九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

21.2 解一元二次方程
配方法（1）
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加32使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2= -8
可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．
解：略
三、巩固练习
教材 探究，并说明理由．
教材 练习．
四、应用拓展
例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
五、归纳小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
六、布置作业
教材复习巩固2． 3.(1)(2)

配方法(2)
教学内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
教学目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：讲清配方法的解题步骤．
2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：略. (2)与(1)有何关联?
二、探索新知
讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
例1．解下列方程
（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：略
三、巩固练习
教材练习题

四、归纳小结
本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
六、布置作业
1.教材 复习巩固3．（3）（4）
补充：（1）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则求x+y+z的值
（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数

公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7
提问1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。）
2.面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）
（学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x
（老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵4a2>0，4a2＞0, 当b2-4ac≥0时≥0
∴（x+）2=()2
直接开平方，得：x+=± 即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补:（5）（x-2）（3x-5）=0
三、巩固练习
教材 练习1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6)

四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
教材 复习巩固5．
判别一元二次方程根的情况
教学内容
用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．
教学目标
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．

重难点关键
1．重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
2．难点与关键
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根.
二、探索新知
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0

3x2-2x+1=0

4x2+x+1=0

请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
三、巩固练习
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+23=0 （2）x2-x-=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x
四、应用拓展
例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
五、归纳小结
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

因式分解法
教学内容
用因式分解法解一元二次方程．
教学目标
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：用因式分解法解一元二次方程．
2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．
二、探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+
(4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
解：略 （方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）

练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
三、巩固练习
教材练习1、2．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．
四、应用拓展
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
五、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
六、布置作业
教材P17 复习巩固6 综合运用10．
一元二次方程根与系数的关系

【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发，针对本班学生的特点，本课在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.

教学目标：1、理解根系关系的推导过程；
2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；
3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
教学重点：应用根系关系解决问题；
教学难点：根系关系的推导过程
教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，
教学过程：
一、 前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：
郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？
董：什么秘密？
郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
董：哦？
郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2 – 12x +35 =0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了.
董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x2 -35x -200=0的2根的和呢.
郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.

【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.

二、 求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系
序号
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
（1）
x2 – 5x +6 =0
2
3
5
6
（2）
2x2 – 3x +1 =0

1

（3）
3x2 + x -2 =0

- 1
-
-

【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系.
三、 引导学生独立证明：
x1和x2 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0)
x1+x2 =- , x1x2 = 注意：负号不能漏写
【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式 x1+x2 和x1x2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.

四、 应用
第一组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积
（1） x2 – 3x +1 =0
（2） 3x2 – 2x - 2=0
（3） 2x2 –3x =0
（4） 3x2 =1
【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.

例2：已知：
x1和x2 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代数式的值
（1） +
（2）x12 + x22
（3）（x1 - x2）2
学生练习：（1） +
（2）（x1+1）（x2+1）

【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 .
五、 本课小结：
课后作业：