八年级数学 第一章 勾股定理综合解说-北师大版.doc

八年级数学 第一章 勾股定理综合解说

1．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些
际问题。
3．掌握判断一个三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。
4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
学法建议

勾股定理是反映自然界基本归律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展 中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。勾股定理从变的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过勾股定理的学习，同学们将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
为了使同学们更好地认识勾股定理、发展推理能力，课本设计了在放个之上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将a2,b2,c2与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到的勾股定理）。
勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求同学们从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，课本没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。课本以历史上古埃及人做直角的方法引入“三角形的三边如果满足a2+b2=c2,是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作三角形，从测量三角形的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关变的条件。
为了让同学们更好的体会勾股定理在实际问题中的作用，课本提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示他们的应用，体会了它们的文化价值。限于同学们已有的知识，有关应用中涉及数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算的复杂。在同学们学习了无理数之后，可以再用勾股定理解决一些涉及无理数的实际问题。
1． 探索勾股定理
教材分析

1． 学习目标与要求
（1）经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展同学们的和情推理意
主动探究的习惯，进一步体会数形结合的思想。
（2）掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边之间的关系，它是直角三角形的一个重要性质。
（3）能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求出第三边的长。
2． 新知识点全解
（1）勾、股、弦的概念
你听说过“勾广三，股修四，经隅五”的说法吗？在我国古代，人们把直角
角形中的较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
(2)勾股定理
直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。即c2=a2+b2(c为斜边，a、b为直角边)。
勾股定理作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）可用来证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，可做出长为--------的线段。
勾股定理的各种表达形式：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
则c2=a2+b2,a2=c2- b2, b2= c2- a2

(后面三种形式，你在学了第三章之后，你就会觉得这种形式很方便的)
勾股定理的面积法证明：把四个全等的直角三角形拼成正方形如下图:

b
b
b
a
aaaaaaaaaaab
a
c
c
caaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
a
a

（1） 图1-1-1
图（1）中，S正方形ABCD=(a+b)2=c2+4×ab 所以 a2+b2=c2
图（2）中，S正方形EFGH=c2=ab×4+(b－a)2 所以c2=a2+b2
3●课内问题探究
P2 图1-1和1-2是针对等腰三角形三边上的正方形面积进行探索的，在计算斜边上正方形面积时，可以有不同的方法，可用直接数出C所包含的小正方形数的方法，或将C划分为四个全等的等腰直角三角形，再利用计算三角形面积公式得到正方形C的面积，或将C看成一个边长为整数的正方形面积的一半。
（1）在图1-1中，正方形A中含有9个单位面积，正方形B的面积单位是9个单位面积，正方形C的面积是18个单位面积。
（2）在图1-2中，正方形A的面积是四个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积。
（3）C的面积=A的面积+B的面积
P3做一做
（1）图1-3中，正方形A的面积是16个单位面积，正方形B的面积是9个单位面积;正方形C的面积是25个单位面积。
图1-4中，正方形A的面积是4个单位面积，B的面积是9个单位面积，C的面积是13个单位面积。
（2）C的面积=A的面积+B的面积
P3议一议：
（1）略 （2）斜边的平方=一直角边的平方+另一直角边的平方
（3）斜边的长度为13 厘米，同样，132=52+122即（2）中的规律成立。
P4想一想
提示：我们通常所说的29寸或74厘米的电视机，是指其荧光屏对角线的长度，而不是其长或宽。同时，因为荧光屏被边框遮盖了一部分，所以，实际测量存在着一些误差。
由于582+462=5480≈742=5476 所以，售货员没搞错。
P7问题（3）大正方形的面积可以表示为（a+b）2,又可以表示为ab4+c2
P8议一议：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一类关系呢？通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a,b,c,不满足a2 + b2 = c2
典型例题讲解

例一：如图1-1-2，求字母所代表的正方形的面积：
(1)若字母B所代表的正方形的面积是64，字母C所代表的正方形面积为2255,求字母A所代表的正方形的面积。
(2)若字母A所代表的正方形面积是1156，字母B所代表的正方形的面积是256，求字母C所代表的正方形的面积。
[点拨]由勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。而斜边的平房洽等于字母A表示的正方形的面积，两直角边的平房分别等于字母B和字母C所表示的正方形面积，从而，A的面积=B的面积+C的面积。
跟踪练习1.(2003吉林省中考试题)如图1-1-3 所示，图形中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的边长是7厘米，则正方形A、B、C、D的面积是--------cm2。

