北师大版八年级数学探索勾股定理.doc

探索勾股定理
●教学目标
(一)教学知识点
1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理.
2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象．
(二)能力训练要求
1.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
2.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．
(三)情感与价值观要求
1.培养学生积极参与、合作交流的意识．
2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．
●教学重点
探索和验证勾股定理．
●教学难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
●教学方法
交流—探索—猜想.
在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系．
●教具准备
1.学生每人课前准备若干张方格纸.
2.投影片三张：
第一张：填空(记作§1.1.1 A)；
第二张：问题串(记作§1.1.1 B)；
第三张：做一做(记作§1.1.1 C).
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
出示投影片(§1.1.1 A)
(1)三角形按角分类，可分为_________、_________、_________.
(2)对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？
(3)有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角形一定全等吗？

［师］上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下.
［生］(1)三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；
(2)对于一般三角形来说，我们可以用SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)、SSS(边边边)来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL(即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等).
(3)两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：
第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等.
第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等.
综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等.
［师］我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征.在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？
这节课，我们就来继续研究直角三角形.
Ⅱ.讲述新课
1.问题串
［师］(出示投影片§1.1.1 B)
观察下图，并回答问题：

(1)观察图1.
正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；
正方形B中含有_________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；
正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________个单位面积.
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流.
(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？

A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1

图2

图3

［生］在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积.
［师］如何求得正方形C的面积呢？
［生］正方形C可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C的面积为4×(×1×1)=2个单位面积.
［生］我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C的面积为2个单位面积.
［生］正方形C还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C的面积为×22=2个单位面积.
［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A，B，C的面积是否可借鉴图1中的A，B，C的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。
［生］图2中，A含有9个小方格或者说正方形A的边长是3个单位长度，都可以求得A的面积是9个单位面积；同理可求得B含有9个小方格，所以B的面积为9个单位面积；对于正方形C来说，我们观察可发现它含有18个小方格，所以C的面积为18个单位面积.
［师］看来，同学们已能从图2中很容易地就求得了A，B，C的面积.是不是在求C的面积时也和图1相类似，有多种求法呢？
［生］是的.在正方形C中，我们可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼摆成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积；我们也可以把C分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可算得C的面积为4×(×32)=18个单位面积.
［生］如果把组成C的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C在边长为6个单位长度的正方形中，并且C的面积恰好是这个正方形面积的一半即×62=18个单位面积.
［生］图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得A，B，C各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积.
［师］把三个图中A，B，C的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？
［生］C的面积=A的面积+B的面积.
(表格略)
［师］很好！但是A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？
［生］在前面您说过这节课我们主要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形.
［师］的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上.
［生］这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的.
［师］那么，(3)的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流.
［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方.根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和.
［师］但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？
2.做一做
出示投影片(§1.1.1 C)
(1)观察图4，图5，

并填写下表：

A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图4

图5

你是怎样得到上面结果的？与同伴交流.
(2)三个正方形A，B，C的面积之间的关系？

(让学生先独立思考，然后填写上面的表格.最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法)
［师生共析］根据图4，图5可填表如下：

A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图4
16
9
25
图5
4
9
13

我们先来观察图4，不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：
第一种方法：将正方形C分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C的面积为4×(×3×4)+1=24+1=25个单位面积.
第二种方法：直接数正方形C中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25个小方格即C的面积为25个单位面积.
第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C的面积就为(49－1)÷2+1=25个单位面积.
图5与图4同理.
我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积.
［师］图4和图5中的三个正方形A，B，C也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？
［生］图4中的正方形A，B，C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.由图5我们也可得出同样的结论.
3.议一议
［师］我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流.
［生］在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方.
［师］这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下.例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？
［生］1.作一个直角∠MCN；
2.以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；
3.连结AB.
用刻度尺量出斜边AB的长度(强调注意测量的误差)为13厘米.经检验斜边AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即两直角边的平方和等于斜边的平方.
［师］很好.同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系.
［师生共析］通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
4.读一读(课本P5)
古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载.我国是最早发现勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角.如果勾(即直角三角形中较短的直角边)等于3，股(即直角三角形中较长的直角边)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜边)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式.因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”.在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理.相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜.但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示.
关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。
所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智.
5.想一想
［师］小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
［生］我听爸爸说过，29英寸或74厘米的电视机，是指荧屏对角线的长度，而不是其长或宽.
［生］可是，连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形.根据勾股定理，长2+宽2=742，可582+462≠742，这是为什么呢？
［生］因为荧屏边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差.
［师］的确如此，但这里我们要知道一个生活常识，29英寸(74厘米)指的是荧屏的对角线的长度，而非荧屏的长或宽.
6.例题讲解
［例］在△ABC中，∠C=90°
(1)若a=8，b=6，则c=_________；
(2)若 c=20，b=12，则a=_________；
(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________.
［师生共析］
分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.
解：根据题意可得a2+b2=c2.
(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10；
(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a＞0，所以a=16；
(3)若a∶b=3∶4，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8.
评注：综合上述解法可以发现，形(即△ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.
Ⅲ.课时小结
先由学生自己总结，然后师生共同完成.这节课我们主要研究：
1.从特例猜想出勾股定理；
2.用特例检验了勾股定理；
3.简单了解了勾股定理的历史，应用.
Ⅳ.课后作业
1.课本P6，习题6.1.
2.到网上或图书室查阅关于勾股定理的资料.
Ⅴ.活动与探究
有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？
过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC′.
结果：由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′， △AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.

故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.
●板书设计
探索勾股定理(一)
特例(做一做)勾股定理特例(议一议)
(直角三角形两直角
边分别为a，b，斜边
为c，则a2+b2=c2)