八年级数学 第四章 四边形性质探索综合解说-北师大版.doc

八年级数学 第四章 四边形性质探索综合解说
学习目标
1. 经历特殊四边形性质的探索过程，丰富从事数学活动的体验，进一步培养推理能力，增强简单逻辑推理意识，掌握说理的基本方法。
2. 掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系。
3. 探索并掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法。，
4. 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解多边形的概念。
5. 通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这三种图形进行简单的密铺设计。
学法建议
四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在前面，“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和进行简单推理，将为同学们空间与图形后继内容的学习打下基础，作为第三学段“四边形”的主要内容，本章主要从多种角度引导同学们探索四边形的性质，重点研究平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等四边形的有关性质和常用判别方法，并进行简单推理，而对于严密的论证问题，将放置到今后几册再研究。
在已经掌握平行线和相交线的有关几何事实以及初步的观察、操作等活动经验的基础上，本章按照“先特殊多边形（四边形），再一般的多边形的密铺”的设计思路，利用各种手段（包括直观操作，图形的平移、旋转和轴对称，以及简单的说理和初步的推理），比较系统的研究特殊四这形的基础性质和常用判别方法；探究多边形的内角、外角和，研究平面图形的密铺；同时，结合具体内容进一步学习简单推理。
具体地，本章首先能过拼图引入平行四边形，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判别方法；然后，借助直观或现实的情境分别探索并研究菱形、矩形、正方形、梯形等特点四边形的有关性质和常用判别方法；最后，通过“多边形广场”等实情境，比较自然引导同学们进行多边形内角和、外角和的探索活动，并在平面图形的密铺中进一步强化同学们对多边形内角和及其有关几何事实的认识。
在呈现具体内容时，教科书力图为同学们提供生动有趣的现实情境，并安排了观察、操作、交流等活动，旨在进一步深化同学们对四边形性质的理解，以及对视图、画图等操作技能的掌握，丰富同学们的数学活动经验和体验，并在学习中有意识的培养学生积极的情感、态度，促进良好数学观的养成。
呈现形式上，教材力求突出图形性质过程，让同学们通过图形变化和简单推理等自主探索出图形的有关性质，再现图形性质丰富多彩的探索过程，进一步发展同学们的合情推理能力，而不是简单的“告诉”，此外，本章注重推理形式多样化，既有“—”式的推理，也有结合语言文学、图形标示的推理，在直观的基础上进一步学习说理和初步的推理，体现直观与简单推理的融合，既希望同学们进一步体会推理的含义（尤其是逐步养成步步有据的推理意识），也希望同学们通过四边形性质的探索过程逐步掌握推理最基本的方式方法。
1.四边形的性质
教材分析
1、 学习目标与要求
D.DC
A
B 图4-1-1 C
（1） 掌握平行四边形的定义及有关概念。
（2） 探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质。
（3） 掌握平行线间的距离处处相等的结论，并能地行简单的应用。
2、 新知识点全解
（1） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，

如图4-1-1，表示为 ABCD。平行四边形不相邻的两个顶
B
A
C
D
点的连线段叫做它的对角线。线段 AC就是 ABCD的一条对角线。
注：平行四边形的表示方法一定要按顺序来写，习惯上按逆时针写出。
（2）平行四边形的性质：平行；四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分，如图4-1-2用几何语言表示为，
四边形ABCD是平行四边形
AB=CD，AD=CB；
或

或OA=
图4-1-2
（3）平行线间的距离：若两条直线互相平行，则其中
A
B
一条直线上任意两点到另一条直线上的距离相等，
这个距离称为平行线之间的距离。
平行线间的距离处处相等。如图4-1-3。

D
C
注：①可以在一条平行线上选取一点做
另一条平行线的垂线段，垂线段的长度
叫做两平行线间的距离也随之确定下来， 图4-1-3。
它不随垂线的位置的改变而改变，是一
个定值。