图1-1-3

图1-1-2
例2：如图1-4，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东 北
南方向航行，以轮船在同事通地向西南方向航行，一直他们
离开港口一个半小时后分别到达B、A两点且AB=30海里，
问乙轮船每小时航行多少海里？
[点拨]（1）以轮船一个半小时由O航行到A,要求以轮 东
船的速度，关键是求AD的长度。
（2）B在O的东南方向，即∠1=450A在O的西南方向即∠2=450所以 ∠AOB=∠1+∠2=900，ΔAOB是直角三角形。
(3)若用勾股定理求AO的长，这是应考虑其它两边BO、AB是否已知或可以求得。
解：根据题意
B灾O的东南方向，所以∠1+∠2=450
所以∠AOB=900，即ΔAOB是直角三角形，BO=16×=24(海里)
AB=30（海里）根据勾股定理 AO2=AB2-BO2=302-242=182所以AO=18
所以乙船的速度=18÷=12（海里/时）
答：乙船每小时航行12海里。
跟踪练习2：居民楼与马路是平行的，相距10米，在距离载重汽车100米处就可受到噪音影响。试求在马路上以9千米/小时速度形式的载重汽车，给一楼的居民带来多长时间的噪
音影响。如果是5楼的居民呢？（假如每层楼的高度都是3米）
例3 ：如图所示，隔湖有两点A,B,从与BA 方向成直角的BC上的C点，
测得CA=50米，CB=40米。求：A,B两点的距离。（2） 你能知道B点到直线AC
得最短距离吗？
[点拨]（1）由题意可知，三角形ABC是直角三角形，
A,B两点间的距离就是AB的长，所以用勾股定理可以求出。
（2）要问B到直线AC得最短距离，就是要求出B到
AC的垂涎BD的长，运用面积公式可以解出。
解：由题意知ΔABC是直角三角形，勾股定理知
AC2=BC2+AB2, 又AC=50,BC=40, 于是 AB2=502+402=900
由AB为正，所以： AB=30米
ΔABC的面积=·AB×BC =AC × BD
则AB×BC=AC×BD所以BD====24（米）
答：AB两地的距离为30米，B到AC 的最短距离为24米

跟踪练习3：如下图一长方形的场院ABCD ,AB=9m,AD=12m,右点B处竖着一根电线杆在电线杆上距地面8米处的E处有一盏灯，
求点D到灯E的距离

（ 图二）

（图一）
例4：如图二所示，一根旗杆在离地面9米的A处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米 处的C处，旗杆折断之前有多高？
[点拨]本题考察勾股定理的证明，解题时需要把本题的问题设法转化为求直角三角形的三边问题，求解思路为先用勾股定理求AB,再由旗杆折断之前的高度=AC+AB,求出结果。
解：如图二，由题意AB2=92+122=225,所以AB=15故旗杆的高为15+9=24米
跟踪练习4: 小明想知道学校的旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到了地面
还多了一米，当他把绳子的下端刚好接触到地面，则旗杆的高度为（ ）
A.8M B. 10M C.12M D.14M
过关练习精选

1． 选择题
（1） 一个直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边长为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.12
(2) 斜边为17，一条直角边长为15的直角三角形的面积为（ ）
A.60 B.30 .C90 D.120
(3)直角三角形两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A.6 B.8 C. D.
2.填空题：
（1） 在Rt△ABC中，斜边 AB=2, 则 AB2+BC2+CA2=
（2） 直角三角形的周长是12CM，斜边的长是5CM ,则其面积为
（3） 如果一个直角三角形的一条直角边是另一直角边的2倍，斜边长是5㎝，
那么这个直角三角形的面积为
3． 如图1-1- 8，图中阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。
15㎝
17㎝
图1-1-8
4． 图1-1-9， 是一个长方形的操场，，今不绕长方形的操场的两边走
（A→C→B）
而取捷径沿对角线（A → B）走，省去了长方形长边的距离，求长方
形短边与长边各是多少？
C BB

