八年级数学下册 16.1-16.2《分式复习2》课案（教师用) 新人教版.doc

课案：（教师用）
第16章 分式的复习（2）
（复习课）
【理论支持】
教材内容：分式方程和列分式方程解应用题。
义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体。
《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。本课是复习课，学生已经基本掌握分式方程的解法和列分式方程解决实际问题，本课是在此基础上，巩固、提高学生的已有知识，并把它纳入已有的认知结构中。
美国心理学家桑代克是行为主义的代表人物，他提出了以“刺激-反应联结”和“试误”为主要特点的学习理论，认为学习就是形成刺激-反应联结，这种联结是直接的，无中介的，是在反复的尝试（不断抛弃错误反应，保留正确反应）中形成的。为此，本课充分调动学生的积极性，以练为主，讲练结合，在练中发现问题，解决问题，总结知识。
有效的数学学习来自于数学活动的参与，而参与程度却与学生学习时产生的情感因素有关。如：动机、爱好、意志、成就感、自信心等。解分式方程，学生有较强的成就感和自信心，因此参与程度较好，学习积极性很好；部分学生有畏难情绪且基础较差，应用题的参与程度不高。为此，教师为学生创设一个宽松的数学学习环境，使他们在其中积极自主地、充满自信地学习数学，平等的交流数学学习心得，并通过互相合作去解决所面临的问题。由于一些智力原因，我们可以降低某个方面的要求，让每个学生都有所进步。体现《数学课程标准》中的“不同的人在数学上得到不同的发展”。
教学对象分析：
1．初二学生已经学习了分式的有关知识，已经学习了一元一次方程方程的解法及列方程解应用题，数学知识具有一定的结构。
2．初二学生的类比能力较强，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。
3．初二学生已经具备了一定概括整理建模能力，所以本节课中，应完全由学生自己梳理、互相交流补充，教师点拨，这能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识有重要意义。
【教学目标】
知识技能
1．通过变式练习复习分式方程的概念，体会分式方程的重要特征
2．会解分式方程，进一步巩固解分式方程的一般步骤
3．理解增根的意义
4．掌握列分式方程解决实际问题
数学思考
1．体会转化的数学思想
2．经历“实际问题—建立分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养应用意识。
解决问题
会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
情感态度
通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生能用所学的知识服务于我们的生活。
【教学重难点】
教学重点：
分式方程的解法以及列分式方程解决实际问题
教学难点：
对分式方程增根的理解
难点诊断：
其一，解分式方程较整式方程对学生来讲难度较大，在将分式方程转化为整式方程的过程中，容易出现去分母时漏乘整式项，符号变化错误等情况；其二，学生对于解分式方程时产生增根的原因有疑惑，解整式方程的思维定势对于解分式方程的步骤、检验等有负迁移。
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
【知识梳理】
1．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①＝5 ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨

【设计说明】以上设计不是简单地让学生重复概念，而是通过展示一组有一定难度的方程让学生进行辨别，在此过程中，学生必将调动自己对分式方程概念的理解，同时注意区分分式方程与整式方程，方程③、⑧中辅助字母的设计是帮助学生理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数，所以本设计可以说是站在较高的层次上对分式方程概念的复习，达成核心目标。
2. 解分式方程
① ②

③ ④

【设计说明】因为解分式方程是要求学生掌握的基本技能，所以先让学生解分式方程的一般步骤，再通过学生出现的问题，反思解题中常出现的错误，从正反两个方面加深学生对知识的理解。所选的四道习题均具有一定的代表性。
3.当m为何值时，解方程会产生增根
【设计说明】由于分式方程的增根为题是学生理解上的难点，学生在学过的情况下可能还会存在疑虑，因此安排了本题，带领学生讨论增根的问题。所选例题是在理解增根基础上的灵活运用，能够帮助学生较好地理解增根的概念，并能利用其解决问题。
4.列方程解应用题
①某工厂现在每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相等，现在平均每天生产多少台机器。

②甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分到达目的地。求甲、乙的速度。

③一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分到达目的地。求前一小时的行驶速度。

【设计说明】列分式方程解应用题是本章的重点和难点，以上为学生设计了不同难度、不同类型的三个题目，一方面复习列分式方程解应用题的一般步骤，另一方面由于题目有较强的综合性，可以培养学生综合利用所学知识分析问题、解决问题的能力。应用题常见的题型有工程问题、行程问题等。

课内探究

一、出示本单元知识结构图
实际问题
分式方程
整式方程
整式方程的解
分式方程的解
实际问题的解

二、针对课前延伸讲授：
1．分式方程的概念：
师：第一题答案？
生：④⑤⑥⑦⑨是分式方程。
提问1： 什么是分式方程？
（学生回答：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。）
提问2：像方程③、⑧这样的方程为什么不是分式方程？它们应该是什么方程？如何看待其分母中的字母？
（生答：③、⑧不是分式方程，因为它们的分母不含未知数，它们是含字母系数的一元一次方程。）
根据学生的回答，帮助学生总结以下几点。
①分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的特征是：含分式，分母中含有未知数。分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志。
②本例中的方程是关于x的方程，未知数是x，其它字母都是字母系数。要注意分式方程与含有字母已知数方程的区别。
③分式方程的定义式形式上的定义。
④分式方程与整式方程统称为有理方程
2．分式方程的解法：
解方程：（1）
（生板书）
解：
方程两边同乘以ｘ＝４，
得 :ｘ－４＋ｘ－５＝１．

∴ ｘ＝５
检验：把x=5代入 x-5，得x-5≠0
所以，x=5是原方程的解.

