山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.2.1圆的对称性》教案 北师大版.doc

课 时
第三章第二节第一课时
课 题

课 型
新授课
时 间

节 次
第三节
授 课 人

教学
目标
1、通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性；
2、运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理；
3、拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
重点
垂径定理及其逆定理
难点
垂径定理及其逆定理的证明
教法、学法
互动式探究教学法
课前
准备
多媒体课件、圆规、圆形纸片、三角尺
山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.2.1圆的对称性》教案 北师大版

教学过程：
一、创设情境，引入新课
师：在古代人们将圆一分为二，画成了整齐而又深奥的太极图；在今天，人们又将轮胎方向盘等做成了圆形（同时多媒体出示相应的画面）．圆，究竟有什么样的奥秘，让人们对他如此的着迷，今天就让我们来揭开圆的神秘面纱，看看圆究竟有什么样的性质．同学们，请你想一想，在你们的认识当中，圆有什么样的性质？
生：（看着自己手中的圆形纸片思考）圆有对称性．
师：这也正是我们这节课要来研究的主要内容：板书课题：3.2圆有对称性（1）
师：大家都知道圆是轴对称图形图形，既然它是轴对称图形，那它的对称轴在哪里？
生：过圆心的一条直线．
师：它有几条对称轴？
生：无数条．
师：我们就把圆的这一性质称为“圆的轴对称性”．
课件出示：
圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴．
学生阅读识记．
设计意图：带领学生做好学习新课的知识准备，并逐步引入新课．在引入新课的同时，运用教具和学具（师生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿着直径对折，观察两部分重合．通过实验，相会交流，鼓励学生表达自己的想法．
二、探究新知
（一）知识准备——圆的有关概念
师：下面我们要用圆的对称性解决一些问题，首先我们先学习几个与圆有关的几个概念．
课件出示并讲解：
圆的相关概念
1．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
如图，以A，B两点为端点的弧，记作，读作“弧AB”．
2．连接圆上任意两点间的线段叫做弦．例如：弦AB．
3．经过圆心的弦叫做直径．例如：直径AC．
师：那么请问大家：直径是弦吗？
生：是．
师：那弦是直径吗？
生：不一定．
师：很好！下面我们来看下面几个概念：
4.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5.小于半圆的弧叫做劣弧，如图记作：（用两个字母表示）．
6.大于半圆的弧叫做优弧，如图记作：（用三个字母表示）．
通过刚才的学习，我们了解了圆的轴对称性以及与圆有关的一些概念，下面我们就利用这些知识来进行第一个探究．
设计意图：用直接教学法，是学生认识圆的有关概念，为下面的学习做好准备．
（二）探究一——垂径定理
师：首先请大家拿出你的圆形纸片，在纸片上按照如下要求作图，并回答这两个问题．
如图，AB是⊙O的一条弦．做直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
学生在圆形纸片上进行操作，独立思考．
师：解决完以上问题的同学请举手．
生根据自己完成的情况举手示意老师．
师：那谁来说一下．
生1：这个图形是轴对称图形，对称轴是CD所在的直线．=，AM=BM．
师：还有没有？
生2：．
师：你是怎样得到这些结论的？
生：我沿着CD对折后，发现点A和B重合，和重合，和重合，于是=，AM=BM，．
师：其他同学还有别的做法吗？有没有同学对此进行了严格的逻辑推理．再给同学们几分钟的时间讨论一下，
生：连接OA，OB，则OA=OB．
在RT△OAM和RT△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM
∴RT△OAM≌RT△OBM
∴AM=BM
∴点A和点B关于CD对称．
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，和重合，和重合
∴=，AM=BM，．
师：推理非常严密，还有没有其他的证明方法．
生：其他的地方都一样，只是我在证明AM=BM时用的是“三线合一”
师：大家明白他的想法吗？行不行．
生：可以．
师：通过以上证明我们得到什么样的结论呢？大家能否用文字语言描述我们探究得到的结论呢？
生：已知有一条直径与弦垂直，则这条直径平分这条弦，也平分弦所对的优弧和劣弧．
师：很好．即“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．”这就是我们这节课要来学习的第一个重要定理——垂径定理．下面我们来分析一下垂径定理的条件和结论．谁来说一下？
生：条件是“一条直径垂直于弦”，结论是“直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”．其中弦所对的弧包括优弧和劣弧．
师：那大家能用符号语言来描述这个定理吗？
生：∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AM=BM，=，．
师用课件出示“垂径定理”的三种语言——图形、文字、符号语言，并且做出提示：“垂径定理”是圆中的一个重要的结论．三种语言要相互转化，才能运用自如．
设计意图：培养学生分组合作的能力，和自我探究思考，动手操作能力，体现由一般到特殊的探究问题的思想，给学生一定的时间去探索讨论，有利于创新意识的培养．
师：现在请同学们来辨析一下：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
课件出示：
（1） （2） （3） （4）
生：（1）可以；（2）可以；（3）不能，因为 CD和AB不垂直；（4）不能，因为CD不是直径．
师：通过这道题目我们要认识到只有同时满足“过圆心”和“垂直于弦”这两个条件，才能得到“平分弦”、“平分弦所对的优弧”和 “平分弦所对的劣弧”这三个结论．
设计意图：通过定理的应用：包含了线段、角相等、垂直等关系，是学生认识到在应用中一定要存在过圆心且垂直一弦的直线（包括线段）．
（三）探究二——垂径定理的逆定理
师：下面我们进行另外一个探究：如果我把垂径定理条件中的“CD⊥AB”和结论中“AM=BM”交换一下位置，那么能过得到什么样的结论呢？如图，AB是⊙O的一条弦，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
生：是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线．
师：很好．你能发现图中有哪些等量关系？
生：∠AMD=∠BMD=90°，=，．
师：能说一说你的理由吗？先给大家两分钟的时间，小组内互相说一说看看都有哪些说理的方法．
生热烈讨论，师巡视倾听，并适时参与讨论．
师：现在谁来说一下．
生：连接OA，OB，则OA=OB．
在△OAM和△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM
∴∠AMD=∠BMD
又∵∠AMD+∠BMD=180°．
∴∠AMD=∠BMD=90°，即CD⊥AB
∵CD是直径，CD⊥AB
∴=，．
师：太棒了．这位同学把我们刚刚学习的垂径定理用的非常恰当．通过刚才的观察我发现同学们当中还有其他的方法，比如用三线合一，或是证明A，B两点关于直线CD对称从而得到结论，我们就不一一的说了．好，现在我们来分析一下：如图，AB是⊙O的一条弦，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M，可以得到的等量关系有∠AMD=∠BMD=90°，=，．这个结论一定成立吗？请思考一下：如果AB也是直径，上述结论是否成立？
学生思考，小组讨论，达成共识．
师：那位同学说一说你们小组的看法？
生：不一定．两条直径一定互相平分，但却不一定垂直．
师：是的．如图所示，大家一看就能明白．
现在请同学们用语言来描述一下我们得到的第二个结论．
生：如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧．
师：简洁的说就是：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．这就是我们这节课要来学习的第二个重要内容——垂径定理的逆定理．同样的我们也要看看这个定理的符号语言应该怎样写：
∵ CD是直径，AB是弦（不是直径），AM=BM
∴CD⊥AB ，=，．
设计意图：通过学生的独立探索，相互交流得出结论，认识并证明垂径定理的逆定理，并在这一过程中再次体会研究图形的多种方法．
师：现在请同学们对比一下垂径定理及其逆定理，看看你有什么发现．
生思考，时间允许的情况下，同位之间、小组之内交流一下．
生：二者都包含五个条件：①CD是直径②CD⊥AB③AM=BM④=⑤．
师：是的，实际上在数学中，对于这五个条件我们认识到其中的两个条件成立，那么其他的三个结论都成立．大家可以试着说一说，还有没有其他情况．
生：由②③得到①④⑤．
师：是的．我们以后可以用这种方法来确定某段弧所在圆的圆心的位置．例如已知一条弧，我们任作它的两条弦，并且作出它们的垂直平分线，那么这两条直线的交点就是圆心所在位置．（师边说边做图．）
设计意图：理解并掌握垂径定理及其逆定理，充分感受此定理在几何学习中的意义及价值．使学生在知识及能力方面达到新课程标准的要求并得以升华．
三、实际应用
师：下面我们就用垂径定理及其逆定理来解决一些实际问题．
（一）例题解析
课件出示：
例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
学生独立思考的基础上，师生共同分析，最后课件展示完整的做法：
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．
∵ OE⊥CD
∴CF=CD=×600=300(m).
根据勾股定理，得

