山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学上册 12.3.2《角平分线的性质》课案（2）（教师用） （新版）新人教版.doc

角平分线的性质
【理论支持】
一、本节课是以《数学课程标准》依据设计完成的，它体现了以下基本理念：
1．学生的数学学习应当是现实的，有意义的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实践、猜想、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求，有效的数学活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
2.教师应激发学生的学习积极性向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。
3.数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
 二、设计思路:
角平分线的知识在八年级第一学期学习“全等三角形”之前，它的应用仅限于推导数量关系，这节课以角平分线的应用贯穿学生学过的平面几何内容，复习前面学过的几何知识，并对利用角平分线推到角与角之间数量关系的题目类型做了总结，与后续课程中角平分线的其它应用形成并列知识结构。便于学生复习、整理、归纳、总结。
在课程的顺序安排上，选择了由易到难，由简单图形到复杂图形的顺序。在第一部分，“角平分线与角（直线）”的内容中，题目较为简单，目的是让学生复习角平分线作为数量关系的最简单应用，重点放在总结这类问题的规律上，同时渗透在同类题目中探索规律的方法。第二部分，“角平分线与平行线”中安排了学生对同类图形的猜想和实验，且对图形进行了变式，使学生充分理解角平分线在较为复杂的数量关系推导中的应用，为第三部分的证明题作出了铺垫。同时在这道变式题中还涉及到辅助线的做法及由复杂图形拆解到简单图形的数学思想。在第三部分“角平分线与三角形”中，出现了难度较大的猜想、实验和证明，目的是充分调动学生的积极性，其中一部分题目安排在课后完成是为了让学生体验本节课上学习的解决问题的思想方法，使这一方法在学生头脑中得到深化。
 本节课是角平分线应用的一部分内容，在学习了三角形整章知识后还要进行角平分线其他应用的总结。因此应属于角平分线专题的第一节课
【教学目标】
知识技能：掌握角平分线的性质和判定，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题．
数学思考：经历探究角平分线性质判定的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理力．
解决问题：了解角平分线的性质在生活、生产中的应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
情感态度：结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获
得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。
【教学重难点】
1． 重点：角平分线性质和判定的应用．
2． 难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
【课时安排】
二课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1．如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
则PC与PD的大小关系为（ ）
A.PC＞PD　　　　　 　 B.PC＝PD　　
C.PC＜PD　　　　 D.不能确定

2．如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，
BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离
是 cm。
〖答案〗（1）B 　　（2）5
〖设计说明〗通过这两道题目复习角平分线的性质（1），第一小题其实就是角平分线性质的符号语言，第二小题是对角平分线性质的一个简单运用．为进一步学习新的知识打下基础．
二、预习思考及答案
角平分线性质的逆命题是什么？猜猜该逆命题是否正确呢？
〖答案〗到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上．
〖设计意图〗通过判断逆命题是否正确,让学生带着问题引入新课，调动学生的求知欲，激发学生学习新知识的兴趣．在新教材的教学中，使学生回忆并注意可以诱发的解决一连串的疑问的旧有经验．为掌握新知打下基础．
课内探究
一、导入新课
创设情境，提出问题
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路
　　距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应
建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
比例尺为
1：20000是什么意思？

问题：1．集贸市场建于何处？
　　　2．比例尺为1：20000是什么意思？你能在图上找出S点的位置吗？
〖答案〗1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
〖设计说明〗通过实际问题的引入，让学生从生活中发现数学问题，激发学生的求知欲．通过对数学问题的讨论使学生知道数学来源于生活,生活离不开数学,激发学生学习的积极性．
二、探索新知
1．问题：角平分线性质逆命题是否正确呢？你能给出证明吗？
〖答案〗已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上
证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB
∴∠QEO=90°,∠QDO=90°
又∵QD＝QE ，OQ=OQ
∴Rt△QEO≌Rt△QDO
∴∠QOE=∠QOD
∴点Q在∠AOB的平分线上．
〖设计说明〗通过该问题让学生确信逆命题的正确性，并让学生试口述该性质，加深学生的印象．这个提问设置为学生区分用哪个性质给出了说明，同时又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．
2．揭示课题，整理概念，板书
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
用符号语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE．
总结:应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所
以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解
决问题．
3．出示例题
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
〖点拨方法〗点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、 F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE．
同理PE=PF．
∴PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
探究：连接AP，请问AP平分∠BAC吗？（能否给出简单证
明）．
〖设计说明〗该例题运用了角平分线的两个性质，起到巩固新
　　　　知的作用．
三、课堂反馈训练
1．已知：如下图，在△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上.

〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢?
〖答案〗证明：过点F作FG⊥BC,FM⊥AE,FN⊥AD垂足分别为G、M、N.
∵FB、FC分别为∠CBD、∠BCE的角平分线
∴FG = FN, FG =FM
∴FN =FM
∴点F在∠DAE的平分线上.
2．如下图所示，直线、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有： ( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
〖点拨方法〗如上图此题可以用教科书115页第6题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制，因此满足要求的地址共有四处.
〖答案〗D.
〖设计说明〗引导学生对问题进行变式，既培养学生发散性思维能力，同时也培养学生的辨别能力，让学生学会比较，养成良好的学习习惯，培养严谨的思维能力．
四、小结归纳
今天你又学到了哪些新的知识?有什么收获?
〖设计说明〗发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.
课后提伸
1.必做题：教科书第22页习题11.3第3、5题.
2.选做题：
(1)与相交的两条直线距离相等的点在： ( )
A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上
C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上
〖答案〗 B
3.备选题：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C
两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有：( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〖答案〗D