3.课内问题探究
P84
A
D
B
C
图4-1-4
（1） 拼出平行四边形，交流略。
（2） 平行且相等，理由略。
P84 做一做
能重合；四边形ABCD相对的边相等，相对的角相等。
P85 议一议
如果已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他三个内角的度数。
例如：如图4—1—4，已知平行四边形ABCD中，=600,因为
AB∥CD,所以+=1800，所以A=1200,同理，因为AD∥BC,所以+1800 ，所以=1200, +1800,所以600。
P86 做一做
1．共4对三角形全等，它们分别是
OA=OC,OB=OD,AD=CD,DA=BC.
2.可采用度量、折纸、旋转等方法进行验证。
P87 想一想
一样长。
P87 议一议
略。
典型例题讲解
例1、 ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD相交于O，且的周长比的周长大5cm，则AB= cm。
[点拨]依题意可画出草图以帮助分析，寻得解题思路
A
B
C
D
O
图4-1-5
解：由题意画出草图如图4-1-5所以，由题意可得
（OA+OB+AB）—（OB+OC+BC）=5
又
故有AB-BC-5
设AB=xcm，则BC =（x-5）cm
又AB=CD，AD=BC，
且AB+BC+CD+DA=30
即，2（AB+BC）=30
2（x+x-5）=30
解得x=10cm
答案：10
本例主要应用了平行四边形ABCD的对边AB=CD，AD=BC以及对角线互相平分（OA=OC）的性质，同时结合题设条件建立方程（或方程组）便可顺利求解，其中依题意画出大致图形是解决几何证明（或计算）的重要思想方法，应注意领会。
例1跟踪练习
已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,它的周长为10cm,的长比的周长多2cm,则AB=_________cm.
例2、如图4-1-6，四边形ABCD是平行四边形，且BD，AC=26，求BD、AD、BC、及DC的长。
解：平行四边形对角线互相平分，于是
OA= AC，AD=13

2
2
在Rt中，
图4-1-6
OB== ==5
所以BD=2OB=10
2
2
2
2
在Rt中，
AD====2
由于平行四边形对边相等，于是得
DC=AB=12，BC=AD=2
例2跟踪练习。
AC、BD为平行四边形ABCD的两条对角线，且AC、BD相交于
点O，若OA=10,OB=6,AB=8,求AD和BC的长。
例3、如图4-1-7所示， ABCD的对角线AC、BD相交于O
(1)线段AB经过怎样平移才能得到线段CD？线段BC能能过平移得到线AD吗？
(2)经过怎样的运动可以得到？
D
A
解：（1）线段AB向右平移BC的长可得到线段CD，线段BC
O
向右上平移AB的长可得到线段AD；
C
B
图4-1-7
（2）经绕点O旋转1800可得到。
识别几何图形的变化是分析和解决几何问题的关键。
例3跟踪练习。
如图4-1-8，AC为平行四边形ABCD的对角线，按什么
方向平移时，才能得到？这是四边形ACED是怎样
的四边形，为什么？

例4、如图4-1-9，平行四边形ABCD中，EF//AB，GH//AD，
EF与GH相交于点O
（1） 图中有哪些相等的线段？
G
H
O
（2） 图中有多少个平行四边形（平行四边形ABCD除外）？
解（1）由平行四边形行，知AB//CD，AB//BC。
又EF//AB，GH//AD
A
B
C
F
D
E
所以AB//EF//DC，AD//GH//BC。
因此AE=OH=BF，ED=OG=FC，AD=HG=DC。
AH=EO=DG，HB=OF=GC，AB=EF=DC。
图4-1-9

（2）平行四边形有： AHOE， HBFO， EOGD， OFCG， ABFE， ABFE， EFCD， AHGD， HBCD共8个。
例4跟踪练习。
如图4-1-10：平行四边形ABCD中，EF//AD，GH//CD，
GH//MN, GH, MN交EF于O,Q,T图中共有多少个平
行四边形？

