
由题意得
解这个方程得 x=1 ∴10x=10
答：市区公路的长为10 km.
【师】（点评指导）本题涉及等腰梯形的性质，线段的比，和一元一次方程的应用.第一问中求市区公路和外环公路长的比值时，是代数式的比，含有字母，是我们的的弱项，在以后的学习中，多加练习.本题属于中等题型.
设计意图：本题属于用几何知识解决实际问题，此类题不常见，解决此类题的关键是能够充分理解题意，将实际问题转化化为数学问题.
处理方式：给学生留出充分的思考时间，让学生读题、理解题意，自主解决后，在小组内讨论交流，再由一组学生代表展示，教师规范解题过程，特别强调第（1）题参数的引用和第（2）题未知数的设法技巧.
实际效果:在老师和小组的引导帮助下，多数同学都能顺利解决此问题，少部分同学不会列方程.
例3 （2011茂名）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连
接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．
(1)求证：OD＝OE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (2)求证：四边形ABED是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　 　　　
(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．
【师】由本题的已知条件，易得什么结论？
【生】△ABD≌△BAE
【师】（1）证明两线段相等的常用方法用哪些？
【生】三角形全等；等角对等边；相等线段的和或差.
【师】本题可以怎样证明？
【生】（1分钟时间自主思考后，第十组代表实物投影展示）
证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC ， ∴∠BAD＝∠ABE，
又∵AB＝BA、∠2＝∠1， ∴△ABD≌△BAE(ASA)，
∴BD＝AE，又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，
∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．·
【师】（2）要证明“四边形ABED是等腰梯形”，由上题易知什么？只需再证什么？
【生】由(1)易知AD＝BE，只需再证四边形ABED是梯形.
【师】如何证明？
【生】（1分钟时间自主思考后，第一组代表实物投影展示）
证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝－∠DOE)，
同理：∠1＝－∠AOB)，
又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB，
∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，
∴四边形ABED是梯形，　又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE
∴梯形ABED是等腰梯形．
【师】（点评指导）在证明等腰梯形时，很多同学只关注“等腰”的证明，而忽略“梯形”的证明，通过本题一定要铭记证明等腰梯形的“两个”重要条件.
【师】第（3）题还能套用梯形面积公式吗？
【生】不能.
【师】有已知条件，你认为可以是用什么方法计算此梯形的面积？
【生】（1分钟时间交流）
【生】用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”先求得△ACB的面积，再用△ACB的面积减去△DCE的面积，即可求得.
【生】（第二小组代表实物投影展示）
解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，
∴，即：，
∴△ACB的面积＝18，
∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16 ．
【师】（点评指导）“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一计算面积的定理常给我们以“柳暗花明又一春”的感觉，当计算面积遇到难处时，不妨观察一下是否有相似的出现，问题便迎刃而解.
设计意图：本例题是一道综合性比较强的题目，难度较大，方法不容易确定，特别是等腰梯形的证明，对学生来说是易错点，而用相似的性质计算面积也是学生不容易想到的方法，因此，作为例题出现对学生将起到方法技巧的指导作用.
处理方式：给学生留出充分的思考时间，让小组合作学习在这里充分发挥作用，生生交流互助，达到解题的目的.
实际效果:在老师和小组的引导帮助下，多数同学都能顺利解决此问题，少部分同学还是不能理解，仍需帮助.
四、课堂小结归纳
【师】请同学们根据本章知识网络图，来回顾一下我们本课所学知识，掌握各知识点间的联系，以便更好的应用.
（多媒体出示本章知识网络图，学生明确各知识点间的联系）
分别平行
一组对边平行
另一组对边不平行平行
两组对边
四边形
平行四边形
梯形
一腰垂直于底
两腰相等
等腰梯形
直角梯形

设计意图：利用知识网络让学生回顾多边形的的知识点，一方面使学生能够进一步明确本章的知识点，另一方面使学生能够理解多边形知识间的联系，形成知识网络，利于学生理解和掌握知识点.
处理方式：对本章的知识结构，可以教师出示也可以让师生共同归纳总结，再让学生根据知识结构回顾本课所学习的知识点,以便学生能更好的理解和掌握.
五、当堂达标检测
1.（11，扬州）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等.其中假命题有（ ）
A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
2.（12，临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）
A. AC=BD B.OB=OC C. ∠BCD=∠BDC D. ∠BCD=∠BDC

3.（12，无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A. 17 B.18 C.19 D. 20
4.（11，武汉）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是（ ）
A．40°　　 B．45°  C．50°　　 　D．60°
5.（11，滨州）如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4

6.（（11,烟台）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7.(11,湖州)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是 __________．
8.（11，邵阳）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm.
设计意图：及时巩固本节课复习的内容，查看学生对梯形知识点及应用方面还存在哪些问题，通过检测练习进一步查缺补漏,为下一步的复习做准备.
处理方式：以考试的形式让学生独立完成，限定时间为5-8分钟左右，然后教师再统计学生答题情况，以便能够了解学生对本课知识点的掌握情况.
实际效果：通过学生答题情况来看，学生对这部分知识掌握较好，基本都能独立、正确的完成.
答案：1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6 . B 7. 3 8. 2
六、布置课后作业
必做题：中考丛书第101页到104页，第1、6、7、8、9、10题.
选做题：中考丛书第101页到104页，第3、4、11、12题.
七、板书设计

第五讲 考点7 梯形
考点1 梯形的有关概念
考点2 等腰梯形的性质
考点3 等腰梯形的判别

学生板演区

教学反思：
九年级数学的复习阶段是在学生学完整个初中阶段的数学知识后进行的，因此，学生完全可以自主解决问题，教师在复习课上可以大胆地放手，将课堂教给学生。
本课我让学生自主梳理知识，小组代表说出自己的解题过程，让同学评判，有没有不完整的地方，哪些地方需要改正，我发现学生的思路还是比较完整的，因此，教学中我只做强化指导，这样可以留给学生充足的时间思考，而且还可以发现他们的思维闪光之处，及时对学生进行鼓励，给学生更大的学习信心。
在例题的处理上，尽量做到讲完例题之后，要对例题归纳总结，但归纳总结不是简单的重复解题过程，重点应该放在解题思想上，本课的重点是引导学生把梯形转换成我们之前学习过的平行四边形和三角形，这和最初引入量，用平行四边形和三角形拼成梯形也是一致的，在做几何题的时候，很重要的一个环节就是做辅助线，把不熟悉的图形拆分成熟悉的图形，进而，利用已经学过的东西，去解决未知的东西。梯形是数学思想联系与固化传授的很好的载体，在学习过程中应该发挥学生的主体作用，进行充分的探讨，体会图形与图形之间的互相转化关系，开放性地让学生观察，发现验证，说理，整体的课堂在浓厚的探索气氛中进行。