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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,历史背景:,例,赝品判定,在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品企业中发觉线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（HAVanmeegren），此人曾将17世纪荷兰名画家扬弗米尔（Jan Veermeer）油画等卖给纳粹德国戈林中间人。可是，范梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把画卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知油画“在埃牟斯门徒”以及其它四幅冒充弗米尔油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）油画，都是他自己作品，这件事在当初震惊了全世界，为了证实自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作靠近完成时，范梅格伦得悉自己通敌罪已被改为伪造罪，所以他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。,第1页,为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成国际专门小组查究这一事件。他们用,X,射线检验画布上是否曾经有过别画。另外，他们分析了油彩中拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月迹象。科学家们终于在其中几幅画中发觉了当代颜料钴兰痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才创造酚醛类人工树脂。依据这些证据，范梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。,历史背景:,第2页,然而，事情到此并未结束，许多人还是不愿相信著名“在埃牟斯门徒”是范梅格伦伪造。实际上，在此之前这幅画已经被文物判定家认定为真迹，并以17万美元高价被伦布兰特学会买下。教授小组对于怀疑者回答是：因为范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟斯门徒”，来证实他高于三流画家。当创造出这么杰作后，他志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯门徒”多么轻易卖掉以后，他在炮制以后伪制品时就不太专心了。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证实“在埃牟斯门徒”确实是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基梅伦（Carnegie-Mellon）大学科学家们 基本上处理。,历史背景:,第3页,原理与模型,测定油画和其它岩石类材料年纪关键是本世纪初发觉放射性现象。,放射性现象,：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发觉，一些“放射性”元素原子是不稳定，而且在已知一段时间内，有一定百分比原子自然蜕变而形成新元素原子，且物质放射性与所存在物质原子数成正比。,用,N,(,t,)表示时间,t,时存在原子数,则：,常数是正，称为该物质衰变常数,用来计算半衰期,T,:,与负增加Malthus模型完全一样,其解为:,令,则有:,许多物质半衰期已被测定，如碳14，其,T,=5568；轴238，其,T,=45亿年。,第4页,与本问题相关其它知识:,(1),艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来，而铅又属于铀系，其演变简图以下（删去了许多中间步骤）,(3),从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有放射性平衡。,铀238-45亿年-钍234-24天-钋234-6/5分-铀234-257亿年-钍230-8万年-镭226-1600年-氡222-19/5天-钋218-3分-铅214-27分-钋214-铅210-20年-铋210-5天-钋210-138天-铅206（一个非放射性物质）,注：时间均为半衰期,(2),地壳里几乎全部岩石中均含有微量铀。首先，铀系中各种放射性物质均在不停衰减，而另首先，铀又不停地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。依据世界各地抽样测量资料，地壳中铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（普通含量极微）。各地采集岩石中铀含量差异很大，但从未发觉含量高于23%。,第5页,简化假定：,本问题建模是为了判定几幅不超出300年古画，为了使模型尽可能简单，可作以下假设：,(1),因为镭半衰期为1600年，经过300年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中镭最少还有原量90%，故能够假定，每克白铅中镭在每分钟里分解数是一个常数。