A 图1-1-9 D
图1-1-10

5．如图1-1-10中阴影部分是一个正方形，计算这个图形的面积。

6.已知旗杆AB 高17米，在离旗杆顶端B
处1米的地方系一条绳索，绳索长20米，将
绳索拉直，绳索的另一端恰好到地面上的C处，
求：A,C间的距离。 如图（1-1-11）

能力升华 · 新中考指向 图1-1-11
1．（2005年中考题）如图1-1-12，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm，四边形EFGH的面积等于 　 cm2.

图1-1-12 图1-1-13
2．（2004年昆明中考题）如图1-1-13，△ABC中，∠ACB=900，以△ABC各边为边在△ABC外做三个正方形，S1,S2,S3,表示三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2= .
3.观察图1-1-14中，图（1）和图（2）两个图中面积最大的正方形的边长都是a+b,这两个大正方形都是按不同方式被分割成若干小正方形和直角三角形，请你用这些小正方形和直角三角形的面积和分别表示出这两个大正方形面积S1 和S2，比较S1和S2,你能否得到勾股定理？

（1） 图1-1-14 （2）

4．你能否利用下面3个图形得到勾股定理？要求：画出图形并给出验证过程。

图1-1-15
5．（2004年济南市中考题）如图1-1-16所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b,斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形由若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图。（无需证明）

图1-1-16
跟踪练习
1．49 2．如图， A是 一楼某居民的位置，以题意，设AC=10M ,B是载重汽车使
A开始受噪音影响的位置，即AB=100M,使A有噪音影响的汽车路程是2BC.
2BC=2=2=60(M)而汽车的速度是=2.5 （米/秒）
噪音影响时间 t1=60÷2.5=24 ≈79.6(秒)即大约1分20秒。
C
B

A

3.17米 4. C
过关练习精选
1．（1）C (2)A (3)D 2.(1)8 (2)6㎝2 (3) 5㎝2
3. 正方形的面积为S 所以，S=172-152=82=64
4. 设长方形长为 X,宽为y.则有：
x2+y2=(x+y-)2, x2+y2=( +y)2
x2+y2=x2+xy+y2
x2=xy 两边同除以x2得：=,故，长与宽的比为4：3
5．5㎝2 6.A、C之间的距离是12米。
能力升华●新中考指向
1．8 ；8 2. 144
3.S1=a2+b2+2ab S2=c2+2ab
由S1= S2 可得： a2+b2=c2
4．拼成如右图所示直角梯形。
S梯形ABCD=(a+b)(a+b) =（a+b）2
又S梯形ABCD =S△ABE+S△CDE+S△ADE=2×ab+c2
∴(a+b)2=2×ab+c2 ∴a2+b2=c2
5.(1)图形规范、正确即可，如右图。
（2）∵S梯形=(a+b)(a+b) =（a+b）2
S梯形=2×ab+c2= ab+c2
∴(a+b)2=ab+c2整理得：a2+b2=c2

课本习题解答： P6习题1.1
1. A所代表的正方形的面积是625；B所代表的面积是144。
2. （1）X=10,(2)X=12
3. 24米。有勾股定理可求的旗杆断裂处到杆顶的长度是15米
4. 60㎝2。有勾股定理可求出另一条直角边的长度为8㎝。
随堂练习p111.(1) (2)可以作为直角三角形的三边长
p121.是，因为通过移项可以得到a2+b2=c2
2.还是直角三角形。
3． 直角三角形。三条线段的长度 构成勾股数。
习题1·2 p9
1. 64㎝2由勾股定理可求得正方形的边长为8㎝。
2. 8米
2．勾股数
教材分析

