八年级数学上册 第三章证明（一）复习教案 鲁教版.doc

第三章 证明（一）复习教案
教学目标
（一）教学知识点
1．证明的必要性，了解证明的书写格式．
2．了解定义、命题、公理和定理的含义．
3．平行线的性质定理和判定定理．
4．三角形的内角和定理及推论．
（二）能力训练要求
1．理解证明的含义．
2．通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论．
3．掌握用综合法证明的格式．体会证明的过程要步步有依据．
4．通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用．
5．通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用．
（三）情感与价值观要求
通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念．
教学重点
1．平行线的性质定理和判定定理的应用．
2．三角形内角和定理及其推论的应用．
3．证明的步骤及书写格式．
教学难点
证明过程的书写．
教学方法
自学，小组讨论法．
教具准备
投影片三张
第一张：问题（记作投影片“回顾与思考” A）
第二张：平行线的判定与性质的关系图（记作投影片“回顾与思考” B）
第三张：知识结构图（记作投影片“回顾与思考” C）
教学过程
Ⅰ．巧设问题情境，引入课题
［师］前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？如何证明呢？今天我们就来对此进行回顾与思考．
Ⅱ．回顾与思考
［师］同学们先独立思考下列问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回顾本章的内容．（出示投影片“回顾与思考” A）
1．直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？
2．请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理．
3．什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么关系？你会证明它们吗？
4．三角形内角和定理怎样证明？三角形的外角与内角有什么关系？
5．请你用自己的语言说一说证明的基本步骤．
（学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决）
［生甲］如：两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低．

图3－69
又如图3－69：
直观看，图3－69（1）长，图3－69（2）短，实际上是一样长的．
……
（学生举出了许多生活中的实例，说明直观有时也会发生错误）
［生乙］定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定．
命题呢，就是判断一件事情的句子．
公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题．即公认的真命题．
定理是经过推理的过程得到的真命题．
［生丙］在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行．
如果两条直线平行时，则同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的．
这两类命题的条件和结论正好相反．
［生丁］两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件．
［生戊］公理也是．
［师］同学们讨论得很好，这两类命题的关系如下图（出示投影片“回顾与思考” B）

［师］你们会证明它们吗？
［生］会．主要利用平行线的性质公理证明其性质．利用平行线的判定公理证明判定定理．
［师］很好．接下来看问题4、5．
［生甲］证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角．一般需要作辅助线．既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角．
［生乙］三角形的外角与它相邻的内角是互为补角．
与它不相邻的内角关系是：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
［生丙］证明一个命题是真命题的基本步骤是：
（1）根据题意，画出图形．
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
［生丁］在证明时需注意：
（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来．
（2）证明中的每一步推理都要有根据．
［师］同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题．现在来梳理一下本章的知识结构图．（出示投影片“回顾与思考” C）

［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容．
Ⅲ．课堂练习

图3－70
1．将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短．而是如图3－70的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？
答案：能．
证明：∵四边形ABCD是正方形（已知）
∴∠DAB=90°（正方形的性质）
∵∠DAE=30°（已知）
∴∠EAB=60°（等式性质）
∵∠AEF=120°（已知）
∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

图3－71
2．已知，如图3－71，直线a,b被直线c所截，a∥b．
求证：∠1+∠2=180°
证明：∵a∥b（已知）
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠3=∠2（对顶角相等）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）

图3－72
3．已知，如图3－72，∠1+∠2=180°,
求证：∠3=∠4．
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代换）
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
4．回答下列问题
（1）三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？
（2）一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？
（3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？最小角不会大于多少度？
答案：（1）是 不一定 （2）一个 一个
（3）如果一个三角形的最大角小于60°，则这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°．
最小角不会大于60°．

图3－73
5．“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”，这是数学史上三个著名问题之一．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的．在探索这一问题的过程中，有人曾利用过如图3－73所示的图形．
其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=PA．如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少？
解：∵AC⊥BD（已知）
∴∠APB=90°（垂直的定义）
∵∠A+∠APB+∠ABP=180°（三角形的内角和定理）
∠A=α
∴∠ABP=90°－α（等式的性质）
∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）
∴∠ABC+∠BCD=180°（等式的性质）
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=α（已知）
∴∠PCD=α（等量代换）

图3－74
6．已知，如图3－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE．
证明：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠EGH是△FBG的一个外角（已知）
∴∠EGH>∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠EGH>∠ADE（等量代换）
7．已知，如图3－75，直线AB∥ED．
求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．

（1） （2）
图3－75
本题有多种证法．
证法一：（如图3－75（1））过点C作CF∥AB．
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥ED（已知）
∴ED∥CF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）
即：∠BCD=∠ABC+∠CDE
证法二：（如图3－75（2）），延长BC交DE于F点
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCD是△CDF的一个外角（已知）
∴∠BCD=∠CFD+∠CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）
Ⅳ．课时小结
本节课我们复习了第六章“证明（一）”的主要内容．大家要掌握证明的基本步骤，要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来．还要会应用平行线的性质，判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P96复习题
（二）写一份小结，总结自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方．
Ⅵ．活动与探究

图3－76
1．已知，如图3－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数．
你能把它一般化吗？你会证明如下结论吗？
AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD．
求证：∠M=（∠B+∠D）
［过程］让学生在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程．培养他们分析、综合、归纳的能力．
［结果］解：∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD．
∴∠BAM=∠BAD，∠MCB=∠BCD．
∵∠B+∠BAD+∠AFB=180°
∠D+∠BCD+∠DFC=180°
∠AFB=∠DFC
∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD
∴∠DAB－∠BCD=∠D－∠B
∵∠BEM=∠M+∠BCM，
∠BEM=∠B+∠BAM
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM
∴∠M=∠B+∠BAM－∠BCM
=∠B+（∠DAB－∠BCD）
=∠B+（∠D－∠B）
=（∠B+∠D）
∵∠B=32° ∠D=38°
∴∠M=（32°+38°）=35°
板书设计
回顾与思考
一、问题串
二、知识结构图

三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业