,(2),铅210衰变为：,铅210,T=22年,钋,210,铅206,T=138天,若画为真品，颜料应有300年左右或300年以上历史，轻易证实：每克白铅中钋210分解数等于铅210分解数（相差极微，已无法区分）。可用前者代替后者，因钋半衰期较短，易于测量。,第6页,建模：,(1),记提炼白铅时刻为,t,=0，当初每克白铅中铅210分子数为,y,0,，因为提炼前岩石中铀系是处于放射性平衡，故铀与铅单位时间分解数相同。能够推算出当初每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于30000个。,若,则,（个）,这些铀约重,（克）,即每克白铅约含0.04克铀，含量为4%,以上确定了每克白铅中铅分解数上界，若画上铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。,第7页,(2),设,t,时刻1克白铅中铅210含量为,y,(,t,)，而镭单位时间分解数为,r,（常数），则,y,(,t,)满足微分方程：,由此解得：,故：,画中每克白铅所含铅210当前分解数,y,(,t,)及当前镭分解数,r,均可用仪器测出，从而可求出,y,0,近似值，并利用（1）判断这么分解数是否合理。,第8页,Carnegie-Mellon大学科学家们利用上述模型对部分有疑问油画作了判定，测得数据以下（见表3-1）。,油画名称,210分解数（个/分）,镭226分解数（个/分）,1、在埃牟斯门徒,8.5,0.8,2、濯足,12.6,0.26,3、看乐谱女人,10.3,0.3,4、演奏曼陀琳女人,8.2,0.17,5、花边织工,1.5,1.4,6、笑女,5.2,6.0,计算,y,0,（个/分）,98050,157130,127340,102250,1274.8,-10181,表3-1,对“在埃牟斯门徒”，,y,0,98050（个/每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似能够判定（2），（3），（4）也是赝品。而（5）和（6）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于靠近平衡状态，这么平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪任何作品中。,判定,结果：,第9页,利用放射原理，还能够对其它文物年代进行测定。比如对有机物（动、植物）遗体，考古学上当前流行测定方法是放射性碳14测定法，这种方法含有较高准确度，其基本原理是：因为大气层受到宇宙线连续照射，空气中含有微量中微子，它们和空气中氮结合，形成放射性碳14（C,14,）。有机物存活时，它们经过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内C,14,处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，经过对比测定，能够预计出它们生存年代。比如，1950年在巴比伦发觉一根刻有Hammurabi王朝字样木炭，经测定，其C,14,衰减数为4.09个/每克每分钟，而新砍伐烧成木炭中C,14,衰减数为6.68个/每克每分钟，C,14,半衰期为5568年，由此能够推算出该王朝约存在于3900-4000年前。,第10页,3.3,为何要用三级火箭来发射人造卫星,结构数学模型，以说明为何不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为何普通都采取三级火箭系统？,1、为何不能用一级火箭发射人造卫星?,（1）卫星能在轨道上运动最低速度,假设：,（i）卫星轨道为过地球中心某一平面上圆，卫星,在此轨道上作匀速圆周运动。,（ii）地球是固定于空间中均匀球体，其它星球对卫,星引力忽略不计。,分析：,依据牛顿第三定律，地球对卫星引力为:,在地面有:,得:,k,=,gR,2,R,为地球半径，约为6400公里,故引力:,假设(ii),第11页,dm,m-dm,v,u-v,假设(i),卫星所受到引力也就是它作匀速圆周运动向心力,故又有:,从而:,设g=9.81米/秒,2,，得:,卫星离地面高度,(公里),卫星速度,(公里/秒),100,200,400,600,800,1000,7.80,7.69,7.58,7.47,7.37,7.86,（2）火箭推进力及速度分析,假设：,火箭重力及空气阻力均不计,分析：,记火箭在时刻,t,质量和速度分别为,m,(,t,)和(,t,),有：,记火箭喷出气体相对于火箭速度为,u,（常数），,由动量守恒定理：,0,和m,0,一定情况下，火箭速度(t)由喷发速度u及质量比决定。,故：,由此解得：,(,3.11,),第12页,（2）火箭推进力及速度分析,现将火箭卫星系统质量分成三部分：,（i）,m,P,（有效负载，如卫星）,（ii）,m,F,（燃料质量）,（iii）,m,S,（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。,最终质量为,m,P,+,m,S,，初始速度为0，,所以末速度：,依据当前技术条件和燃料性能，,u,只能到达3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超出6.6公里/秒。当前根本不可能用一级火箭发射人造卫星,火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。