（2）
(生板书）
解：方程两边同乘以(x2-4)，得:
X2-4x+4-16=x2+4x+4
∴x=2．
检验：把x=2代入 x2—4，得:x2—4=0.
所以，原方程无解.
【点评】分式方程的解法总体掌握得可以。只是要注意去分母不要漏乘没有分母的项；注意检验根是否有意义。
针对学生的解法小结：（学生总结）
解分式方程的一般步骤：
①去分母，即在方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解这个整式方程；
③ 验根：把整式方程的根带入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的增根，使最简公分母等于0的根式原方程的增根，必须舍去。但是，此种验根方法并不能检验出解方程过程中出现的计算错误，因此还可以采用另一种验根方法，即把所求得的未知数的值带入原方程进行检验。
易错点分析：
①最简公分母确定得不准确；
②去分母时漏乘整式项；
③去分母时忽略符号的变化；
④忘记验根。
3．增根的意义：
例1：当m为何值时，解方程会产生增根
(生板书)
解：方程两边同乘（ｘ＋１）（ｘ－１）得
2（ｘ－１）－5（ｘ＋１）＝ｍ
解得
当ｘ＝１或－１时，原方程有增根，即ｍ＝－10或-4原方程有增根
所以ｍ＝-10或-4, 方程会产生增根
【点评】理解增根的意义是解题的关键。因为增根使最简公分母等于0，所以ｘ２-1＝０，x＝１或－１.本题难度适中。
讨论：增根到底从哪里来？
分式方程的增根是它变形后整式方程的根，产生增根的原因是由在分式方程的左右两边乘的最简公分母是0造成的,所以使最简公分母为0的未知数是值均有可能是增根，而且增根只有可能在这些值中出现。所以增根满足两个方程：①变形后整式方程；②最简公分母为0的方程。
4.列分式方程解应用题：
师：我国著名的数学大师陈省身先生把方程称为“好数学”，因为它是我们学习、研究数学，解决数学问题的良好工具。分式方程也不例外。
例2：两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
分析：甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的＋。
等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量
则有＋＋＝1
（教师板书解答、检验过程）
【点评】
（1） 工程问题的基础知识：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量看作单位：“1”．工程问题的基础知识：一项工程，甲独做ｍ天完成，乙独做ｎ天完成，则甲的工作效率是；乙的工作效率是
（2） 找准相等关系：甲做的工作量＋乙做的工作量＝１
例3：甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．
解：设甲每小时走ｘkm,则乙的速度为（x+0.5）km/h
根据题意，得

解得  x＝4.5
经检验，x＝4.5是这方程的解．
当x＝4.5时，x+0.5＝5
答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时．
【点评】
(1)行程问题的基本关系：时间×速度＝路程，找准路程、速度、时间的关系。
(2)本题：同时出发，说明时间相等；甲的速度比乙的速度快0.5km/h；路程结合行程图，利用线段关系说明：Ｓ甲＝20km,Ｓ乙＝18km
例4：从2008年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为（x＋v）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用 的时间为小时。
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：
＝
（教师板书解答、检验过程）
【点评】本题有一定的难度：本题是含字母系数的分式方程，同学们量力而行。注意理解题意，找准题目中的数量关系：时间相等；提速后比提速前多行驶50千米。
小结：
列分式方程解应用题和列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是因为有了分式的概念，表示数与数的相互关系的代数式不再受整式的限制，列等量关系式时更直接了。
列分式方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意；
设：恰当地设出未知数；
找：找出题目中的等量关系；
列：列分式方程；
解：解分式方程；
验：检验，既要检验所得到的根是否是原分式方程的根，又要检验是否符合题意；
答：写出解答。
本课小结：
师：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程通过去分母转化为整式方程，突出体现了化归思想。化归思想是一种非常重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。应用化归思想可以将复杂问题转化为简单问题，化未知为已知，化陌生为熟悉。
（2）列分式方程解应用题和列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是因为有了分式的概念，表示数与数的相互关系的代数式不再受整式的限制，列等量关系式时更直接了。
三、反馈训练

3．方程有增根，求的值。

【设计说明】以上题目是为了练习、巩固分式方程的解法，以及复习巩固增根的意义，这些知识所有的学生都应该掌握。
4. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个？
5． 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
【设计说明】应用题的学习，对于部分同学有点难，同学们量力而行。关键是理解题意、找准相等关系，并利用相等关系设未知数，列方程。
【教学设计说明】
（1）本节课的教学设计通过“整体—部分—整体”的思路，首先通过知识结构图，让学生对本章的知识有系统的掌握，构建了完整的知识结构，再通过层层推进的变式训练，较好的达到复习巩固的目的。
（2）以难度适中的题目，满足了绝大多数学生的需求，同时兼顾优差生。
课后提升
1.（2009年漳州）分式方程的解是（ ）
A．1 B． C． D．
2.(2009年安顺)已知分式的值为0，那么的值为______________
3．（2009年宁德）解分式方程：
4.(2009年铁岭)解方程：．
【设计说明】（1）复习、巩固基础知识.(2)见识中考的题型和难度.
5.（2009年厦门）供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A地进行电力抢修．甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后乙开抢修车载着所需材料出发．
(1)若t＝(小时)，抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；
(2)若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，且乙不能比甲晚到则t的最大值是多少？
6.（2009年营口）为了预防甲型H1N1流感，广东某口罩加工厂承担了加工24000个新型防病口罩的任务．由于任务紧急，实际加工时每天的工作效率比原计划提高了50%，结果提前5天完成任务．该厂实际每天加工这种口罩多少个？
【设计说明】复习、巩固应用题的解法，见识中考题型。部分基本功较差的同学量力而行。