八年级数学下学期期末复习《分式》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
分式
（复习课）

【理论支持】
《新课程标准》指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
皮亚杰的认知理论认为：图式变化的原因在于同化和顺应。同化是人们把新的知觉要素或刺激物整合到原有的图式或行为模式中去。顺应则是新图式的创造或旧图式的修改。为了形成适量的、概括性的图式，同化与顺应之间的均衡是必要的。
社会建构主义先驱维果茨基认为：提出了两个概念，即“现有发展水平”和“最近发展区”。什么，什么是“现有发展水平”和“最近发展区”呢？维果茨基是这样来界定这两个概念的，所谓现有发展水平即指儿童独立完成作业的心理水平，传统的智力测验所要了解的就是这种水平；而所谓“最近发展区”则是指儿童在有指导的情况下借成人的帮助所达到的解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题的水平之间的差异来确定的。大家要知道，重要的不是今天为止已经完结了的发展过程，而是那些现在仍处于形成状态的，刚刚在发展的过程，依靠这些过程，才能有力地推动发展。因此，维果茨基明确提出，教学就是人为的发展，教学在儿童发展中的决定作用表现在发展的方向、内容、水平和智力活动的特点以及发展的速度上，即教学创造着最近发展区，儿童的第一发展水平与第二发展水平之间的动力状态是由教学决定的。教师要识别学生现有的发展水平，设计出合理的教学任务，组织好互动,积极培养学生的策略意识，只有这样，才能帮助学生顺利地到达下一发展区。课堂教学安排得过于简单或过于超前，都不能很好地促进学生的发展。
分式教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识，复习时要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，达到同化与顺应的平衡,这将有助于理解和记忆所学的分式内容。分式方程与分式又有直接的关系。本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为x=a的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉。与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。正因如此，分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显区别：一是解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来；二是通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。
分式的四则运算法则，是本章的一个重点内容，它与根据实际问题列出分式方程，也本章教学中的二个难点，本节课作为复习课，学生对本章的知识有了一定的了解，属于学生现有发展水平区域内，基础较好的学生“不需要跳就能摘到桃子”，显得太容易了，对学生不能起到激发思考的作用，也不能促进学生智力的发展,教师可让学生通过练习做一个复习，唤起他们对本章知识的回忆，提醒一些注意事项，然后帮助学生归纳小结形成知识网络。更重要的是教师要将课本例、习题延伸和适当变形，把数学与实际问题结合，加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识,设计一些具有挑战性的试题，既不容易也不很难，让学生讨论、交流、思考，深化知识结构，即“让学生跳一跳，然后摘到桃子”，这样才能激发学生思考的积极性，培养学生的抽象思维能力和创新精神,有效地促进学生智力的发展。调动学生创造性学习的积极性，提高分析、解决问题的能力。
学习对象分析：
1.初中是由小学向高中过渡的时期，学生的身心发展也由少年期向青春期过渡，学习盲目和主动有所加强，处在盲目和依托、主动和并存的年龄.他们可塑性大，既掌握是基础知识、基本技能的最佳时期，又更多的需求盲目地独立安排本人的学习活动。所以自学能力的强弱对学习成绩的影响明确加强。
2.初中随着知识的增多、内容加深,学生的智力在学习中的作用也体现得越来越突出，但学生在这些方面之间存在明显的差别。往往在初二年级出现相比明确的学习“分化点”。一般来说，随着学习内容的加深，对学生逻辑思想能力请求越来越高，这时学习开端出现好的更好，差的更差。
对初二学生的指导更多的应着重于学习要领和学习意志质量的扶植,注意尊重学习能力较差学生的自尊,并更多在关心指导让他们逐步树立学习的信心.
【教学目标】
知识技能
掌握分式的基本性质及分式的有关运算法则、分式方程的概念及其解法、 列分式方程，建立现实情境中的数学模型解决有关问题。
数学思考
1. 通过实际情形体会、感受和理解分式的意义
2. 在解比较复杂问题时，善于分解成几个小问题来解决，从而提高解题能力
解决问题
1． 经历分式与分数的联系和区别，体会类比思想；
2． 体会解分式方程中的转化思想、解题过程中的整体思想；
3． 经历“实际问题—分式模型—求解——验证解的合理性”的数学思考过程，体会数学模型思想。
情感态度
1． 使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人。
2． 通过小组活动培养学生合作交流的意识和探索精神。