假如将结构质量在燃料燃烧过程中,不停降低，那么末速度能到达要求吗？,第13页,2、理想火箭模型,假设：,记结构质量,m,S,在,m,S,+,m,F,中占百分比为，假设火箭能随时抛弃无用结构，结构质量与燃料质量以与（1-）百分比同时降低。,建模:,由,得到：,解得：,理想火箭与一级火箭最大区分在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐步抛尽，它最终质量为,m,P,，,所以最终速度为：,只要,m,0,足够大，我们能够使卫星到达我们希望它含有任意速度。,考虑到空气阻力和重力等原因，预计（按百分比粗略预计）发射卫星要使=10.5公里/秒才行，则可推算出,m,0,/,m,p,约为51,即发射一吨重卫星大约需要50吨重理想火箭,第14页,3、理想过程实际迫近多级火箭卫星系统,记火箭级数为,n,，当第,i,级火箭燃料烧尽时，第,i,+1级火箭马上自动点火，并抛弃已经无用第,i,级火箭。用,m,i,表示第,i,级火箭质量，,m,P,表示有效负载。,先作以下假设：,（i）设各级火箭含有相同,即,i,级火箭中,m,i,为结构质量，（1-）,m,i,为燃料质量。,（ii）,设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为,k,。,考虑二级火箭：,由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：,当第二级火箭燃尽时，末速度为：,该假设有点强加味道，先权作讨论方便吧,第15页,又由假设（ii），,m,2,=,km,P,，,m,1,=,k,(,m,2,+,m,P,)，代入上式，仍设,u,=3公里/秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可得：,要使,2,=10.5公里/秒，则应使:,即,k,11.2，而:,类似地，能够推算出三级火箭：,在一样假设下:,要使,3,=10.5公里/秒，则,(,k,+1)/(0.1,k,+1)3.21,，k3.25，而,（,m,1,+,m,2,+,m,3,+,m,P,）/,m,P,77,。,三级火箭比二级火箭几乎节约了二分之一,是否三级火箭就是最省呢？最简单方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。,第16页,考虑N级火箭：,记,n,级火箭总质量（包含有效负载,m,P,）为,m,0,，在相同假设下能够计算出对应,m,0,/,m,P,值，见表,3,-,2,n,（级数）,1 2 3 4 5,（理想）,火箭质量（吨）,/149 77 65 60,50,表,3,-,2,因为工艺复杂性及每节火箭都需配置一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算，三级火箭提供了一个最好方案。,当然若燃料价钱很廉价而推进器价钱很贵切且制作工艺非常复杂话，也可选择二级火箭。,第17页,4、火箭结构优化设计,3中已经能说过假设(ii)有点强加味道；现去掉该假设，在各级火箭含有相同粗糙假设下，来讨论火箭结构最优设计。,W,1,=m,1,+,+m,n,+m,P,W,2,=m,2,+,+m,n,+m,P,W,n,=m,n,+m,P,W,n+1,=m,P,记,应用（3.11）可求得末速度：,记,则,又,问题化为，在,n,一定条件下，求使,k,1,k,2,k,n,最小,解条件极值问题：,或等价地求解无约束极值问题：,能够解出最优结构设计应满足：,火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符结果，这说明前面讨论都是有效！,第18页,3.6,糖尿病诊疗,糖尿病是一个新陈代谢疾病，它是由胰岛素缺乏引发新陈代谢紊乱造成。糖尿病诊疗是经过葡萄糖容量测试（GTT）来检验，较严重糖尿病医生不难发觉，较为困难是轻微糖尿病诊疗。轻微糖尿病诊疗时主要困难在于医生们对葡萄糖允许剂量标准看法不一。比如，美国罗得岛一位内科医生看了一份GTT测试汇报后认为病人患有糖尿病，而另一位医生则认为此人测试结果应属正常。为深入诊疗，这份检测汇报被送到波士顿，当地教授看了汇报后则认为此人患有垂体肿瘤。,二十世纪60年代中期，北爱尔兰马由医院医生Rosevear和Molnar以及美国明尼苏达大学Ackeman和Gatewood博士研究了血糖循环系统，建立了一个简单数学模型，为轻微糖尿病诊疗提供了较为可靠依据。,模型假设,依据生物、医学等原理，作以下假设：,(1),葡萄糖是全部细胞和组织能量起源，在新陈代谢,中起着十分主要作用。每个人都有自己最适当,血糖浓度，当体内血糖浓度过渡偏离这一浓度,时，将造成疾病甚至死亡。,(2),血糖浓度是处于一个自我调整系统之中，它受到,生理激素和其它代谢物影响和控制，这些代谢物,包含胰岛素、高血糖素、肾上腺素、糖皮质激素、,生长激素、甲状腺素等，统称为内分泌激素。,(3),内分泌激素中对血糖起主要影响是胰岛素，葡萄,糖只有在胰岛素作用下才能在细胞内进行大量,生化反应，降低血糖浓度。另外，高血糖素能将体,内过量糖转化为糖元储存于肝脏中，从而降低血,糖浓度。,第19页,模型用一、两个参数来区分正常人与轻微病人（测量若干次），依据上述假设，建模时将研究对象集中于两个浓度：葡萄糖浓度和激素浓度。,以G表示血糖浓度，以 H表示内分泌激素浓度。