1． 学习目标与要求
（1） 通过实际做图得直角三角形的判定条件（即 勾股定理的逆定理），
弄清定理的条件和结论，并能与勾股定理相区别。
（2） 会用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否是直角三角形，并能
进行简单的应用。
（3）例结构股定理的含义，探索常用勾股数的含义。
2． 新知识全解
（1） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么
这个三角形是直角三角形。
弄清勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系。
① 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，其逆定理是判定定理。
② 联系：勾股定理与其逆定理得题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
如何用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形：
① 首先求出最大边（如c）
② 验证c2与a2+b2是否具有相等关系。
若c2=a2+b2,则∆ABC是∠C=900的直角三角形；
若c2≠a2+b2,则∆ABC不是直角三角形。
在运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形时，还须要注意;
① 由a2+b2=c2可以推出以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，在为确定相等
关系之前，不可以把a+b与c画上等号。
② 运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时不能简单地看两边的平方和是否等与
第三边的平方，而应分别计算出三边平方后，再看其中有无某两边的平方和等与第
三边的平方。例如：千万不可由32+52≠ 42来确定∆ABC中∠A≠900
(2)勾股数：满足a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。
对于任何一组已知的勾股数，都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数。
对于任意一个大于1的奇数m,都存在着两个连续整数n,n+1,且当m2=n+(n+1)时
有m2+n2=(n+1)2,即m,n和（n+1）是一组勾股数。
对于任意一个大于2的偶数m,都存在着两个整数n,n+2,且当=n+(n+2)时，有
m2+n2=(n+2)2即m,n和n+2是一组勾股数。
3． 课内问题探究
P10.做一做。
下面三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c;
5,12,13 7,24,25 8,15,17.
(1) （1） 这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2） 别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角
形吗？
经过验证，这三组数均满足a+b=c.作出三角形后，通过测量内教的读书，可得出它们都是直角三角形。这个结论将在以后进一步说明。
P11读一读
对于任意两个正整数，m,n（m>n）,m2+n2,m2-n2和2mn 这三个数就是一组勾股数组。
验证：（m2-n2）+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2 (问题如何比较三个数的大小)
所以：m2＋n2，m2-n2,2mn(m,n是正整数，且m>n)三个数是一组勾股数组。
说明：运用勾股定理逆定理的步骤。
（1）首先确定最大边（若c为最大边），如果最大边不能确定就必须对边进行分类讨论。
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系。
或c2=a2+b2 则 △ABC是以∠C=900得直角三角形，若
c2≠ a2+b2则△ABC不是直角三角形。
典型例题讲解

例1.试判断：三边长分别为2n+2n,2n+1,2n+2n+1(n>0)的三角形是否为直角三角形。
[点拨]先确定最大边，再由勾股定理的逆定理判断。本题易错点是不先确定
最大边而盲目判断。解题的关键是判定最大边。你可以用作差比较法来判断。
解：因为（2n2+2n2+1）— (2n2+2n)=1>0
(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0(n>o)
所以，2n2+2n+1为三角形中的最大边。
又因为，（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1
所以，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1
所以（2n2+2n+1）2=(2n2+2n)2+(2n+1)2
根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形。
跟踪练习1·对于任意两个正整数m,n，（m>n）,以m2+n2,m2-n2 ,2mn为三边长
能否构成Rt△.

P63 例2.一个零件的形状如图1-2-1所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角。工人师傅量的这个零件各边尺寸如图1-2-2所示，这个零件符合要求吗？
D
[点拨]利用代数法（即勾股定理逆定理）计算三角形的三边，看它们是不是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形。 C
C 13
D
4 5 12

