（春季拔高课程）九年级数学 第6讲 二次函数探究—二次函数与梯形的综合问题教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

二次函数与梯形的综合问题
知识点
二次函数综合；梯形的性质与判定；勾股定理；
教学目标
1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2．灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题；
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题；
知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 梯形的性质及判定
1. 梯形定义：梯形是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边。不平行的两边叫腰；两底之间的公垂线段叫梯形的高。梯形有无数条高。
2. 梯形的性质：
①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线，平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等。
3. 梯形的判定：
①一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
②一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
4. 常用辅助线
①作高（根据实际题目确定）；②平移一腰；③平移对角线；④反向延长两腰交于一点；
⑤取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；⑥取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。
⑦取两腰中点，连接，作中位线。
5. 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6. 等腰梯形性质：
①等腰梯形的两条腰相等。②等腰梯形在同一底上的两个底角相等。③等腰梯形的两条对角线相等。④等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）。
7. 等腰梯形判定：
①两腰相等的梯形是等腰梯形；
②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
③对角线相等的梯形是等腰梯形；
8. 直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
9. 直角梯形的性质：
直角梯形有两个角是直角。
10. 直角梯形的判定：
有两个内角是直角的梯形是直角梯形。
考点3 探究梯形的一般思路
解答梯形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出梯形的分类标准，具体如下：
（1）假设结论成立，分情况讨论。
（2）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，一般我们会已知三个定点，再寻找另一点来构成梯形时，我们可以先将三个定点连接成三角形，然后过其中一定点作对边的平行线，以此类推的我们会作出三条平行线，而这三条平行线与要寻找点所在的线的交点即为所求的点。当然有时条件所给的会比较苛刻，比如说让我们寻找的点要满足等腰梯形或是直角梯形的形状，则我们会根据等腰梯形及直角梯形的性质再去寻找。
（3）建立关系式并计算。要具体情况具体分析，通常情况下我们会利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。例题精析
例1 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
①求点D的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．

例2如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

例3已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

图1 图2

例4 如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

课程小结
有针对性的对勾股定理、梯形的性质及判定、二次函数的基本知识进行复习，有助于为研究二次函数与梯形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与梯形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出梯形，并能运用梯形、等腰梯形或是直角梯形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．
将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得 解得
所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．
（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．
因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，代入点C(－2,－3)，可得b＝3．所以点D的坐标为（0，3）．
②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．
而DH＝7，所以PH＝3．因此点E的坐标为（3，6）．所以．

图2 图3
【总结与反思】
1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．
2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．
3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．
例2【规范解答】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得 解得，，． 所以．
（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，
因此yA－y M′＝yP′－yB．直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．
解方程，得，．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．

图2 图3
（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．
设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．
在Rt△OFG中，．
所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，
所以．所以．
在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；
所以OK＝4HK．
因此．所以．
所以．
于是．
因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．
【总结与反思】
1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．
2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．
3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．
4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．
例3【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，
得 解得 所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．
（2）由，知点B的坐标为（6，0）．
假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．
由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．
如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．

图3 图4 图5
（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．
在Rt△PMH中，，．所以．
在Rt△PNH中，，．所以．
① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．
②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．
由于，所以．
此时．
【总结与反思】
1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．
2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．
例4【规范解答】（1）因为OC＝1，△ABC的面积为，所以AB＝．
设点A的坐标为（a，0），那么点B的坐标为（a＋，0）．
设抛物线的解析式为，代入点C（0，－1），得．解得或．
因为二次函数的解析式中，，所以抛物线的对称轴在y轴右侧．
因此点A、B的坐标分别为，．
所以抛物线的解析式为．
（2）如图2，因为，，所以．因此△AOC∽△COB．
所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB．
因此m的取值范围是≤m≤．

图2 图3 图4
（3）设点D的坐标为．
①如图3，过点A作BC的平行线交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．
因为，所以．因此．解得．
此时点D的坐标为．
过点B作AC的平行线交抛物线于D，过点D作DF⊥x轴于F．
因为，所以．
因此．解得．此时点D的坐标为．
综上所述，当D的坐标为或时，以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形．
【总结与反思】
1．根据△ABC的面积和AB边上的高确定AB的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示．
2．数形结合，根据点A、B、C的坐标确定OA、OB、OC间的数量关系，得到△AOC∽△COB，从而得到△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，再根据对称性写出m的取值范围．
3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D有两个，但是求点D的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些．