九年级数学下册 第3章 圆 3.6 直线和圆的位置的关系教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

《直线和圆的位置关系》
◆ 模式介绍
“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．
探究式教学通常包括以下五个教学环节：
创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高
◆ 设计说明
首先通过问题1回顾“点和圆的三种位置关系”，为学习“直线和圆的位置关系打下基础；问题2通过唐诗引出“直线和圆的位置关系”，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”和对我国古典文学的热爱之情．问题3通过地平线与太阳的位置关系这个现实情境启发学生思考，归纳得出直线和圆的三种位置关系，并观察得出“圆心到直线的距离和半径的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应关系．问题4让学生探究圆的切线的性质定理．问题５探究圆的切线的判定定理．最后通过例、习题的巩固，突出圆的切线性质定理及其判定定理的运用．
◆ 教材分析
本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第6节《直线和圆的位置关系》的教学内容，研究直线和圆的三种位置关系、切线的判定定理、性质定理，三角形的内切圆概念等知识，是研究直线和圆的有关问题时常用的定理，同时，本节知识也为后续学习圆与圆的位置关系等知识的基石．
本节教材首先讨论了直线与圆的三种位置关系，然后重点研究了直线与圆相切的情况，给出了直线和圆相切的判定定理、性质定理，并在此基础上介绍了三角形的内切圆等知识．教学时，可以首先复习点与圆的不同位置关系以及各种位置关系的数量表示，同时，引导学生从运动变化的观点以及量变到质变的过程理解直线和圆相交、相切、相离等概念．
本节内容从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质．
◆ 教学目标
【知识与能力目标】
1、掌握切线的概念；
2、了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；
3、探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
4、了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念．
【过程与方法】
学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力以及数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法．
【情感态度与价值观】
通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．
◆ 教学重难点
【教学重点】
1、探索并掌握直线和圆的三种位置关系及判定方法；
2、探索并证明圆的切线的判定定理和性质定理．
【教学难点】
探索直线和圆三种位置关系及圆的切线的判定定理和性质定理的过程．
◆ 课前准备
多媒体课件、教具等．
◆ 教学过程
【创设情境】
问题1 我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆一下它们的位置关系有哪些？如何根据点到圆心的距离与圆的半径的关系来判断点的位置？
点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．
问题2 唐朝诗人王维在《使至塞上》写道：
单车欲问边，属国过居延．
征蓬出汉塞，归雁入胡天．
大漠孤烟直，长河落日圆．
萧关逢候骑，都护在燕然．

其中第三句后半部分“长河落日圆”描写的是“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”．如果从数学的角度来分析，把黄河当作一直线，太阳当作一个圆，如何用几何图形来刻画这个落日的过程呢？请同学们动手画一画．
设计意图：问题1回顾“点和圆的三种位置关系”，为学习“直线和圆的位置关系打下基础；问题2通过唐诗引出“直线和圆的位置关系”，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”和对我国古典文学的热爱之情．
【启发思考】
问题3 （1）观察下图中的三幅图片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？
（2）作一个圆，将直尺的边缘看作一条直线．固定圆、平移直尺，直线和圆有几种位置关系？

可以发现，直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离（如下图）．

追问1：以上三种情况中，直线和圆分别有几个交点？
直线与圆相交时，有两个公共点；直线与圆相切时，有一个公共点，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；直线和圆相离时，没有公共点．
追问2：你能根据点和圆的位置关系，类似得出直线和圆的三种位置关系中圆心到直线的距离d和半径r之间的大小关系吗？
设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，
当直线与圆相交时，d＜r；
当直线与圆相切时，d＝r；
当直线与圆相离时，d＞r．
设计意图：问题3通过地平线与太阳的位置关系这个现实情境启发学生思考，归纳得出直线和圆的三种位置关系，并观察得出“圆心到直线的距离和半径的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应关系．
【探究问题】
问题4 如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由．

思路一：上图轴对称图形，AB所在的直线是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．
思路二：（反证法）AB与CD相么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD（如下图），垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交．这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾．所以AB与CD不垂直．

因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
问题5 如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，

(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化?
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
学生活动：画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后同学之间互相交流意见．
结论：如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d=r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r．因此，当∠α=90°时，d=r，这时直线l与⊙O相切．
切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【形成结论】
总结归纳出切线的性质定理和判定定理：
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
切线的判定定理实际上是圆心到直线的距离等于半径的另一种说法．
【巩固提高】
例1 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切?
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?

解：（1）如图，过点C作AB的垂线，垂足为D．
∵AB=8cm，AC=4cm，∴，∴∠A=60°．∴CD=ACsinA=4sin60°=(cm)．
因此，当半径长为cm时，AB与☉O相切．
（2） 由（1）可知，圆心C到AB的距离d=cm，所以当r=2cm时，d＞r，☉C与AB相离；当d=4cm时，，d＜r，☉C与AB相交．
例2 已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据圆的切线的判定可知，经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线．
作法：如图．

(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
例3 如图，在中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切．

分析：假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如右上图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．
∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上．∵ID＝IN，∵ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的，所以I到△ABC三边的距离相等．因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
学生练习1 课本91页随堂练习第1题、第2题．
学生练习2 课本93页随堂练习第1题、第2题．
课堂小结：
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、直线和圆相交、相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．
2、设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：
直线L和⊙O相交d<r；
直线L和⊙O相切d=r；
直线L和⊙O相离d>r；
3、 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
5、三角形的内切圆及内心的概念．
布置作业：
1、教科书习题3.7第1题、第2题；习题3.8第1题、第2题．（必做题）
2、教科书习题3.7第3题；习题3.8第3题．（选做题）
◆ 教学反思
略．