山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 3.7 弧长及扇形面积教案 北师大版.doc

3.7弧长及扇形面积教案
教学目标:
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
教学重点和难点：
重点：用弧长及扇形面积公式解决问题．
难点：弧长及扇形面积计算公式探索及应用．
教法与学法指导：
学生互相交流探索法.
本节课的内容为弧长及扇形面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用．本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题．
在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已有的知识推导公式．如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决．这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比较容易了．
教具准备：PPT课件．
教学过程：
一、创设情境，引入新课
【师】同学们，春天到了，春季运动会也将在近日举行.你是否仔细观察过在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？
【生】不同.
【师】为什么不同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？
带着这样的疑问，本节课我们将一起走进“弧长及扇形面积”（教师板书课题:3.7弧长及扇形面积）．

设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，让学生体会生活处处有数学，数学来源于生活这一事实．
实际效果：学生感受到数学在生活中的应用，增强了学生们的学习意识．
二、问题导学，自主探究
复习回顾：
【师】（多媒体出示问题）
（1）圆的周长如何计算?
（2）圆的面积如何计算?
（3）圆的圆心角是多少度?
【生】若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．
【师】我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?
自主探究1：弧长的计算公式
【师】（多媒体出示问题）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．
．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
（学生独立思考2分钟，并尝试用语言准确的表述．）
【生1】(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．
【生2】(2) 因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的.所以，传送带上的物品A被传送cm．
【生3】(3) 转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．所以，
传送带上的物品A被传送n×cm．
【师】根据上面的计算，你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．
【生】360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．
【师】 表述得非常棒．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：.
【师】请同学们用半分钟时间对公式进行记忆和书写.
【生】（边读、边写，加强公式的记忆）
【师】我们发现，弧长公式与半径R、圆心角n有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？
【生】因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.
【师】很好，这位同学能将“200米弯道跑”的问题转化为“弧长”问题，从而进行说理，请同学们体会这种转化思想的应用.
设计意图：承接创设的问题情境，让学生回顾圆的有关知识，并利用圆的性质探索推导弧长公式，能用得出的结论进行说理，实质上是圆的有关性质的运用．并掌握用公式解决实际问题的一般思路，提高学生的建构能力．
实际效果：学生可根据已有的知识得出弧长公式，在说理问题上，部分学生还需再仔细斟酌．
【师】下面我们看弧长公式的运用（多媒体出示例1）．
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)．
【师】要求管道的展直长度．转化成数学问题，即已知什么？求什么？如何计算？
【生】管道的展直长度即弧AB的长，已知R＝40mm，n=110°，根据弧长公式l＝可求得弧AB的长．
【生】（板书解题过程）解：∵R＝40mm，n=110°．
∴弧AB的长l=πR=×40π≈76.8 mm．
因此，管道的展直长度约为76.8 mm．
设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用.实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．
实际效果：学生可根据已有的知识得出弧长公式，然后利用公式解决问题，学生解决此题的效果较好.少数同学的计算能力有待加强．
自主探究2：扇形面积计算公式
【师】（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?
【生】（2分钟时间思考，并口述思考过程）
【生1】(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π.

【生2】(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π=，n°的圆心角对应的圆面积为n×=．
【师】由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？
【生】如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·=．
因此扇形面积的计算公式为：S扇形=πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．
【师】请同学们用半分钟时间对公式进行记忆和书写.
【生】（边读、边写，加强公式的记忆）
【师】（多媒体出示例2）请同学们利用扇形面积公式完成下题.
例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
【生】（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）
解：弧AB的长l=π×12=8π≈25.1cm：
S扇形=π×122=48π≈150.7 cm2．
因此，弧AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2．
设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式．通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程．
实际效果：在上题的探究中，学生完成较好，但部分学生在计算上显得比较吃力．
三、合作探究，展示交流
弧长与扇形面积的关系
【师】我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n和半径R，因此，l和S之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．
R
l
【生】（对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流．）
【生】 解∵l=πR，S扇形=πR2，
∴πR2=R·πR．
∴S扇形=lR．
【师】你能否发现，扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式？
【生】与三角形的面积公式类似.
【师】很好，我们可以类比三角形的面积公式记忆此公式.
【师】因此，我们发现，计算扇形面积有几种方法？
【生】两种.
【师】若已知圆心角和半径，选择哪个公式？若知道弧长和半径，选择哪个公式？
【生】若已知圆心角和半径，选择S扇形＝πR2，若知道弧长和半径，选择S扇形=lR．
【师】在例2中，计算出弧AB的长后，我们还可以怎样计算扇形AOB的面积？
【生】S扇形=lR =×8π×12≈150.7 cm2．
设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式法确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信.
实际效果：学生能够仿照公式法书写此题的解题过程，解题的积极性较高，部分学生为有了第二公式法解决问题而高兴.
四、训练反馈，应用提升
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长= ，扇形面积= .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .

