秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.1 比例线段教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学教案.doc

第3章　图形的相似
3．1　比例线段
3．1.1　比例的基本性质
教学目标
【知识与技能】
1．理解比例的基本性质．
2．能根据比例的基本性质求比值．
3．能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形．
【过程与方法】
通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力．
【情感态度】
建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣．
【教学重点】
比例的基本性质．
【教学难点】
比例的基本性质及运用．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1．举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．
如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等．
2．美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．你知道0.618这个比值的来历吗？
3．如何求两个数的比值？
【教学说明】说明学习本章节的重要意义．
二、思考探究，获取新知
1．阅读与思考题
(1)什么是两个数的比？2与－3的比；－4与6的比如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
(2)比与比例有什么区别？
(3)用字母a，b，c，d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？
【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例．通常我们把a，b，c.d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d或＝，其中a，d叫作比例外项，b，c叫作比例内项．
2．如果四个数a、b、c、d成比例，即＝，那么ad＝bc吗？反过来呢？
【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明．
由此，你能得到比例的基本性质吗？
【归纳结论】比例的基本性质：如果＝，，那么ad＝bc.
3．已知四个数a、b、c、d成比例，即：＝，下列各式成立吗？若成立，请说明理由．
＝；＝；＝.
分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；
(2)采用设比值较为简单．
【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值．
4．根据下列条件，求a∶b的值．
(1)4a＝5b，(2)＝.
解：(1)∵4a＝5b，
∴＝.
(2)∵＝，
∴8a＝7b，
∴＝.
三、运用新知，深化理解
1．已知：x∶(x＋1)＝(1—x)∶3，求x.
解：根据比例的基本性质得，
(x＋1)(1－x)＝3x.
解得：x＝或x＝.
2．若＝，求.
解：根据比例的基本性质得，
2(2x－3y)＝x＋y，
4x－6y＝x＋y，
3x＝7y，
＝.
3．已知a∶b∶c＝1∶3∶5且a＋2b－c＝8，求a、b、c.
解：设a＝x，则b＝3x，c＝5x，
∴x＋2×3x－5x＝8，2x＝8，x＝4，
∴a＝4，b＝3×4＝12，c＝5×4＝20.
4．已知x∶y＝3∶4，x∶z＝2∶3，求x∶y∶z的值．
解：因为x∶y＝3∶4＝6∶8，
x∶z＝2∶3＝6∶9，
所以x∶y∶z＝6∶8∶9.
5.＝＝＝k，求k的值(两种情况)．
解：①当x＋y＋z＝0时，
y＋z＝－x，z＋x＝－y，x＋y＝－z，
∴k为其中任意一个比值，
即k＝＝－1；
②x＋y＋z≠0时，
k＝＝2.
6．已知1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式．
分析：可以设再添上的数是x，根据比例的定义就可解得．
解：设添上的数是x，
得到：1∶＝2∶x，
解得x＝2.
则比例式是：1∶＝2∶2.
答案不唯一．
7．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女同学参加进来，此时男生与女生人数的比为5∶4，求原来有多少名男生和女生？
解：设男生与女生原来的人数分别为3k、2k，
由题意得，＝，
整理得，12k＝10k＋30，
解得k＝15，
3k＝3×15＝45，
2k＝2×15＝30.
答：原来有45名男生和30名女生．
【教学说明】引导学生用比例的性质解决问题．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题3.1”中第1题．
教学反思
在处理比例的基本性质前先对比例的项的有关概念进行了讲解，对于比例的内项与外项，我是这样处理的，观察a∶b＝c∶d，a，d在比例式的外部，所以称为比例外项，b，c在比例式的内部，所以称为比例内项，这样解释形象直观，学生容易理解．概念教学应该注意讲练结合，通过练习达到对概念的理解．

3．1.2　成比例线段
教学目标
【知识与技能】
1．掌握比例线段的概念及其性质．
2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．
3．知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
【过程与方法】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题．
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．
【教学重点】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题．
【教学难点】
掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1．1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？
2．比例的基本性质是什么？
【教学说明】复习回顾，引入新课．
二、思考探究，获取新知
1．如下图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值．

【归纳结论】如果选用同一长度单位量得线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫做这两条线段的比，记作：＝或AB∶A′B′＝m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成＝k或AB∶A′B′＝k.
【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.
2．什么是比例线段？
【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段．
3．能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：＝.
【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题．
4．根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C.即：＝＝.
【归纳结论】如果线段AB上有一点C，且＝，那么线段AB被点C黄金分割．点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比．
黄金分割比的数值近似为0.618.
【教学说明】学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解．
三、运用新知，深化理解
1．已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例．
(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；
(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.
解：(1)＝2，＝2，则＝，所以a、b、d、c成比例．
(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例．
2．若ac＝bd，则下列各式一定成立的是(　　)
A.＝　　　　B.＝
C.＝ D.＝
【答案】B
3．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(　　)
A. B.
C. D.或
【答案】D
4．若2x－5y＝0，求y∶x与的值．
解：略．
5．已知＝＝3，＝成立吗？
解：由＝＝3.
得a＝3b，c＝3d.
所以＝＝2，
＝＝2，
＝＝2，
因此＝.
6．已知a∶b∶c＝4∶3∶2，且a＋3b－3c＝14.
(1)求a，b，c；(2)求4a－3b＋c的值．
解：(1)设a＝4k，b＝3k，c＝2k.
∵a＋3b－3c＝14，
∴4k＋9k－6k＝14，
∴7k＝14，
∴k＝2，
∴a＝8，b＝6，c＝4.
(2)4a－3b＋c＝32－18＋4＝18.
7．在△ABC中，D是BC上一点，若AB＝15cm，AC＝10cm，且BD∶DC＝AB∶AC，BD－DC＝2cm，求BC.
解：略．
8．在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？
解：设两地之间的实际距离为x，
则：＝，x＝5×2000＝10000cm＝100m.
9．在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美．(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则＝0.618.
解得：x≈5.2cm.
故她应该选择约5.2cm的高跟鞋看起来更美．
10．已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法：
(1)延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB，
(2)连接AD，在AD上截取DE＝DB，
(3)在AB上截取AC＝AE.
如图，点C就是线段AB的黄金分割点．

【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义．使学生能更好地掌握本节知识．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题3.1”中第2、3、4题．
教学反思
在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用．本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值．同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识．这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好．另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位．