新人教版八年级数学因式分解.doc

因式分解
教学过程
一、复习(提问)
1．什么是因式分解？它与乘法有何关系？
2．什么叫做公因式？怎样的方法叫做提公因式法？
3．把－42x3y2z+84x2y2z2－14x2yz分解因式．
4．用提公因式法分解因式要注意哪些问题？
二、新课
我们学习了公因式是单项式的提公因式法因式分解，如2am－3m=m(2a－3)，如果公因式是个多项式，比如m=b+c，即形如2a(b+c)－3(b+c)的多项式，那么对这样的多项式能否用提公因式法分解因式呢？今天我们就来研究这个问题(板书课题)
例1 把2a(b+c)－3(b+c)分解因式．

分析：我们把这个多项式看作是由两大项：2a(b+c)和－3(b+c)组成，这两项都含有因式(b+c)，如果设b+c=m，代入原多项式，则问题就化为找2am与－3m的公因式了．
解：2a(b+c)－3(b+c)
=(b+c)(2a－3)
提问：下列各多项式的公因式分别是什么？
(1)a(x+y)+b(x+y)；
(2)x(a+3)－y(a+3)；
(3)6m(p－3)+5m(p－3)；
(4)7q(p－q)－2p(p－q)；
(5)x(a+b)－y(a+b)+z(a+b)；
(6)p(a2+b2)+q(a2+b2)－r(a2+b2)；
(7)2a(x+y－z)－3b(x+y－z)－5c(x+y－z)
参考答案
(1)x+y；(2)a+3；(3)p－3；(4)p－q；(5)a+b；(6)a2+b2；(7)x+y－z
例2 把6(x－2)+x(2－x)分解因式．
先指出上式两大项中没有明显的公因式(无法直接提公因式)，然后引导学生发现：2－x与x－2只差符号不同，即2－x=－(x－2)，原多项式可变形为6(x－2)－x(x－2)，两大项含公因式x－2，可以用提公因式法分解因式．
解：原式=6(x－2)－x(x－2)
=(x－2)(6－x)
课堂练习：把10m(a+b)－5n(b+a)分解因式．
参考答案
5(a+b)(2m－n)
指出，有时原多项式中各大项无明显的公因式，但某些因式经改变符号或交换因式中某些项的位置后成为公因式(这种公因式可称为隐含公因式)，应注意观察发现．
课堂练习：
1．在下列各式中等号右边的括号前填入正号或负号，使左边与右边相等：
(1)y－x= (x－y)；(2)b－a= (a－b)；
(3)d+c= (c+d)；(4)－z－y= (y+z)
(5)(b－a)2= (a－b)2；
(6)－x2+y2= (x2－y2)；
(7)(x－y)3= (y－x)3；
(8)(1－x)(x－2)= (x－1)(x－2)
2．把下列各式分解因式．
(1)a(x+y)+b(x+y)；
(2)m(m－n)2－n(n－m)2．
参考答案
1．(1)－；(2)－；(3)＋；(4)－；
(5)＋；(6)－；(7)－；(8)－．
2．(1)(x+y)(a＋b)；
(2)(m－n)3．
例3 把18b(a－b)2－12(a－b)3分解因式．引导学生发现：多项式中的两大项都含有(a－b)的幂，第一项中它的幂是2次的，第二项中它的幂是3次的．次数较低的幂(a－b)2应作为公因式(这也是一种隐含公因式)提出来；两大项系数的最大公约数6也应提出来；所以公因式是6(a－b)2
解：原式=6(a－b)2·3b－6(a－b)2·2(a－b)
=6(a－b)2[3b－2(a－b)]
=6(a－b)2(3b－2a+2b)
=6(a－b)2(5b－2a)
指出，提取公因式后，另一个因式[3b－2(a－b)]要进行化简，化简过程应注意去括号时符号的变化．
课堂练习：
1．把6(p+q)2－2(p+q)分解因式；
2．把2(x－y)2－x(x－y)分解因式；
3．把2x(x+y)2－(x+y)3分解因式；
参考答案
1．2(p+q)(3p+3q－1)
2．(x－y)(x－2y)
3．(x+y)2(x－y)
如果把例3的多项式改为18b(a－b)2－12(b－a)3，则应怎样分解因式呢？
教师提问：(1)以上多项式与例3多项式有何差别？(2)能否直接提公因式(a－b)2呢？(3)什么情况下才能提公因式？(4)能否把多项式变形，使两大项都含因式(a－b)2应怎样变形？(因为(b－a)3=[－(a－b)]3=－(a－b)3，所以18b(a－b)2－12(b－a)3=18b(a－b)2+12(a－b)3)(分析后不解答)．
例4 把5(x－y)3+10(y－x)2分解因式．
引导学生分析：因为(y－x)2=(x－y)2或(x－y)3=－(y－x)3，所以上式中的两大项有公因式5(x－y)2或－5(y－x)2.
解：原式=5(x－y)3+10(x－y)2
=5(x－y)2[(x－y)+2]
=5(x－y)2(x－y+2)；
或原式=－5(y－x)3+10(y－x)2
=－5(y－x)2[(y－x)－2]
=－5(y－x)2(y－x－2)．
指出，当公因式是隐含的时候，要先把多项式变形，再提公因式．一个多项式作不同的变形，可能得到不同的公因式，但它们仅仅是符号的差别而已．
指出变形过程的规律：
当n为偶数时，(y－x)n=(x－y)n；
当n为奇数时， (y－x)n=－(x－y)n．
课堂练习：
1．把3(y－x)2+2(x－y)分解因式；
2．把mn(m－n)－m(n－m)2分解因式．
参考答案
1．(x－y)(3x－3y+2)
2．m(m－n)(2n－m)
三、因式分解的应用
先因式分解，再求值：4a2(x+7)－3a2(x+7)，其中a=－5，x=3．
(原式=a2(x+7)(4－3)=a2(x+7)=(－5)2(3+7)=250)
课堂练习：
先因式分解，再求值：5x(m－2)－4x(m－2)，其中x=0.4，m=5.5．
参考答案
x(m－2)，1，40；
四、小结
提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变．
五、布置作业
1．阅读课文
2．把下列各式分解因式：
(1)6p(p+q)－4p(p+q)；
(2)(m+n)(p+q)－(m+n)(p－q)；
(3)(2a+b)(2a－3b)－3a(2a+b)
(4)x(x+y)(x－y)－x(x+y)2；
(5)(a+b)(a－b)－(b+a)；
(6)a(x－a)+b(a－x)－c(x－a)；
(7)10a(x－y)2－5b(y－x)；
(8)3(x－1)3y－(1－x)3z
3．先因式分解，再求值．
(1)x(a－x)(a－y)－y(x－a)(y－a)，
其中a=3，x=2，y=4；
(2)－ab(a－b)2+a(b－a)2－ac(a－b)2，
其中a=3，b=2，c=1．
4．复习学过的乘法公式，预习下一节课文．
参考答案
2．(1)2p(p+q)；(2)2q(m+n)；(3)－(2a+b)(a+3b)；(4)－2xy(x+y)；
(5)(a+b)(a－b－1)；(6)(x－a)(a－b－c)；(7)5(y－x)(2ay－2ax－b)；(8)(x－1)3(3y+z)
3．(1)(x－a)(y－a)(x－y)∶2
(2)－a(a－b)2(b－1+c)∶－6