例5、如图4-1-11，所示， ABCD的对角线相交于点O，
直线EF经过点O与AB，CD相交于E、F，AM
于M，CN于N，则AM与CN是否相等？请说明
理由。
[点拨]经观察可知AM与CN是相等的，事实上，由
OA=OC，AM于M，于N，即
900，以及可知可知，CX
N
故AM=CN。
解：AM与CN相等，理由如下：
C
F
D
、BD为平行四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，

又于M，于N，
O
900
A
又
B
E

M
AM=CN
过关练习精选
图4-1-11
AM=CD
例5跟踪练习。
如图4-1-12所示，在 ABCD中，延长，AB至E，使BE=AB，
做EF//DA，交DB延长线于点F，则EF与BC能够相等吗？试说
B
D
C
A
E
F
图4-1-12
明理由。
。

1、填空题
（1）平行四边形ABCD的周长为20cm，若AB=6cm，则BC= 。
（2）已知平行四边形ABCD中，比小300，则的度数是 。
（3）在平行四边形ABCD中，的平分线分BC成4cm 和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 cm。
（4）已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形的周长都是18cm，则这条对角是 cm.
(5)在平行四边形ABCD中，对角线AC长为10cm，300，AB=6cm，则此平行上边形的面积为 cm2.
2、选择题
（7）平行四边形不具备的性质是（ ）
A、对边平行 B、对边平行且相等
C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直
（8）某平行四边形对角线长x、y，一边长为12，则x与y的值可能是（ ）
A、8和14 B、10和12 C、18和20 D、10和34
（9）从平行四边形的一个锐角的顶点引另两边的垂线，两垂线夹角为1350，则此平行四边形四个角分别是（ ）
A、150、1350、450、1350 B、500、1350、500、1350
C、450、450、1350、1350 D、都不对
（10）平行四边形ABCD的四个角度数的比可能是（ ）
A、2：5：2：5 B、3：4：4：3 C、4：4：3：2 D、2：3：5：6
（11）由等腰三角形底边上任一点（端点除外）作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的（ ）
A、周长 B、一腰的长 C、周长的一半 D、两腰的和
（12）有以下四个说法
①两点的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离，都是指某种线段的长
②如果两点的位置固定，那么它们的距离是一定的
③如果一点和一条直线的位置大定，那么它们的距离是定值
④两条平行线间的距离不一定总是相等
其中正确的说法的个数是（ ）个
D
C
E
A、1 B、2 C、3 D、4
3、如图4-1-13所示，已知平行四边形ABCD中，
AE平分，交DC于E，AD=5cm，
A
B
AB=8cm，求EC的长。
图4-1-13

C
A
D
B
图4-1-14
4、如图4-1-14所示，BD是 ABCD的对角线，，，
垂足分别为E、F
① 在图中，根据题意补全图形。
② 试问：与能全等吗？请说明理由。

5、已知 ABCD，试用两种方法将此平行四边形的周长分成相等的两部分，（要求：用文字表述两种设计方法，并画出图形）

能力升华.新中考指向标
1．（2005天津市中考试题）如图4-1-15，在 ABCD中，EF//AB，
GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共
有（ ）
（A）7 个 （B）8个
（C）9个 （D）11个 图4-1-15
A
E
B
F
C
G
D
H

2、（2004山东省聊城市中考试题）用两块全等的含300的三角板拼成形
状不同的平行四边形，最多可以拼成（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
图4-1-16
3、（2005河北省中考试题）已知：如图4-1-15，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点。若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2005杭州中考题）如图4-1-17，在平行四边形ABCD中, ∠B=110O,延长AD至F
延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为 ( )
(A)110O (B)30O (C)50O (D)70O
答案与提示
跟踪练习