图1-2-1 A B A 3 B

解：在∆ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2, 图1-2-2
所以∆ABD是直角三角形，∠A是直角。
在∆BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2,
所以∆BCD是直角三角形，∠DBC是直角。
因此这个零件符合要求。
跟踪练习2如图1-2-3中，四边形ABCD中，AB,BC,CD,DA
的长分别为3，4，13，12，且∠ABC=900,求四边形ABCD的面积。图1-2-3
例3.三角形三边之长分别是（1）3，4，5（2）9，40，41;(3)7,24,25;(4)13,84,85;其中能构成直角三角形的有（ ）
A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个
[点拨]若一直三角形三边长，要判别这个三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，即是否有c2=a2+b2
解： （1）52=32+42
（2）412=92+402
（3）252=72+242
（4）852=132+842
所以以上4组都能构成直角三角形。
跟踪练习3：设三角形的三边长分别是下列各组数，判断各三角形是否是直角三角形。
（1）7，24，25 （2） 12，35，37
（3）11，13，10 （4）8，15，17
例4.如图：1-2-4，已知D是∆ABC边BC上的一点，
且AC=AD+DC.小明说，由上面条件可得到
AB2-AC2=BD2-CD2,你说小明说得对吗？为什么？
[点拨]先利用AC2=AD2+DC2得∆ACD 是直角三角形，且∠ADC=900从而，∠ADB=900,
∆ABD也是直角三角形，再由勾股定理，即得。
解：小明说的队。
因为由AC2=AD2+DC2,知∆ADC是直角三角形，且∠ADC=900从而，
∠ADB=1800-∠ADC=900 所以∆ADB也是直角三角形，从而，AB=AD+BD
所以 AD2=AC2-DC 2,AD2=AB2-BD2
所以 AC2-DC2=AB2-DB2
即AB2-AC2=BD2-DC2
跟踪练习4：如右图，∠C=900D为AC的中点，
DE┴AB于E,请说明BC2=BE2-AE2的道理。

过关练习精选

1.选择题
（1）分别以下列四组数为一个三角形的边长
①6，8，10 ②5，12，13 ③8，15，17 ④4，5，6其中能构成直角三角形的有
（ ）
A.4组 B.3 组 C.2 组 D.1组
（2）如果三条线段首尾相连组成三角形，那么这三条线段长的不可能是（ ）
A.1:5:3 B 4:3:5 C.5:3:4 D.3:4:5
(3) 三边为2、3、4的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A.勾股定理 B. 勾股定理的逆定理
C.直角三角形两锐角互余 D. 以上都不是
2.填空题
（1）在三角形ABC 中, AB=5,BC=12,AC=13,则
AC 边上的高是-----------------。
(2) 以三个连续的偶数，-----------，--------，---------
-为边的三角形是直角三角形。
3.在一个圆形工件上钻了三个圆孔，A,B,C, 图1-2-5
要求AC┴BC,如果只有刻度尺，你能设计一种方法，检测所钻的孔是否符合要求？

4.如右图，只给你一把刻度尺，
你能否检验这个角是不是直角？
说明检验方法。

能力升华 中考指向

1．选择题
（1）以下列各组线段为边作三角形，其中能做出直角三角形的式( )
A.3,5,3 B.4,6,7 C.2,3,4 D.6,8,10
（2）一个零件的形状如图1-2-6所时，按规定这个
零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A,∠A符合要求
B. ∠BDC符合要求
C. ∠A 和 ∠ BDC都符合要求 图1-2-6
D. ∠A 和∠BDC都不符合要求
（3）在△ABC中，a,b,c分别是∠A, ∠B, ∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的式（ ）
A. ∠A: ∠B:∠C =3:4:5 B. ∠A: ∠B:∠C=1:2:3
C.a:b:c=3:4:5 D. .a:b:c=5:13:12
2.填空题
（1）某三角形的三条边长为15，20，25，则此三角形最长边上的高为
（2）△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a+b+c是3得倍数，则c应为 ，
此三角形为 三角形。
（3）△ABC中，AC=13,BC=10,BC边上的中线
AD=12,则AC= .
3.如图1-2-7，量的窗框AB 的长为160厘米，
窗框BC的长为120厘米，又量得AC的长为
200厘米，∠ABC是直角吗？为什么？
4．如果a,b,c是一组勾股数，且a,b,c没有大于1的
因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：
3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41
都是基础勾股数。观察这些基础
勾股数，你发现各 数组中的勾 图1-2-7
与股及其积各有何特点？勾、股、
弦三者的积有和特点?写出你的发现结果。
5．（2004年中考题）如图△ABC中，
∠ACB=900,CD⊥AB垂足为D, 若 ∠ B=300,
CD=6 求AB的长。
答案与提示

