安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 18.2 勾股定理的作图、计算、证明教案 （新版）沪科版.doc

18.2 勾股定理的作图、计算、证明
教学目标
    1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的作图、计算、证明．
    2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力．
3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．
教学重点与难点
重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用．
教学过程设计
    一、激发兴趣引入课题
    通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．
    二、勾股定理的探索，证明过程及命名
    1．猜想结论．
    勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.
    教师用计算机演示：
    （1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等．
    （2）在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约7～8个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．
（3）对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证．
  2．证明猜想．
目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法（见课本第109页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图3－151）来进行证明．
 3．勾股定理的命名．
      我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？
      （1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载；
      （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；
      （3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．
      三、勾股定理的应用
      1．已知直角三角形任两边求第三边．
      例 1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．
      （1）a＝ 6，b＝8求c及斜边上的高；（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25求 a；(4)a:b＝3:4,c＝15,求b．
      说明：对于（1），让学生总结基本图形（图3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题．
    教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）．
    例2求图3－152所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0．lmm）．
    教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影．
    练习 1投影显示： （1）在等腰 Rt△ABC中， ∠C＝90°， AC:BC:AB＝__________；
    （2）如图  3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，则BC:AC:AB＝__________；若AB＝8,则AC＝_____________；又若CD⊥AB，则CD=______________.
    （3）等边出△ABC的边长为 a，则高AD＝__________，
S △ABC＝______________
说明：（1）学会利用方程的思想来解决问题．
    （2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用论：①等腰直角三角形三边比为1:1:；
    ②含30°角的直角三角形三边之比为1::2；
③边长为a的等边三角形的高为a，面积为
板书）例 3　如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝ 90°．求 BD的长．
    分析：（1）分解基本图形，图中有等腰△ABC和
Rt△ADC；
    （2）添辅助线——等腰△ABC底边上的高
AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高；
    （3）设BD为X．利用图3－153中的基本关系，
通过列方程来解决．教师板书详细过程．
解 作AE⊥BC于E．设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2．
∴2×202=（32-x）2+162-(16-x)2,解得x=7.