过关练习精选
1、 填空题
（1）4cm (2)750 (3)20cm或22cm (4)18cm (5)30
2、选择题
（7）D （8）C （9）A （10）A （11）D （12）C
3、EC=3cm
提示：AE平分，又CD//AB，=，AD=DE=5cm，AB=CD=8cm，故EC=3cm。
4、略
5、方法一：取一组对边中点的连线，即将 ABCD的周长分成相等的两部分；方法二：过对角线交点的其他任一直线均能将此 ABCD的周长分为相等的两部分（图略）。
能力升华新中考指向标
1． C 2。C 3。B 4。D
教材习题解答
P85 随堂练习
1、（1）560，1240 （2）25 30
2、对边可以通过平移相互得到，平移的距离等于另一组对边的长。
P85习题4.1
1、1320，480，3cm
2、1250，340
3、线段AB与CD，BC，AD，AC都是相等的线段；等都是彼此相等的角（本题答案不惟一）。
P88随堂练习
1、其他各边的长度都是5 cm ，两条对角线的长分别为6 cm ，8 cm 。
P89习题4.2
1、50cm 2、AD=3 cm ；AC=12 cm 3、9
P89试一试
1、1800
2、平行四边形的判别
教材分析
1、学习目标与要求
（1）经历平行四边形条件的探索过程，在有关活动中发展同学们的合情推理意识、主动探究的习惯，使同学们逐步掌握说理的基本方法。
（2）探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

D
C
2、新知识点全解
（1） 平行四边形的判别方法：
判别一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如图4-2-1。
图4-2-1
B
A

判别二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，如图4-2-1。
AB=CD，AD=BC，
D
C
A
B
O
四边形ABCD是平行四边形。
判别三：一组对边平行且相等的四边形，是平行四边形，如图4-2-1。
AB//CD，ABF=CD，
四边形ABCD是平行四边形。
判别四：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，如图4-2-2。
OA=OC，OB=OD，
图4-2-2
四边形ABCD是平行四边形。
（2） 在使用平行四边形的判别方法时应注意的几个问题：
① 我们目前所研究的四边形均指平面图形，即四边形的四个顶点在同一个平面内，这是要注意的。
② 对于不能判别平行四边形的问题，可以通过举反例的形式加以否定。如“有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，这个结论是不正确的，如等腰梯形。
（3） 平行四边形的性质及判定的作用
①直接运用平行四边形的性质去求角的度数、线段的长度，去证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等。
②通过判定一个四边形是平行四边形平判定直线平行等。
③先判定一个四边形是平行四边形，然后再借助平行四边形的性质去解决某些问题。
③ 解决生活中的一些实际问题。
3．课内问题探究
P89
方法一理由：两条对角线互相平行的四边形是平行四边形
方法二理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
P91做一做
AC与BD，AB与CD，CD与EF，CE与DF分别平行。
P92 议一议
不一定。如图4-2-3等腰梯形。CD//AB，AD=BC, 四边形ABCD不是平
行四边形，它是一个等腰梯形。
典型例题讲解
例1．如图4-2-4所示，O为 ABCD对角线AC中点，
EF经过点O交AD于E，交BC于F，连BE，DF。
（1）△ABE与△DCF能全等吗？请说明理由。
（2）四边形BEDF是平行四边形吗？你能说出几种不同的理由来？
[点拨]（1）可先得到△AOE≌△COF，故，AE=CF，再借助平行四边形的性质不难得到△ABE≌△CDF；
（2）四边形BEDF是平行四边形，可按平行四边形的几种判定方针来试试。
解：（1）∵AD∥CD，∴∠EAO=∠FCO，又OA=OC，∠AOE=∠COF，故△AOE≌△COF，∴AE=CF。
又∵四边形ABCD是平行四边形。
AB=CD，∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中
AB=CD
∠BAE=∠DCF。
AE=CF
∴△ABE≌△CDF。
（2）四边形BEDF是平行四边形.
理由一:由(1)已经得到AE=CF,又因为AD=BC,所以DE=BF,而AD∥BC,即DE∥BF故四边形BEDF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
理由二:由(1)得到AE=CF,BE=DF,故有DE=BF,BE=DF,所以四边形BEDF为平行四边形.(两组对边相等的四边形是平行四边形)
理由三:边BD,AC、BD必互相平分,从而BD必经过点O,所以OD=OB,又由(1)得到△AOE≌△COF,所以OE=OF,故四边形BEDF为平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
理由四:由△ABE≌△CDF,得到∠AEB=∠CFD,AD∥BC,所以∠AEB=∠EBF,所以∠EBF=∠DFC,所以DE∥DF,又BF∥DE,故四边形BEDF为平行四边形.(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
O
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｂ
判别四边形为平行四边形的方法一般较多,通常根据题设条件和图形特征选择较为简捷的方法是上策,大可不必面面俱到,否则可能会弄巧成拙 .
例1跟踪练习
如图4-2-5所示， ABCD的对角线AC、BD交于O、EF
经过点O交AD、CB的延长线于E、F，则DE与EF相等吗？
说明理由。
图4-2-5

