七年级数学下册 第一章 整式的乘除 6 完全平方公式教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中七年级下册数学教案.doc

1.6 完全平方公式 （第1课时）
一、教学目标
(一)知识目标
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力目标
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感目标
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
二、教学重难点
(一)教学重难点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
(二)教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
三、教学方法
引导学生从面积入手发现并猜测完全平方公式，通过合作探索讨论用所学的知识对公式进行验证.
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
(学生思考面积的表示方法)
法一：改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
法二：也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度利用多项式的乘法运算推导出这样的公式呢？
想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］你能用语言描述这个公式吗？
( 引导学生用语言描述公式，学生齐读 )
两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上它们积的2倍.
(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(学生讨论，探索结论，学生自己回答解决方法)
(学生很容易模仿上面的方法用多项式乘法来解决，老师可以适当的引导学生利用刚才验证的公式来解决整个问题，寻求一个问题的多种解法)
法一：(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
法二：因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”，利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab+b2
［师］你能用语言描述这个公式吗？
(学生模仿上面公式的描述试着自己描述，请学生回答)
两个数的差的平方等于这两个数的平方和减去它们积的2倍.
2.应用、升华
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，明确谁是a，谁是b，准确代入公式；第三步化简.
Ⅲ、随堂练习
计算：
(1)(x－2y)2；(2)(2xy+x)2；(3)(n+1)2－n2.
(学生演板，互相批改)
解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2
(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2
(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.
Ⅳ、课后作业

1.6 完全平方公式（第2课时）
教学目标：
1、知识与技能：体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算.
2、过程与方法：通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力.培养学生的数形结合能力.
3、情感态度价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心.
教学重点：
1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述(学生自己的语言)、几何解释.
2、会运用公式进行简单的计算.
教学难点：
1、完全平方公式的推导及其几何解释.
2、完全平方公式的结构特点及其应用.
教学过程：
一、复习旧知、引入新知
问题1：请说出平方差公式，说说它的结构特点.
问题2：平方差公式是如何推导出来的？
问题3：平方差公式可用来解决什么问题，举例说明.
问题4：想一想、做一做，说出下列各式的结果.
(1)(a+b)2 (2)(a-b)2
(此时，教师可让学生分别说说理由，并且不直接给出正确评价，还要继续激发学生的学习兴趣.)
二、创设问题情境、探究新知
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)

(1)四块面积分别为： 、 、 、 ；
(2)两种形式表示实验田的总面积：
① 整体看：边长为 的大正方形，S= ；
②部分看：四块面积的和，S= .
总结：通过以上探索你发现了什么？
问题1：通过以上探索学习，同学们应该知道我们提出的问题4正确的结果是什么了吧？
问题2：如果还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，继续探索.(a+b)2 表示的意义是什么？请你用多项式的乘法法则加以验证.
(教学过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确，只有再通过验证才能得出真知，但还是要鼓励学生大胆猜想，发表见解，但要验证)
问题3：你能说说(a+b)2=a2+2ab+b2
这个等式的结构特点吗？用自己的语言叙述.
(结构特点：右边是二项式(两数和)的平方，右边有三项，是两数的平方和加上这两数乘积的二倍)
问题4：你能根据以上等式的结构特点说出(a-b)2等于什么吗？请你再用多项式的乘法法则加以验证.
总结：我们把(a+b)2=a2+2ab+b2 (a–b)2=a2–2ab+b2称为完全平方公式.
问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式吗？
语言描述：两数和(或差)的平方等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍.
强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减.
三、例题讲解，巩固新知
例1：利用完全平方公式计算
(1)(2x－3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mn－a)2
解：(2x－3)2 =(2x)2 －2·(2x)·3＋32
= 4x2－12x＋9
(4x+5y)2 =(4x)2 ＋2·(4x)·(5y)＋(5y)2
= 16x2＋40xy＋25y2
(mn－a)2 =(mn)2 －2·(mn)·a＋a2
= m2 n2 － 2mna ＋a2
交流总结：运用完全平方公式计算的一般步骤
(1)确定首、尾，分别平方；
(2)确定中间系数与符号，得到结果.
四、练习巩固
练习1：利用完全平方公式计算
① ② ③ (-2t-1)2
练习2：利用完全平方公式计算
(1)(n＋1)2 －n2 (2)
练习3：求的值，其中
(练习可采用多种形式，学生上黑板板演，师生共同评价.也可学生独立完成后，学生互相批改，力求使学生对公式完全掌握，如有学生出现问题，学生、教师应及时帮助.)
五、变式练习
1、下列计算是否正确？如不正确如何改正？
① ② ③
2、选择
(1)代数式2xy-x2-y2=( )
A、(x-y)2 B、(-x-y)2 C、(y-x)2 D、-(x-y)2
(2)等于( )
A． B． C． D．
(3)若，那么A等于( )
A． B． C．0 D．
六、畅谈收获，归纳总结
1、本节课我们学习了乘法的完全平方公式.
2、我们在运用公式时，要注意以下几点：
(1)公式中的字母a、b可以是任意代数式；
(2)公式的结果有三项，不要漏项和写错符号；
(3)可能出现① ②这样的错误.也不要与平方差公式混在一起.
七、作业设置