3. 如图.水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积.(结果保留根号)

4. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．
设计意图：这里可以说是弧长公式及扇形面积公式的应用，选择公式时，需要学生对公式的灵活掌握.在探讨弓形的面积公式时，可以采取小组合作的形式解决.让学生在共同参与的基础上掌握解决问题的方法.其中，第3题使用图形面积的和计算阴影面积，而第4题采用转化的方法，将五个扇形转化为个圆的面积计算．
实际效果：学生对这后两个题感到有一定的困难，但采取小组合作的形式解决能够基本解决.解题的积极性较高，部分学生为解决问题而高兴，有些学生需要个别辅导．
五、课时小结，纳入系统
【师】通过本课的学习，你用掌握了哪些知识和解题方法？
【生1】本节课学习了如下内容：
1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算；
2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；
3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．
【生2】在计算阴影面积问题时，可以通过规则图形的面积的和或差求解，也可以通过图形变化转化为规则图形求解.
设计意图：本课课堂容量较大，有小部分学生跟不上，让学生总结本课的学习内容，更利于学生梳理本课的知识点.
实际效果：只有少部分学生能够清晰的进行归纳，其余同学在这少部分学生的带领下都能明确本课的重点.
六、当堂检测，达成目标
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为（ ）
A．π B．π＋10 　C．π D．π＋10
2．圆环的外圆周长为250cm，内圆周长为150cm，则圆环的宽度为（ ）
A．100cm B． 　C． D．
3．弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ）
A． B． C． D．60°
4．正三角形ABC内接于半径为2cm的圆，则AB所对弧的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π 或π
5．一条弧所对的圆心角为120°，半径为3，那么这条弧长为 ．（结果用π表示）
6．如图，⊙O1的半径O1A是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于点B，则和的长度的大小关系为 ．
7．已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 ．
设计意图：在注重基础的前提下强化公式的应用，同时训练学生解决实际问题的能力.
实际效果：由于课堂容量较大且计算量也较大，所以，检测部分不能预期进行，可以让学生在课下以练习题的形式完成．
七、课后作业，巩固目标
必做题：课本 第142-143页 习题3.10 第2、4题．
选做题： 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm，的长为10πcm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．
【分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA+AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
解：设OA＝R，OC＝R+12，∠O＝n°，根据已知条件有：
6π=πR ①
10π=π(R+12) ②
由①、②得 .
∴3(R+12)=5R，∴R＝18．
∴OC＝18+12＝30．
∴S＝S扇形COD-S扇形AOB＝·10π·30-·6π·18＝96πcm2．
所以阴影部分的面积为96πcm2．】
设计意图：必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式；选做题供学有余力的学生完成，训练学生灵活运用公式解决实际问题的能力，拓宽学生的知识面．
实际效果：作业的规范性较好，在计算上仍有个别同学出现错误．
板书设计：

§3.7 弧长及扇形的面积
一、弧长的计算公式
l＝πR
二、扇形的面积公式
S＝πR2
三、探索弧长l及扇形的面积S之间的关系
S扇形=lR

学 生 板 演 区
教后反思：
要想上一堂好课，教师不仅要有浓厚的教学热情，更要有引导学生自主参与学习活动的教学技巧，在师生的共同努力下，才能真正使数学课堂教学成为真正的数学活动的双边互动教学.纵观本节课，呈现以下特点：
1.联系生活实际，激发学生兴趣.利用学生熟悉的“田径200米跑的弯道起跑位置”创设情境，这样就拉近了抽象的数学问题和实际生活的距离，使数学回归生活.在整个教学活动中，从新课的引入到探索公式都是从学生的生活实际选择学习材料.这些生活中的素材，调动了学生原有的生活经验，使学生觉得数学就在自己身边，感受到数学源于生活,用于生活,而又高于生活.利用数学本身的魅力来吸引学生，让学生在生活中体验数学.同时增强了学生学习的自觉性和主动性.
2.学生的“探究活动”贯穿整节课.教学中不是直接给出公式，而要引导学生自己根据已有的知识一步一步推导公式．这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，运用公式进行计算来解决问题就比较容易了．“交流探索法”贯穿整节课，让学生在探索中体验，在体验中领悟，自然过度、水到渠成．
3.营造良好的小组合作学习氛围．对于老师来说,是否能够为学生宽松和谐的学习环境,比自身学识是否渊博更为重要.只有在平等尊重宽容的教学氛围里面,学生才会各抒己见,才会主动参与学习,才会有探索的热情和胆量.对于难度稍大的问题采取小组合作方法,学习的小组合作学习的实践活动让学生自然的成了学习的主人，有效地提高了主动探索、解决问题的能力．而在让他们分组讨论的时候，绝大部分的同学呈现出积极的主动性，教师在适当的时候给予了他们的肯定和鼓励．
4.教师关注对学生的评价．在探讨弧长、扇形面积的关系时，一名学生发现了扇形面积公式与三角形的面积公式之间的相似性，在此表扬了该同学，同时指出当新知与旧知出现相似性时应要注意产生联想.评价要关注学生是否积极地投入到学习中去,要多鼓励表扬,以提高学生学习的兴趣.
存在的不足：在小组合作探究的时候，时间把握不够好.忽略了学生的差异性．各组学生的已有学习经验和能力是不同的，这时教师应综合各组解决问题的程度，深入到小组中，了解各组合作交流的结果，适时进行调控，然后在反馈环节中让学生进行交流．同样能达到预期的效果.
努力的方向：1.教师一定要起到引导者的作用，注重“引导”学生动手实践，自主探究，合作交流.问题提出后，不要急于让学生立即回答，而是要引导小组进行讨论，共同分析，让学生考虑周全些，语言组织精炼些，再做出回答.教师在引导、协助学生学习时，要善于调控学生活动的节奏和时间.只有对每个环节所用的时间做到心中有数，才能使自己的设计发挥更大的作用.
2.教师要善于使用激励性语言，鼓励那些参与程度不高，操作速度慢的学生，使自己的教学能面向全体.必要的时候,可以进行个别辅导.