七年级数学有理数的各种知识百科.doc

有理数的运算

【教学结构】
由于负数的引入。使数的范围扩大到了有理数，这样对有理数运算的研究就成为我们要进行的主要课题。下面我们将逐一进行研究。
1．有理数的加法
有理数的加法法则是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数。
在有理数范围内，加法的交换律和结合律仍然成立。对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加。
利用加法的运算律可以简便运算，除了小学已经知道的凑整、同分母先算外，还可以正、负数分别先算，互为相反数结合在一起后再相加等。如计算
2．有理数的减法
由于减法是加法的逆运算，如a－b=c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。因此，有理数的减法运算可以转化为加法去作，得到有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a+(－b), a－(－b)=a+b。
“－”号在小学时已经知道它是运算符号“减”，学习了正负数的概念后，“－”号又是性质符号“负”。
根据减法法则，对(－8)－(－7)+(－2)－(+1)可以转化为(－8)+(+7)+(－2)+(－1)，象这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和。上面(－8)+(+7)+(－2)+(－1)又可以写为－8+7－2－1叫做省略加号的代数和，即各个加号省略不写，每个数的括号也可以省略，读作“负8、正7、负2、负1的和”或“负8加7减2减1”。
运用加法交换律交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。如12－5+7应变为12+7－5，而不能变成12－7+5。
3．有理数的乘法
小学时我们已经学过正数的乘法，对于正数和负数相乘的意义，如2×(－3)可以看作是水库的水位下降记为负量。若每小时下降3cm，2个小时就下降了6cm，表示为－6cm，也就是说2×(－3)=－6。也就得到了有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。即确定符号后把绝对值相乘。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。
关于乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。如“5×4”可以写成“(5)(4)”但不能写为“54”。“1×”不能写成“1”。
另外，乘法的运算律（乘法交换律、乘法结合律、分配律）在有理数运算中仍然成立，并可以简便运算。在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。如
4．有理数的除法
我们知道，除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。根据除法的这种含意，我们得到有理数的除法法则：
除以一个数等于乘上这个数的倒数。即a÷b=a×(b≠0)。
由上面可知，有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
小学时我们曾学过倒数的概念，在有理数范围内，我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。如－2与－互为倒数，因为－2×(－)=1。
由倒数的定义可知，一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。0为什么没有倒数呢？
0没有倒数的原因有两个：①若0能作除数，有=b(a≠0)，则有0×b=a，这样的b不存在。②若=b(a=0)，则有0×b=a，作为商b不唯一确定。所以0不能作除数，，也就没有倒数。
5．有理数的乘方
在有理数的乘法运算中，有一类各因数都相同的特殊的形式，如(－2)×(－2)，为了简便起见，可以写成=(－2)×(－2)= (－2)2。一般地，几个相同的因数a相乘，即a×a×a×…×a，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方。an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

an
指数
幂
底数

如(－5)2，底数是－5，指数是2，(－5)2=25，读作－5的二次方或－5的二次幂。
一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常略去不写。
二次方也叫平方，三次方也叫立方。由22=4，(－2)2=4，02=0可知“一个数的平方是一个非负数。”要注意(－2)4≠－24，，32≠3×2，32≠23，(2×3)2≠2×32。
由乘法法则可知“正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。”
有了乘方运算后，运算顺序是先乘方，再乘除。后加减。若有括号，先算括号里面的。
6．科学记数法
n个
把一个数表示成为±a×10n的形式叫做科学记数法。(1≤a＜10)，目前只研究n＞0的情况。
由101=10，102=100，103=1000，…10n=1000…0，我们可以知道，要把一个数写成科学记数法，10的指数比原数的整数位数小1。如原数有4位整数，指数就是3。例如把－320000用科学记数法表示，由于它有6位整数，10的指数就是5，－320000=－3.2×105。21.23=2.123×10，因为21.23有两位整数，10的指数就是1。
科学记数法的好处是读、写、计算、记忆方便。特别是对很大或很小的数，像地球的半径，头发丝的半径等等。
7．近似数和有效数字
关于数的位数小学已经学过，如 2 1 · 1 7 2 6 8

