统计与概率练习题.doc

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第10章 第1节
一、选择题
1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
[答案]　B
[解析]　①因为抽取销售点与地区有关，因此要采用分层抽样法；②从20个特大型销售点中抽取7个调查，总体和样本都比较少，适合采用简单随机抽样法．
2．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是(　　)
A．13 B．19
C．20 D．51
[答案]　C
[解析]　由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，从而可知选C.
3．(2010·山东潍坊)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(　　)
A．800 B．1000
C．1200 D．1500
[答案]　C
[解析]　因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，
∴＝b，∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．
4．(2010·曲阜一中)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为(　　)

A．10 B．15
C．25 D．30
[答案]　B
[解析]　根据频率分布直方图得总人数
n＝＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为50×＝15.
5．在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则二等品中A被抽取到的概率(　　)
A．等于 B．等于
C．等于 D．不确定
[答案]　A
[解析]　每一个个体被抽到的概率相等，等于＝.
6．(2010·四川文，4)一个单位职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
[答案]　D
[解析]　从各层中依次抽取的人数分别是40×＝8,40×＝16,40×＝10,40×＝6.
7．(文)(2010·江西抚州一中)做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是(　　)
A．30份 B．35份
C．40份 D．65份
[答案]　C
[解析]　由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20－d,20,20＋d,20＋2d，则(20－d)＋20＋(20＋d)＋(20＋2d)＝100，∴d＝10，∴D单位回收问卷20＋2d＝40份．
(理)(2010·广西南宁一中模考)从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法种数为(　　)
A．C84C42 B．C83C43
C．2C86 D．A84A42
[答案]　A
[解析]抽样比＝，∴女生抽8×＝4名，男生抽4×＝2名，∴抽取方法共有C84C42种．
8．(2010·湖北理，6)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
[答案]　B
[解析]　根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为＝12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．
9．(2010·茂名市调研)某学校在校学生2000人，为了迎接“2010年广州亚运会”，学校举行了“迎亚会”跑步和爬山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：

第一级
第二级
第三级
跑步
a
b
c
爬山
x
y
z
其中abc＝253，全校参与爬山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三级参与跑步的学生中应抽取
(　　)
A．15人 B．30人
C．40人 D．45人
[答案]　D
[解析]　由题意，全校参与爬山人数为x＋y＋z＝2000×＝500人，故参与跑步人数为a＋b＋c＝2000－500＝1500人，又abc＝253，∴a＝300，b＝750，c＝450，∴高三级参与跑步的学生应抽取450×＝45人．
10．(2010·山东日照模考)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是(　　)
产品类别
A
B
C
产品数量(件)

1300

样本容量(件)

130

A.900件 B．800件
C．90件 D．80件
[答案]　B
[解析]　设A，C产品数量分别为x件、y件，则由题意可得：
，
∴，∴，故选B.
二、填空题
11．(文)(2010·瑞安中学)某校有学生1485人，教师132人，职工33人．为有效防控甲型H1N1流感，拟采用分层抽样的方法，从以上人员中抽取50人进行相关检测，则在学生中应抽取________人．
[答案]　45
[解析]　设在学生中抽取x人，则
＝，∴x＝45.
(理)(2010·山东潍坊质检)一个总体分为A，B两层，其个体数之比为41，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是________．
[答案]　40
[解析]　设x、y分别表示A，B两层的个体数，由题设易知B层中应抽取的个体数为2，
∴＝，即＝，解得y＝8或y＝－7(舍去)，∵xy＝41，∴x＝32，x＋y＝40.
12．一个总体中的80个个体编号为0,1,2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0,1，…，7，要用下述抽样方法抽取一个容量为8的样本：即在第0组先随机抽取一个号码i，则第k组抽取的号码为10k＋j，其中j＝，若先在0组抽取的号码为6，则所抽到的8个号码依次为__________________．
[答案]　6,17,28,39,40,51,62,73
[解析]　因为i＝6，∴第1组抽取号码为10×1＋(6＋1)＝17，第2组抽取号码为10×2＋(6＋2)＝28，第3组抽取号码为10×3＋(6＋3)＝39，第4组抽取号码为10×4＋(6＋4－10)＝40，第5组抽取号码为10×5＋(6＋5－10)＝51，第6组抽取号码为10×6＋(6＋6－10)＝62，第7组抽取号码为10×7＋(6＋7－10)＝73.
13．(2010·安徽文)某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从普遍家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是____________．
[答案]　5.7%
[解析]　拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例普通家庭为，而高收入家庭为.
∴该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为＝＝5.7%.
14．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

