九年级数学上册 24.3相似三角形的性质教案 沪科版.doc

24.3相似三角形的性质
●学习指导
1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.
［例1］如图1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′.求证：∠DAE＝∠D′A′E′.
分析：欲证∠DAE＝∠D′A′E′，只需证Rt△ADE∽Rt△A′D′E′即可.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，BD＝CD，B′D′＝C′D′， AE⊥BC，A′E′⊥B′C′.

图1
∴ (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比).
∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′.
∴∠DAE＝∠D′A′E′.
［例2］已知如图2，△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，
BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长为72.求△A′B′C′各边的长.

图2
解：在Rt△ABC中，AB＝＝10.
∴△ABC的周长＝6＋8＋10＝24.
∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′，
∴.
即∴A′B′＝30， B′C′＝18，C′A′＝24.
说明：由已知条件知△ABC∽△A′B′C′，已知△ABC各边的长，要求△A′B′C′各边的长，只要求出相似比即可.
［例3］如图3，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，且AB＝18，AC＝12，AD＝8，CE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F.
(1)求的值；
(2)求证：CE＝CD.
分析：由题设可知，DF、CE分别为△ACD和△ABC的高，
因此只要证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得.
(1) 解：∵AB＝18，AC＝12，AD＝8，
∴
∴.
∵∠AEC＝∠AFD＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△ACD
∵CE⊥AB，DF⊥AC.∴.
(2)证明：∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴∠BAC＝∠CAD. 图3
∵CE⊥AB，CD⊥AB，∴CE＝CD.
［例4］已知，如图4，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E.求证：BC2=DE(AB+BC+AC)
分析：由OD∥AB，OE∥AC知△ODE∽△ABC，要证结论中有△ABC的周长，从而想到了利用相似三角形的周长比等于相似比证题.
证明：∵OD∥AB
∴∠4=∠ABC，∠1=∠3
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD=OD
同理可证：OE=CE
∵OE∥AC，∴∠5=∠ACB，∴△ODE∽△ABC 图4
∴
即
∴BC2=DE(AB+BC+AC)
说明：相似三角形的性质较多，究竟选择哪个性质，需要根据结论的特征灵活选择.
［例5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
已知：如图5，△ABC∽△A′B′C，′△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
求证：=k2

图5
分析：根据三角形的面积公式“三角形面积等于三角形的一边乘以这边上的高的一半”可先作出BC和B′C′边上的高，再根据相似三角形对应高的比，对应边的比都等于相似比即可证出.
证明：分别过A、A′作BC、B′C′的垂线，垂足分别为D、D′.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴=k(相似三角形对应边的比、对应高的比等于相似比)
∴
说明：此结论在原教材中是定理，现已删去，对此结论在解决填空题和选择题中可直接应用.但在求解题中要写出推导过程.
［例6］如图6，正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CD延长线上一点，且∠FEC=∠FCE，EF交AD于F.
求证：S△AEP=4S△PDF.
分析：△AEP∽△PDF易证，要证出S△AEP=4S△PDF，关键证其相似比为2∶1. 图6
证明：过F作FG⊥CE与G，则CG=CE
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，AB=BC=CD，∠B=90° 
∴∠BEC=∠FCE，∠B=∠FGC=90°
∴△BCE∽△GFC∴
设AE=BE=x，则BC=CD=AB=2x
CE=
∴
∴DF=∵AB∥CD，∴△AEP∽△DFP，∴
∴=4，∴S△AEP=4S△DFP
说明：有等腰三角形时，常作底边上的高构造三线合一的基本图形，另外该题还可延长AB至N，使BN=BE，边结CN，再证△CEN∽△FEC，请读者自己完成.
2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下.
［例7］如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AC＝12　cm，BC＝5　cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.
分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，那么顶点落在边上时有如图8、9两种情况.

图7 图 8 图9
解：如图8，设正方形EFGH的边长为xcm，过C作CD⊥AB于D，交EH于点M.
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝.
∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝.
∵EH∥AB，∴△CEH∽△CAB.∴.
即 (cm).
如图9，设正方形CFGH的边长为ycm.
∵GH∥AC，∴ (cm).
∵x＜y，∴应按图9裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为cm.