依据上述假设血糖浓度改变规律依赖于体内现有血糖浓度及内分泌激素浓度，记这一依赖关系为函 数F(G,H)。而内分泌激素浓度改变规律一样依赖于体内现有血糖 浓度以及内分泌激素浓度，记其依赖关系为函 数F(G,H)，故有：,=,(G,H)+J(t),=,(G,H),（3.19）,其中J(t)为被检测者在开始检测后服下一定数量葡萄糖。,病人在检测前必须禁食，故可设检测前病人血糖浓度及内分泌激素浓度均已处于平衡状态,第20页,即可令 t=0时 G=G,0,H=H,0,且,F,1,(G,0,H,0,)=0,F,2,(G,0,H,0,)=0,从而有,在测试过程中 G,H 均为变量，而我们关心却只是它们改变量，故令,g=G,G,0,h=H H,0,在（3.19）中将 展开，得到,其中 、是g 和h 高阶无穷小量。,第21页,很小时（即检测者至多为轻微病人时），为求解方,便，我们考查不包含它们近似方程组,方程组（3.20）是一个非线性方程组，较难求解。当,、,首先，我们来确定右端各项符号。从图 中可看出，当,J(t)=0,时,若g 0 且 h=0，则此人血糖浓度高于正常值，内分泌激素将促使组织吸收葡萄糖，并将其存放进肝,脏，此时有,0，从而应有：0 且,q,0,平衡点,P,0,不稳定(对2,1),p,0 或,q,0,P,:临界状态,q,0,P,不稳定,第33页,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用数学软件,MATLAB求,微分方程数值解,xy,平面上相轨线,第34页,计算结果（数值，图形）,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数，相图(,x,y,),是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,),周期约为9.6,x,max,65.5,x,min,6,y,max,20.5,y,min,3.9,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,),一周期平均值：,x,(,t,),平均值约为25,y,(,t,),平均值约为10。,食饵-捕食者模型(Volterra),第35页,消去,dt,用相轨线分析 点稳定性,c,由初始条件确定,取指数,第36页,x,0,f,m,f,(,x,),x,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,在相平面上讨论相轨线图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,第37页,y,2,y,1,x,Q,3,Q,4,q,y,1,y,2,x,1,x,2,p,y,y,0,x,x,0,P,0,x,1,x,2,Q,1,Q,2,Q,1,(,x,1,y,0,),Q,2,(,x,2,y,0,),Q,3,(,x,y,1,),Q,4,(,x,y,2,),相轨线,退化为,P,点,存在,x,1,x,0,x,2,使,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,p,存在,y,1,y,0,y,2,使,g,(,y,1,)=,g,(,y,2,)=,q,相轨线是封闭曲线族,x,Q,3,Q,4,f,(,x,),x,x,0,f,m,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,相轨线,P,中心,第38页,相轨线,是封闭曲线,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数(周期记,T,),求,x,(,t,),y,(,t,),在一周期平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,第39页,T,2,T,3,T,4,T,1,P,T,1,T,2,T,3,T,4,x,(,t,)“相位”领先,y,(,t,),模型解释,初值,相轨线方向,第40页,模型解释,r,食饵增加率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,P,r/a,d/b,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,第41页,模型解释,一次大战期间地中海渔业捕捞量下降，不过其中,鲨鱼百分比却在增加，为何？,r,r-,1,d,d+,1,捕捞,战时捕捞,r,r-,2,d,d+,2,2,1,x,y,食饵(鱼),降低，,捕食者(鲨鱼),增加,自然环境,还表明：对,害虫(食饵)益虫(捕食者)系统，使用灭两种,虫,杀虫剂,会使害虫增加，益虫降低。,第42页,食饵-捕食者模型(Volterra),缺点与改进,Volterra,模型,改写,多数,食饵捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,加Logistic项,有,稳定平衡点,第43页,相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。,自然界存在周期性平衡生态系统是结构稳定，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。,食饵-捕食者模型(Volterra),缺点与改进,r,1,=1,N,1,=20,1,=0.1,w,=0.2,r,2,=0.5,2,=0.18,相轨线趋向极限环,结构稳定,第44页,