男
女
能
178
278
不能
23
21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多______人．
[答案]　60
[解析]　由表可知所求人数为
(23－21)×＝60(人)．
三、解答题
15．(2010·山东滨州)某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：

高一
高二
高三
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
(2)已知y≥245，z≥245，求高三年级女生比男生多的概率．
[解析]　(1)∵＝0.19，∴x＝380.
∴高三年级学生人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为×500＝12(人)．
(2)设“高三年级女生比男生多”为事件A，高三年级女生、男生数记为(y，z)．
由(1)知，y＋z＝500，且y，z∈N*，又已知y≥245，z≥245，所有基本事件为：
(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)．共11个．
事件A包含的基本事件有
(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)．共5个．
∴P(A)＝.
答：高三年级女生比男生多的概率为.
16．(文)(2010·泰安模拟)某校举行了“环保知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)，进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
(1)求a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；
(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.
组号
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
5
0.05
第2组
[60,70)
b
0.35
第3组
[70,80]
30
c
第4组
[80,90]
20
0.20
第5组
[90,100)
10
0.10
合计
a
1.00
[解析]　(1)a＝100，b＝35，c＝0.30
由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：
p＝0.30＋0.20＋0.10＝0.60.
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：×6＝3人，
第4组：×6＝2人，
第5组：×6＝1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能抽法如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，
其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学是负责人的概率为＝.
(理)(2010·厦门三中阶段训练)某学校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160,165)，第2组[165,170)，第3组[170,175)，第4组[175,180)，第5组[180,185)，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求第3、4、5组的频率；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
(3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？
[解析]　(1)由题设可知，第3组的频率为0.06×5＝0.3，
第4组的频率为0.04×5＝0.2，
第5组的频率为0.02×5＝0.1.
(2)第3组的人数为0.3×100＝30，
第4组的人数为0.2×100＝20，
第5组的人数为0.1×100＝10.
因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第3组：×6＝3，
第4组：×6＝2，
第5组：×6＝1，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共15种可能．
其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共9种可能，
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为P＝＝.
17．(文)(2010·山东邹平一中模考)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．
[解析]　(1)由题意，第5组抽出的号码为22.
因为2＋5×(5－1)＝22，
所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为
2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)因为10名职工的平均体重为
＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)
＝71
所以样本方差为：
s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)
＝52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
故所求概率为P(A)＝＝.
(理)(2010·沈阳市)从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190.195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)根据已知条件填写下列表格：
组别
一
二
三
四
五
六
七
八
样本数

(2)试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少；
(3)在样本中，若第二组有1名男生，其余为女生，第七组有1名女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰有一男一女的概率是多少？
[解析]　(1)由频率分布直方图得第七组频率为：1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，
∴第七组的人数为0.06×50＝3.
由各组频率可得以下数据：
组别
一
二
三
四
五
六
七
八
样本数
2
4
10
10
15
4
3
2
(2)由频率分布直方图得后三组频率和为0.08＋0.06＋0.04＝0.18，
估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144.
(3)第二组中四人可记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组中三人可记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：

a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件有12个．
实验小组中恰有一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a，共7个，
因此实验小组中恰有一男一女的概率是.

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