【教学重难点】
1.重点：（1）分式的概念及其基本性质的灵活运用
(2)分式方程的应用。
2. 难点： 用分式知识解决实际问题
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识复习及答案
1. 在代数式、、、、、中，分式的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2. 当为何值时，分式的值为零？
3. 计算：
（1）
（2）
4. 若关于x的方程+1无解，则m的值是多少？
5. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程 .
〖答案〗1. C 2.＝1 3.（1）（2）。
4.解： ∵方程+1无解．
∴有增根x=3．
+1方程两边都乘以（）得
，当x=3时，m=1．
5. 。
〖设计说明〗数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。本节课为复习课，教师把属于学生现有发展水平区域内重点内容以习题的形式出现，为学生提供充分从事数学活动的机会，让本章的重点内容在学生大脑中再现,帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。
二、本章归纳：本章内容包含三大部分：分式的定义及基本性质；分式的运算；分式方程及应用。对于分式的定义要注意除式不能为零；分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数情形进行类比；解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验；学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验；本章的知识结构图为：

〖设计说明〗新课标课程的安排按照循序渐近的原则练习编排的，复习时要打破原课本中知识编排的结构，重新组合，这样有利于形成系统的知识体系，把各部分作为整体来掌握，这就是常说的“整体大于局部之和”。
课内探究
例1：已知=3，求的值．
解法一：由=3可得b+a=3ab．
则==0．
点拨：由条件=3，可得a+b=3ab，所以需设法从待求式中寻找a+b的式子，以便代入．
解法二：由ab≠0, ∴＝
〖设计说明〗一题多解可以让学生充分利用自己的大脑获得知识，按自己的思维方式独立思考；数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是从具体的数学认识过程中提炼出来的，是数学的灵魂。但它在平时教材中没有直接明确地显示出来，要靠教师在注意教学中挖掘渗透，本题注重了整体思想的运用。
例2：今年我国西南五省市遭遇百年不遇的旱灾牵动着全国人民的心，某中学师生自愿为灾区捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？
解：设第一天捐款x人，则第二天捐款x+50.
由题意列方程
= ．
化简得，4x+200=5x． 解得 x =200．
检验：当x =200时，x(x+50)≠0，
∴ x =200是原方程的解．
两天捐款人数x+(x+50)=450．
人均捐款=24．
答：两天共参加捐款的人数是450人，人均捐款24元。
〖设计说明〗从现实生活中，选择一些具有时代气息、学生熟悉和感兴趣的素材编成数学问题，可以使学生体会到数学与现实生活密切联系，数学在现实生活中的作用，“人人学有价值的数学”的同时又对学生进行了思想道德教育。
例3：【问题】甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。
（1）假设、分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。试用含、的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克元，则＝ ；＝ 。
（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。
解：（1）第一次购买粮食付款元，第二次购买粮食付款元，两次共付款元。
乙第一次购买粮食千克，第二次购买粮食千克，故两次共购买粮食千克。
∵平均单价＝
∴＝＝；＝＝
（2）要判断谁更合算，就是判断、的大小，小的更合算些。
∵－＝－＝且≠
∴＞0而＞0
∴－＞0
故＞
∴乙的购粮方式更合算。
〖设计说明〗富有情趣的实际问题能牢牢吸引学生的注意力，通过一串问题，将具有一定难度的问题在不知不觉中逐步呈现给学生，使不同层次的学生在交流中有不同的收获，实现“不同的人在数学上有不同的发展”并能激发学生解决难题的主动性。
课后提升
1．若分式有意义，则x应满足的条件是 （ ）
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
2．先化简代数式，然后选择一个使原式有意义的、b值代入求值.
3．，，……
（1） 请观察上面式子的规律，你猜测出结论是？
（2） 验证：（n为正整数）；
（3） 计算……（x为正整数）
4.问题探索：
（1）已知一个正分数（＞＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论。
（2）若正分数（＞＞0）中分子和分母同时增加2，3…（整数＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。
5．列方程解应用题：
某货车在发生交通事故后，沿一条小路向高速公路逃离，交警巡逻车立即沿另一公路向高速追击，在货车刚进入高速公路路口时，将它截住．已知警车的速度比货车快40千米/时，警车驶到高速公路行驶的路程是货车的2倍，求警车的速度．
〖答案〗1. C
2.=
=
==
当时，原式
3. 1）两个递增连续的正整数的倒数差等于它们积的倒数；2）；3）
4.（1）＜（＞＞0）
证明：∵－＝＜0（条件是＞＞0）
∴＜
（2）＜（＞＞0，＞0）
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为、，增加面积为，则由（2）知：＞，所以住宅的采光条件变好了。
5.解：设警车的速度为x千米/时，把货车行驶的路程看作1，
则警车行驶的速度为2，
依题意得: ，解得x=80．
经检验x=80是原方程的根．
答：警车的速度是80千米/时．
〖设计说明〗课后练习既是对课内重点知识的巩固，又是对课堂知识的补充与延伸，设计的这组试题增加了一些推理性、探索性的问题让学生充分思考，对培养他们各方面的能力很有好处。