跟踪练习：1.可以。2.由已知可得AC=5, △ACD中，
因为，52+122=132，即AC2+AD2=CD2,所以，AC⊥CD
S四边形=S△ABC+S△ACD=6+30=36
3.(1)、（2）、（4）是直角三角形，（3）不是直角三角形。4。略
过关练习精选：
1．（1）B (2) A (3)B
2.(1)900 (2) (3)6,8,10
3.方案：分别测量出AC,AB,BC三条线段的长，看是否满足AB2=AC2+BC2,若满足等式，则所钻圆孔符合要求。
能力升华.新中考指向
1.(1)D (2)D (3)A 2.(1)12 (2)13 直角（提示：7〈 C<17又C为奇数，所以C=9,11,13,15又a+b+c是3的倍数，只有C=13符合〉（3）13。提示：易知：△ACD也是直角三角形，由勾股定理得：AC=13
3. ∠ABC是直角。 4.勾与股必为一奇一偶，勾与股的积能被4整除，勾、股、弦三数的积能被60 整除。 5.8
课本习题解答：
P10做一做
下面三组数分别是一个三角形的三边长a,b.c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17
(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
经过验证，这三组数均满足条件a+b+=c,作出三角形后，通过测量内角的度数，可得出它们都是直角三角形。
P11随堂练习：
下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（1）9，12，15 （2）15，36，39
（3）12，35，36 （4）12，18，22
（1） （2）可以作为三角形的三边长。
P12习题1.3
1。如果三条线段a,b,c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
答：时，因为通过移项可以得到a2+b2=c2
2.结论：得到的还是直角三角形。

2倍
3倍
4倍
10倍
3，4，5

9，16，15
12，16，20
30，40，50
5，12，13
10，24，26

20，48，52
50，120，130
8，15，17
16，30，34
24，45，51

80，150，170
7，24，25
14，48，50
21，72，75
28，96，100

本题提供了由基本勾股数找其他勾股数的方法。
3.直角三角形，因为62+82=102
● 3.勾股定理的应用举例
教材分析
学习目标与要求
（1）能利用勾股定理解决简单的实际问题。
（2）构造直角三角形，运用勾股定理解决最短距离问题。
（3）经历问题解决的过程，培养将空间问题转化为平面问题去解决的能力。
2.新知识点全解
“蚂蚁怎样走最近”这个问题不仅是勾股定理的应用，而且体现了二、三维图形的转化，对发展空间观念很有好处，蚂蚁从棱柱下地面上的一点要爬到与之相对的上底面上的一点，且要求所走的距离最短，看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过棱柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题。本题涉及知识点“两点之间的所有连线中，线段最短”的结论。
2． 课内问题探究
P13.(1)“蚂蚁怎样走最近”思路点拨：蚂蚁自A点出发，沿圆柱的曲面爬到B点，要灾曲面上比较路线的长短十分困难，而在平面上找两点间的最短路线是容易的，因而我们假想把这个圆柱体沿BC剪开摊平，（如图1-3-1）此时，A,B间的路线即为AB的长度。
（2）最短路线即为图 (b) 中的AB. C B
(3) 有已知，在Rt∆ABC中， B
BC=15
AC=12 .
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2
=52+122 A
所以，AB=13 （a） 图1-3-1 A (b)
故蚂蚁所爬最短距离约为13厘米。
P14做一做
（1）可用刻度尺分别测量AB,AD,BD三条线段的长度，看是否满足BD2=AD2+AB2,若满足则可以说明AD垂直于AB ,否则不吹制。
（2）因为502=302+402
即BD2=AD2+BA2
所以AD垂直于AB .
(3)可利用分段相加的办法量出AB,AD,BD的长度，或在AB,AD上各量一段较小的长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论。
P15试一试：
2、本章开始提出的问题：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个池塘，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把它垂直拉向岸边，它的顶端恰好
到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
你现在知道古代人是怎样解决这个问题的吗？
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺。
∆ACD中，AC┴CD,AC=X,
AD=AB=X+1,CD=5 由勾股定理得，AD2=AC2+CD2
即：（x+1）2=x2+52 解得：x=12
故水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
典型例题讲解

例1：甲、乙两位探险者在沙漠探险，某日早晨8：0甲先出发，他以6千米/时的速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向西南方向行进，上午10：00甲、乙两人相距多远？
[点拨]要求加以两人的距离，就要确定甲乙两人在平面的位置关系，由于甲往东南方向，乙往西南方向，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离。
解：甲从上午8：00到上午10：