对2.1这个近似数小学的提法有“精确到十分位”或“精确到0.1”或“保留小数点后一位”。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。如25万精确到万位，0.025精确到千分位。
近似数的误差是一个取值范围，如近似数25表示24.5＜25＜26.5。其误差不大于（即小于或等于0.5。
我们把64340精确到万位是60000，把60340精确到千位也是60000。虽然后者的精确度高，但结果却体现不出来。就需要引进新的概念来表示近似数，就有了有效数字的概念。
一个数从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位上，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。如3.00318有六位有效数字，0.00318有3个有效数字，0.003180有4个有效数字。
对有效数字的概念，一定要注意“前面的0”不计，“中间的0”和“后面的0”要计算在内。如上面提到的0.003180有4个有效数字而不是3个。对于有效数字末位是0的意义，可从学生的身高来理解。某学生甲身高1.5m，是指他的身高范围是1.45m~1.55m之间，即1.45≤1.5＜1.55。某学生乙身高1.50m，是指他的身高范围是1.495m~1.505m之间，即1.495≤1.50＜1.505。也就是说身高1.50m，表示的误差小，更精确地表示出本人的身高。现在我们知道，用有效数字来表示近似数，能够体现出近似数的精确度。如上面提到的64340精确到万位是6×104（保留一个有效数字），60340精确到千位是6.0×104（保留二位有效数字）。

【解题点要】
例（1）计算
分析：由于上题中有互为相反数的－和+，同分母的4和－3.2（－3.2=－3），
可以利用加法的交换律和结合律先分别计算出它们的值，使运算简便。
解：

提问：什么样的两个数的和等于0？什么样的两个数的和等于正数？什么样的两个数的和等于负数？
互为相反数的两个数的和等于0。绝对值较大的加数是正数的两个数的和等于正数。绝对值较大的加数是负数的两个数的和等于负数。
例（2）计算
分析：先根据减法法则去掉括号，写成省略加号的代数和。再利用加法交换律把同分母的项结合到一起进行计算。一定要注意交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。
解：原式=
提问：0减去一个有理数所得的差是什么？
是这个有理数的相反数。
例（3）计算① ② ③
分析：①小题先确定符号，有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。②小题利用分配律进行计算。③小题把化为再利用分配律进行计算。
解：①原式=
②原式=
③原式=
例（4）计算① ②
③
分析：③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。
解：①原式=－1+0+6.5=5.5
②原式=
③原式=
例（5）计算①
②
分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。
解：①原式=

②原式=

例（6）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有几个有效数字？
①43.8 ②0.03086 ③2.4万 ④1.60 ⑤1.38×103
分析：③小题2.4万，表示成科学记数法是2.4×104，精确到数字4所表示的这一位，即千位，有2个有效数字。有的学生会错误认为2.4万可以写成24000，有5个有效数字。由四舍五入得到的近似数2.4万。四舍五入到数字4所表示的这一位，就是精确到这一位，即千位。这也说明用有效数字表示近似数的精确度的好处。
解：①43.8精确到十分位，有3个有效数字。
②0.03086精确到十万分位，有4个有效数字。
③2.4万精确到千位，有2个有效数字。
④1.60精确到百分位，有3个有效数字。
⑤1.38×103精确则十位，有3个有效数字。
例（7）用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数：
①47.62（精确到个位） ②0.85149（精确到千分位） ③1.5972（精确到0.01）
④0.02076（保留三个有效数字） ⑤43670（保留一个有效数字）
⑥40470（保留二个有效数字）
解：①47.62≈48 ②0.85149≈0.851 ③1.5972≈1.60
④0.02076≈0.0208 ⑤43670≈4×104 ⑥40470≈4.0×104

【课余思考】
1．一个有理数减0所得的差是什么？
2．两个有理数的差一定比被减数小吗？
3．互为相反数的两个数，它们的和是多少？差是多少？
4．两个数的和的相反数与这两个数相反数的和相等吗？
5．怎样的两个数的积为0？
6．一个数与－1的积是多少？
7．什么数的平方等于它本身？
8．什么数的平方等于4？
9．一个数的平方能是负数吗？最小可能是多少？
10． 什么数的立方等于－8？

