秋八年级数学上册 13.2 命题与证明教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中八年级上册数学教案.doc

13．2　命题与证明
第1课时　命题

1．了解命题的含义．
2．对命题的概念有正确的理解．
3．会区分命题的条件和结论．

重点
找出命题的条件(题设)和结论．
难点
命题概念的理解．

一、创设情境，导入新课
教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等．根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．
1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2．两直线平行，同位角相等；
3．同旁内角相等，两直线平行；
4．直角都相等．
二、合作交流，探究新知
学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、4是正确的，句子3是错误的．像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．
上面判断性语句1、2、4都是正确的命题，称为真命题，3是错误的命题，称为假命题．
教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论．
有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果……那么……”的形式，就可以分清它的题设和结论了．例如，命题4可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等．”
应用迁移、巩固提高
1．教师提出问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论．
学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．
2．教师提出问题2：把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并说出它们的条件和结论．
(1)对顶角相等；
(2)如果a＞b，b＞c, 那么a>c.
学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案．
(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等．
(2)条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a>c.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题．
说出上题的逆命题，并讨论．
三、运用新知，深化理解
例1　写出下列命题的题设和结论：
(1)如果a2＝b2，那么a＝b；
(2)对顶角相等；
(3)三角形内角和等于180°.
分析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果……那么……”的形式，再找出题设和结论．
解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；
(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；
(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．
【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果……那么……”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果……那么……”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．
例2　写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；
(2)如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角．
分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．
解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；
(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．
【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P77练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知

六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P84习题13.2第1～3题．

第2课时　证明(一)

1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念．
2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题．

重点
证明的含义和表述格式．
难点
按规定格式表述证明的过程．

一、创设情境，导入新课
教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段AB和线段CD的长度．
通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性．
二、合作交流，探究新知
证明的引入
(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的倍”是真命题吗？请说明理由．
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论．
教师对具体的说理过程予以详细的板书．
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式．
(2)通过教材例3，例4的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求．
【归纳总结】证明几何命题的表述格式：
①按题意画出图形；
②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
③在“证明”中写出推理过程．
三、运用新知，深化理解
例1　如图，下列推理中正确的有(　　)

①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；
②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；
③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．
A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个
分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠2不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选C.
【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
例2　完成下面的证明过程：
已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.
求证：∠3＝∠B.

证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥______(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴______∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥______，∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
分析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．
∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.
【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．反过来就是平行线的判定．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P78～79练习及P80练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
(1)证明的含义．
(2)真命题证明的步骤和格式．
(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P84～85习题13.2第5～8题．
第3课时　证明(二)

1.通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程．
2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来．

重点
根据具体的证明过程，填写推理的理由．
难点
将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题．

一、创设情境，导入新课
在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？
(1.度量法；2.折叠法；3.剪拼法．)
但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明．
二、合作交流，探究新知
1.三角形内角和定理的证明
(1)理解题意，分清题目的条件和结论；
(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题．
已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

证法一：

(请学生参照剪贴的方法去证明)
证法二：

(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)
除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考．
2．总结证明命题的一般步骤：
(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；
(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；
(3)结合图形和命题写出已知和求证；
(4)分析因果关系，探索证明思路；
(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；
(6)检查表述过程是否正确，完善．
3．小试牛刀
尝试写出下列问题的已知、求证并画图：
(1)求证：直角三角形的两个锐角互余．
(2)求证：对顶角相等．
4．证明：直角三角形的两个锐角互余．
(请学生画图口答即可．)
推论1：直角三角形两锐角互余．
由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．
三、运用新知，深化理解
例1　如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．

(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；
(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.
分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠2＋∠3＝180°和(1)的结论即可证得．
解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.
理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；
(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠HPE＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键．
例2　如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？

分析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.
解：△AHC是直角三角形．理由如下：
因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝∠BAC，∠2＝DCA，所以∠1＋∠2＝(∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC为直角三角形．
【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P81～82练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知

六、布置作业
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
第4课时　三角形的外角

1．了解三角形的外角．
2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．

重点
三角形外角的性质．
难点
运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．

一、创设情境，导入新课
什么是三角形的内角？它是由什么组成的？
三角形的内角和定理的内容是什么？
教师提出问题，学生举手回答问题．
【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．
二、合作交流，探究新知
探究
问题1：如图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？

练习：
如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？

问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？
教师利用投影出示图形，并提出问题．
教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．
然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．
完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：
1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．
【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．
通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．
通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程．培养学生的推理论证能力．
三、运用新知，深化理解
教师出示教材例5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角．然后师生共同写出规范的解答过程．
思考：还有没有其他的方法可以证明？
【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．
继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．
例1　已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.

分析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．
证明：∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．
例2　如图，求证：(1)∠BDC>∠A；
(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．
证法一：(1)连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角．

∴∠1>∠3.
∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∴∠1＋∠2>∠3＋∠4(不等式的性质)．
即：∠BDC>∠BAC.
(2)由(1)作图知∠1＝∠3＋∠B，
∠2＝∠4＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C(等式的性质)，即：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.
证法二：(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E)，如图．

则∠BDC是△CDE的一个外角．
∴∠BDC>∠DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)，
∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，
∴∠BDC>∠A(不等式的性质)．
(2)由(1)作图知∠BDC＝∠C＋∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
∵∠DEC是△ABE的一个外角，
∴∠DEC＝∠A＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．
∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A(等量代换)．
【教学说明】 让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．
注意事项： 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P83练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P85习题13.2第9题．