A
B
E
F
G
H
L1
L2
图4-2-6
例2.如图4-2-6,直线l1∥l2,A、B在l1上,E、F、G、H在l2上,
且EF=FG=GH,AB=2EF,连接AE、AF、BG、BH,图中有几个平行四边形？
说说你的理由.
解:四边形AEGB和四边形AFHB都是平行四边形,理由是.
解:四边形AEGB和四边形AFHB都是平行四边形,理由是:
因为:EF=FG=GH,EG=FH=2EF,但AB=2EF,故EG=FH=AB.
由AB∥EG,AB=EG,得到四边形AEGB是平行四边形.
A
E
G
D
B
F
H
C
图4-2-7
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
由AB//FH,AB=FH,得到四边形AFHB是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
例2跟踪练习
如图4-2-7所示，在 ABCD中，E、G是AD的三等分点、F、
H是 BC的三等分点，则图中的平行四边形有 个，
它们是 。

A
E
G
D
A
B
F
C
图4-2-8

例3、如图4-2-8所示，ABCD中，E、F、分别为AD、BC的中点，AF与BE
交于G，DF与CE交于H，则四边形EGFH能够是平行四边形吗？请说明理由，
[点拨]观察本例的图形特征，发现解题策略应是先说明
四边形AFCE、四边形BFDE为平行四边形，从而得到GF//EH，GE//FH，
则四边形GFHE为平行四边形。
解：四边形EGFH是平行四边形。理由：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC；
又E、F公别为AD、BC的中点，所以AE=DE，BF=FC。
于是AE//FC，AE=FC；ED//BF，ED=BF，
所以四边形AFCE、BFDE都是平行四边形。于是GF//EH，GE//FH，
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｎ
Ｂ
Ｍ
图4－２－9
所以四边形GFHE是平行四边形。
例3跟踪练习
如图4-2-9所示， ABCD中，AC是对角线，DN于N ，

BM于M，连BN、DM，四边形BMDN是平行四边形吗？
请说明理由。

过关练习精选
1、填空题。
（1）用两个全等的三角形，拼成的四边形，有下列说法：①一定是平行四边形；
②可能是平行四边形；③一定不是平行四边形；其中正确的说法是 。
（2）已知：四边形ABCD中，AD//BC，分别添加下列条件：①AB//CD；②AB=CD；③AD=BC；④；⑤，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是 。
（3）四边形ABCD中，AB=CD，请你补充一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，你所补充的条件是 （只顺填写一人你认为正确的结论即可）
2、选择题
（4）不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A、AB=CD，AD=BC B、AB//CD，AB=CD
C、AB=CD，AD//BC D、AB//CD，AD//BC
（5）若A、B、C是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可以画（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（6）下面给出了四边形ABCD中，∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A、1：2：3：4 B、2：2：3：3 C、2：3：3：2 D、2：3：2：3
（7）下列说法错误的是（ ）
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C、对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形
D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（8）△ABC中，AB=8，BC=5，CA=6，以其中的两边为边，另一边为对角画线画平行四边形，可画平行四边形（ ）个。
Ｅ
B
Ａ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
图4－２－10
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
3如图4-2-10所示，AB=CD=EF，且AB//CD，EF//CD，那么四边形
ABEF是平行四边形吗？说说你的理由。