【同步练习】
（一）填空
1． =； ÷（－9）=
2．用语言叙述|a－b| ；|a|－|b|可以叙述为 。
3．两个数的和是－29，其中一个数比5的相反数小3，则另一个数是 。
4．若高度第增加1公里，气温就降低6℃，现在高度增加－4.5公里，则气温就
。
5．比较大小（用符号“＞”，“＜”或“=”连接）
|－1| |－2| |(－1)×(－2)|，|－5－3| |－5|－|－3|。
6．与它的负倒数的积是 。
7．计算： 。
8．n为自然数，则 ， 。
（二）判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”
1．整数包括0和自然数。（ ）
2．如果两个有理数的积是正数，那么它们的商也是正数。（ ）
3．任何有理数的奇次幂是负数。偶次幂是正数。（ ）
4．任何有理数m的相反数都可以用－m表示。（ ）
5．两个有理数的和是正数，积是负数，那么这两个有理数中，绝对值大的是正数，而另一个是负数。（ ）
6．两个有理数和的绝对值一定等于它们绝对值的和。（ ）
（三）计算
1．；
2．；
3．；
4．
（四）当a=－2，b=1，c=－3时，求的值

【单元测试题】
（一）填空
1．计算：(－72)+(+28)= ；0－(－1)= ；|－3－2|×|+2|= ；
；－0.52= 。
2．－0.25的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 。
3．绝对值小于3.7的所有非负整数有 ；在数轴上表示出来 。
4．把－3，，，－0.5，－1，0，π，3.14用“＜”连接起来是
。
5．如果2.0682=4.277，则20.682= ；0.20682= 。
6．用四舍五入法得到2.14581精确到千分位的近似值是 ；这时它的有效数字有 个；如果保留三个有效数字，它的近似值是 。
7．如果数轴上B表示－5，那么在数轴上与B点距离3个长度单位的点所表示的数是 。
8．平方得1的数有 ； 的立方得－27。
9．最大的负整数是 ，最小的非负有理数是 ；绝对值最小的整数是
。
10．若用字母m表示整数，则m为中间数字的三个连续整数可表示为 。
（二）判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”
1．如果一个数的倒数是5，那么这个数的相反数是－。（ ）
2．－15是负数，是整数，也是有理数。（ ）
3．如果两个有理数的和是正数，那么这两个有理数一定都是正数。（ ）
4．两个连续整数的乘积一定是偶数。（ ）
5．一个有理数的立方一定大于原数。（ ）
（三）选择正确答案
1．，在这个运算中用了（ ）
（A）加法交换律 （B）加法结合律
（C）加法交换律和结合律 （D）分配律
2．一个数的奇次幂是负数，那么这个数是（ ）
（A）正数 （B）负数 （C）0 （D）不能确定
3．最小的正有理数是（ ）
（A）1 （B）0.0001 （C）0 （D）不存在
4．如果|a|=2，那么a－1的值是（ ）
（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）3或－1
（四）计算
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
点评：
（一）大题第7小题“B表示－5，那么在数轴上与B点距离3个长度单位的点所表示的数”应为－5+3=－2和－5－3=－8两个数。
（二）大题第8小题“平方得1的数”应考虑12=1，(－1)2=1，所以填“±1”。
（三）大题第4小题“如果|a|=2，那么a－1的值是”，首先要求出a的值，由绝对值的概念可知，由于|a|=2，a=2或－2。所以a－1的值是1或－3。

【答案】
【课余思考】
1．是它本身。 2．不一定。 3．和为0；差是这两个数的绝对值的正二倍或负二倍。
4．相等。 5．至少其中有一个数为0。 6．是这个数的相反数。 7．0和1。
8．2和－2。 9．不能；是0。 10．－2。
【同步练习】
（一） 1．；。 2．a与b差的绝对值；a与b绝对值的差。 3．－21。
4．降低了－27℃（或上升27℃）。 5．=；＞。 6．－1。 7．67。
8．+1；－1。
（二）1．×。 2．√。 3．×。 4．√。 5．√。 6．×。
（三）1．。 2．36。 3．16。 4．－1。
（四）
【单元测试题】
（一）1．－44；1；10；；－0.25。 2．0.25；－4；0.25。
3．2，3，1，0。 4．－3＜－1＜－0.5＜－0.4＜0＜＜3.14＜π。
5．427.7；0.04277。 6．2.146；4；2.15。 7．－8和－2。
8．±1；－3。 9．－1；0；0。 10．m－1，m，m+1。
（二）1．√； 2．√； 3．×； 4．√； 5．×。
（三）1．C； 2．B； 3．D； 4．C。
（四）1．。 2．。 3．。 4．。 5．。 6．。
7．－48。 8．6。