2014年中考数学试题分类汇编24-多边形与平行四边形.doc

多边形与平行四边形
一、选择题
1. （ 2014•福建泉州，第4题3分）七边形外角和为（　　）

A．
180°
B．
360°
C．
900°
D．
1260°

考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形的外角和等于360度即可求解．
解答：
解：七边形的外角和为360°．
故选B．
点评：
本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．

2. （ 2014•广东，第5题3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
7

考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
解答：
解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故选D．
点评：
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

3. （ 2014•广东，第7题3分）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）

A．
AC=BD
B．
AC⊥BD
C．
AB=CD
D．
AB=BC

考点：
平行四边形的性质．
分析：
根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．
解答：
解：A、AC≠BD，故此选项错误；x k b 1 . c o m
B、AC不垂直BD，故此选项错误；
C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；
D、AB≠BC，故此选项错误；
故选：C．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．

4．（2014•新疆，第4题5分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．
OA=OC，OB=OD
B．
AD∥BC，AB∥DC
C．
AB=DC，AD=BC
D．
AB∥DC，AD=BC

考点：
平行四边形的判定．
分析：
根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：
解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选D．
点评：
此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．

5.（2014•毕节地区，第9题3分）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）

A．
13
B．
14
C．
15
D．
16

考点：
多边形内角与外角
分析：
根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
解答：
解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B．
点评：
本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．

6．（2014·台湾，第24题3分）下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？(　　)
A． B．
C． D．
分析：利用平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法分别对每个选项判断后即可确定答案．x k b 1
解：A．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；
B．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行
四边形；
C．上、下这一组对边平行，可能为梯形；
D．上、下这一组对边平行，可能为梯形；
故选B．
点评：本题考查了平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法，掌握这些特殊的四边形的判定方法是解答本题的关键．
7.（2014·云南昆明，第7题3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是
A. AB∥CD，AD∥BC
B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB∥CD
D. AB=CD，AD=BC
考点：
平行四边形的判定．
分析：
根据平行四边形的判定定理分别判断得出答案即可．
解答：
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项正确；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确；
C、一组对边相等，另一组对边平行，不能判定其为平行四边形，故此选项错误；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项正确．
故选：C．
点评：
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键．
8．（2014•浙江湖州，第10题3分）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（　　）
　 A． B．
C． D．
分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．

解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，
即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B选项延长AF、BH交于S1，作FK∥GH，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH，
∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，
∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，

同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D．
点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．

8. （2014•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（　　）

A．
任意三点可以确定一个圆

B．
菱形对角线相等

C．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

D．
平行四边形的四条边相等

考点：
命题与定理
分析：
利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案．
解答：
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
C、正确；
D、平行四边形的四条边不一定相等．
故选C．[来源:Z,xx,k.Com]
点评：
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般．
9. （2014•益阳，第7题，4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（　　）

（第2题图）

A．
AE=CF
B．
BE=FD
C．
BF=DE
D．
∠1=∠2
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定．w!w!w.!x!k!b!
分析：
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
解答：
解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：A．

点评：
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

10. （2014•株洲，第7题，3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A．
选①②
B．
选②③
C．
选①③
D．
选②④

考点：
正方形的判定；平行四边形的性质．
分析：
要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答：
解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
点评：
本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

11.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（　　）

A．
absinα
B．
absinα
C．
abcosα
D．
abcosα
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考点：
平行四边形的性质；解直角三角形．新课 标第 一 网
分析：
过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可．
解答：
解：过点C作CE⊥DO于点E，
∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b，
∴sinα=，
∴EC=COsinα=asinα，
∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，
∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα．
故选；A．

点评：
此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键．

二.填空题
1. （ 2014•安徽省,第14题5分）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　①②④　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
解答： 解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDE，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．

2. （ 2014•广东，第13题4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　3　．

考点：
三角形中位线定理．
分析：
由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．
解答：
解：∵D、E是AB、AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴ED=BC=3．
故答案为3．
点评：
本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．

3.（2014•毕节地区，第19题5分）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 30 度．

考点：
矩形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．
分析：
根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=AB，则符合要求，进而得出答案．
解答：
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），
∴当AE=AB，则符合要求，此时∠B=30°，
即这个平行四边形的最小内角为：30度．
故答案为：30．

点评：
此题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出AE=AB是解题关键．

4.（2014•襄阳，第17题3分）在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，则▱ABCD的周长等于　12或20　．
考点：
平行四边形的性质．
专题：
分类讨论．
分析：
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
解答：
解：如图1所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，
∴EC==2，AB=CD=5，
BE==3，
∴AD=BC=5，
∴▱ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，
∴EC==2，AB=CD=5，
BE==3，
∴BC=3﹣2=1，
∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则▱ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．