Ａ
BＢ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
图4－２－１1
4、如图4-2-11，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE//AC交AB于E。
DF//AB交AC于F，若AB=12cm，求DE+DF的长。

MＢ
AＢ
DＢ
B
QＢ
PＢ
NＢ
CＢ
图4－２－１2

5、如图4-2-12所示，在 ABCD中，AC的平行线MN交DA延长
线于M，交DC延长线于N，交AB、BC分别于P、Q
①试指出图中的平行四边形个数，并说明理由。
②MP与QN能相等吗？

DＢ
AＢ
BＢ
CＢ
EＢ
FＢ
PＢ
图4－２－13
6、如图4-2-13所示，△ABC为等边三角形，P为△ABC内任一点，
PD//AB交BC于D，PE//AC交于E，PE//AC交AB于F，
若△ABC周长为18cm，试求PE+PD+PE的值。

能力升华新中考指向标
AＢ
EＢ
FＢ
BＢ
CＢ
DＢ
图4-2-14
DＢ
CＢ
AＢ
BＢ
EＢ
FＢ
图4-2-15
1、（2004年陕西省中考试题）已知：如图9-2-16，在
ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，的平分线交AD
于点E，交CD的延长线于点F，则DF= CM

2.(2005年重庆中考试题) 如图4-2-16，在 ABCD中，
AE⊥CD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,求证。

3、（2005年哈尔滨市中考试题）如图4-2-17，
，点D、E分别为AC,AB中点，点F在BC延长线上，且。
A
B
C
E
D
O

图4-2-18
求证：四边形DECF为平行四边形。

4、 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O, 将△AOD
平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有( )。
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
答案与提示
跟踪练习
1．DE=BF，理由：可直接证明△DOE≌△BOF，也可先得到四边 形DEBF为平行四边形。
2．6， ABFE、 ABCD、 EFHG、 EFCD、 GHCD、 ABHG
3．四边形BMDN是平行四边形，理由：AD//BC，AD=BC及DN，BMTJ GC △ADN≌△CBM，于是DN=BM，又DN//BM，所以四边形BMDN为平行四边形。

过关练习精选
1、填空题
（1）①（2）①或③或④（3）AB//CD或AD=BC等
2、选择题
（5）C （6）C （7）D （8）C （9）C
3、四边形ABEF是平行四边形，理由是AB、EF是四边形ABEF平行且相等的一组对边。
4、12cm。
5、①三个，他们是 ABCD、 AMQC、 APNC；
②由①可得MQ=AC，NP=AC，于是MQ=PN，从而MP=QN。
6、 6cm提示：延长FP交BC于M、延长EP交AB于N，故有PE=MC，PF=PN=BD，PD=PM=DM，从而PE+PF+PD=BC=6CM
能力升华-新中考试指向标
1、3
2、证 （AAS）根据全等三角形对应角相等得证。
3、先证得∥EC,
又DE∥CF四边形DECF为平行四边形。
4、B
教材习题解答
P90随堂练习
1、（1）OA与OC、OB与OD分别相等，理由是：线段AC、BD分别是四边形ABCD的两条对角线，它们互相平分。
（2）四边形BFDE是平行四边形，理由是：四边形BFDE的两条对角线EF、BD互相平分（即OE=OF，OB=OD）
P90习题4.3
1、四边形DEBF是平行四边形，理由是：DF、EB是四边形DEBF的一组平行且相等的对边。
2、 四边形EFGH是平行四边形，理由是：在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，