即 .
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m．
师：本题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法去解决几何问题．这是我们在解决几何问题时常用到的方法．：同学们还要认识到，连接半径是解决圆的有关题目的常用辅助线．通过连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，可以求半径、弦、弦心距、弓形的高中的任意一个未知量．
（二）巩固练习
课件出示题目，安排学生完成题目后，提问学生回答，特别是说明理由．
1、判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
（5）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两弦互相平行． （ ）
2、1300年前，我国隋朝建造的赵州桥是圆弧形，它的跨度（及弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）．
3、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
设计思路：理论与实践相结合，让学生充分感受所学知识的实用价值，学以致用的同时提升对所学知识的理解程度．
四、课堂小结
师：大家来回顾一下，这节课我们都学习了哪些内容呢？
生1：圆是轴对称图形图形，它的对称轴是过圆心的一条直线．
生2：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
生3：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．
生4：我们可以用代数方法解决结合问题．
师：同学们还要认识到，连接半径是解决圆的有关题目的常用辅助线．通过连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，可以求半径、弦、弦心距、弓形的高中的任意一个未知量．
设计思路：及时梳理所学内容，对学生来说是一个反思过程，能较好地反应思维的本质，提升思维的能力．
五、检测题
1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC＝BD
2、已知AB，CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离．
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：

（1） （2） （3）
4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．
5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE＝BF．

（4） （5）
设计思路：这练习的过程中是学生感受到在圆中解决有关弦的问题时，常要作一条辅助线，它是圆心到弦的垂线段．
六、布置作业
课本101页，第1、3题．
七、板书设计
§3.2圆的对称性（一）
一、圆的轴对称性
圆是轴对称图形图形，它的对称轴是过圆心的一条直线．
二、圆的有关概念
优弧
弧 劣弧
半圆
弦
直径
三、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
四、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．
五、例题

八、教学反思
收获：
1. 本教学设计侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理．对培养学生的动手能力，直觉思维、逻辑思维有较大的帮助．
2. 较好体现了学为主体，教为主导的教学策略，师生在该节课的教与学互动性会得到充分的展示，学生也会得到充分的发挥机会；另外通过创新探索的内容，会使学生进一步体会数学在生活中的应用，培养学生探索精神
问题：本教学设计在实施过程中，时间会较为紧迫，因此，相应的练习并没有完全处理完，这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练，同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法，并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理．
改进：将课堂上没有处理完的题目布置为课堂作业，做到面批面改，针对学生出现的问题进行个别指导。