点评：
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．

5．（2014•四川自贡，第13题4分）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是　9　．
考点：
多边形内角与外角
分析：
多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1360度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解答：
解：根据题意，得
（n﹣2）•180=1360，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
点评：
考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．

6. （2014•泰州，第9题，3分）任意五边形的内角和为　540°　．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
解答：
解：（5﹣2）•180°=540°．
故答案为：540°．
点评：
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．

7. （2014•扬州，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=　67.5°　．

（第2题图）
考点：
等腰梯形的性质；多边形内角与外角x k b 1 . c o m
分析：
首先求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半．
解答：
解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°，
则正八边形的内角是：1080÷8=135°，
则∠1=×135°=67.5°．
故答案是：67.5°．
点评：
本题考查了正多边形的内角和的计算，正确求得正八边形的内角的度数是关键．

三.解答题
1. （ 2014•安徽省,第23题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=　60°　；
②求证：PM+PN=3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．

考点： 四边形综合题．
分析： （1）①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，
（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，
（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，
解答： 解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，
故答案为；60°．
②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM=AM，HL=BP，PL=PM，NK=ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A．

（2）如图2，连接OE，
∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，
在△ONE和△OMA中，

∴△OMA≌△ONE（SAS）
∴OM=ON．
（3）如图3，连接OE，
由（2）得，△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和∠DON中，

∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，X K B 1.C O M
∴△MOG是等边三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四边形MONG是菱形．
点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段．

2. （ 2014•广西贺州，第21题7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：AF∥CE．

考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．

点评：
此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ABE≌△CDF是解题关键．

3．（2014年云南省，第22题7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．

考点： 平行四边形的判定与性质
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；
（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．
解答： 证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四边形；
（2）如图：连接ND，

∵MNCD是平行四边形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中点，
∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NVD是等边三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan，
∴DB=DC=MN．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．

4．（2014•温州，第24题14分）如图，在平面直角坐标系中国，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中▱PCOD的面积为S．
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．

考点：
四边形综合题．
分析：
（1）由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，
（2）连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．
（3）当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解，
当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解，
②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围，
解答：
解：（1）∵OB=6，C是OB的中点，
∴BC=OB=3，
∴2t=3即t=，
∴OE=+3=，E（，0）
（2）如图，连接CD交OP于点G，

在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=PO，
∴AG=EG，
∴四边形ADEC是平行四边形．
（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，
第一种情况：如图，当点M在CE边上时，

∵MF∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴=，即=，
∴t=1，
第二种情况：当点N在DE边

∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴==，
∴t=，
（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，
第一种情况：当点M在DE边上时，

∵MF∥PD，
∴EMF∽△EDP，
∴= 即 =，
∴t=，
第二种情况：当点N在CE边上时，

∵NF∥OC，
∴△EFN∽△EOC，
∴=即 =，
∴t=5．
②＜S≤或＜S≤20．
当1≤t＜时，
S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，
∵t=在1≤t＜范围内，
∴＜S≤，
当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，
∴＜S≤20．
点评：
本题主要是考查了四边形的综合题，解题的关键是正确分几种不同种情况求解．w w w .x k b 1.c o m

5．（2014•舟山，第23题10分）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．

考点：
四边形综合题
分析：
（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．
（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；
②举例画图；
（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；
（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．
解答：

解：（1）如图1
∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；

（2）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
②不正确，
反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，
但CB≠CD，

（3）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2，
∴AC===2
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，

∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，
∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF=BE=3，BF=DE=2，
∵∠BCD=60°，
∴CF=，
∴BC=CF+BF=+2=3，
∴AC===2．
点评：
本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．

6.（2014年广东汕尾，第20题9分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）证明：FD=AB；
（2）当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积．

分析：（1）利用已知得出△ABE≌△DFE（AAS），进而求出即可；
（2）首先得出△FED∽△FBC，进而得出=，进而求出即可．
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，∴AE=ED，∠ABE=∠F，
在△ABE和△DFE中，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB；
（2）解：∵DE∥BC，∴△FED∽△FBC，∵△ABE≌△DFE，
∴BE=EF，S△FDE=S平行四边形ABCD，∴=，∴=，∴=，
∴△FED的面积为：2．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出S△FDE=S平行四边形ABCD是解题关键．
7.（2014•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．

（第1题图）
考点：
平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形
分析：
（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
解答：
（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=6．

点评：
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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