EO= AO= OC=OG，FO= BO= DO=HO，即四边形EFGH的两条对角线EG、FH互相平分

P92随堂练习
1、如果相等的两组边分别是对边，那么这个四边形是一定是平行四边形；如果相等的边分别是邻边，那么这个四边形未必是平行四边形。
2、图中的平行四边形有：平行四边形A1A2A5A3，平行四边形A2A4A5A3, 平行四边形A2A5A6A3理由不惟一，可以是：这三个四边形的两组对边分别是全等三角形的以应边，它们分别彼此相等。
P92习题4.4
1、四边形ABCD是平行四边形，判别方法有多种，如：
（1）由∠DCA=∠BAC，得AB//CD；再结合AB=CD即可判定四边形 ABCD是平行四边形。
（2）在△ABC，△CDA中，由已知条件以及AC=CA，可得△ABC≌△CDA（边角边），因而DA= BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判定四边形ABCD是平行四边形。
（3）在△ABC，△CDA中，由已知条件以及AC=CA，可得△ABC≌△CDA（边角边），因而∠DAC= BCA，得AD//CB；再结合∠DCA=∠BAC，得AB//CD，即可判定四边形ABCD是平行四边形。
当然还可以连接另一条对角线，通过三角形全等推行两条对角线互相平分，再加以判断。
2、有6个平行四边形，设图形的中心点为点O，6个平行四边形分别是平行四边形FABO、平行四边形ABCD、平行四边形CDEO、平行四边形DEFO、平行四边形EFAO，理由不惟一，可以是：这些正三角形的边都相等，因而每一个四边形的两组对边分别相等。
3、菱形
教材分析
1、学习目标与要求
（1） 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展同学们的主动探索习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法。
（2） 了解菱形的现实应用和常用判别条件
A
B
C
D
O
2、新知识点全解
（1）菱形：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
（2）菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角，如图4-3-1
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD
（3）菱形的判别方法：
图4-3-1
判别一：一组邻边相等的平行四边形是菱形，如图4-3-1，
∵AB=AD
∴ ABCD是菱形。
判别二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，如图4-3-1。
∵AC
∴ ABCD是菱形。
判别三：四条边都相等的四边形是菱形，如图4-3-1。
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
（4）菱形的其它知识
①菱形是轴对称图形，有2条对称轴。
②菱形的面积公式=边长×高=对角线乘积的一半。
2． 课内问题探究
P93 问题解答
图中的衣帽架中有菱形
P93问题解答
（1） AB=BC=CD=AD,OA=OC,OB=OD;
等。
（2） 等腰三角形有
直角三角形有
（3） 对角线AC,BD相互垂直平分。
P93想一想
（1） 是，有两条对称轴，互相垂直。
（2） 折纸略，道理是 对角线互相垂直且平分。
P94议一议
四条边相等的四边形是菱形
P95 试一试
是菱形，这个思辨性的两组对边分别在纸条的边缘上，他们彼此平行，所以它是平行四边形。
典型例题讲解
例1、菱形ABCD中，∠A=1200，如果它的一条对角线长为8cm，求菱形ABCD的边长。
[点拨]由条件“它的一条以对角线长为8cm”可以知道；线段AC或BD之长为8cm，因而应有两种可能情况，应予以讨论，同时借助菱形的性质便可得到解题思路（如图9-3-2）
解：（1）如图4-3-2所示，当AC=8cm时，有∠DAC=∠BAD=600，∠B=600，△ABC为等边三角形，所以
AB=AC=BC=8cm
即菱形ABCD的边长为8cm
（3） 如图4-3-2所示，当BD=8cm时，连接AC交BD于O，

∵，且，OB=OD，OA=OC= AC，∠ADO=∠CDO= ∠ADC
A
D
B
C
A
D
B
C
图4-3-2

∠A=1200，∠ADC=∠A=1800
∴∠ADC=600，∠ADO=300
O
在Rt△ADO中，∠ADO=300，OD=4 cm，AD2=AO2+OD2

AO= AD，∴ AD2=16，∴AD=

例1跟踪练习
菱形周长为20cm，两邻角比为1∶2，求较短对角线的长

A
E
D
B
F
C
O
图4-3-3

例2、如图4-3-3所示，已知 ABCD的对角线AC
的垂直平分线交AD于E，交BC于F，交AC于O,
则四边形AECF是菱形吗？请说明理由。
[点拨]要判断四边形AECF是否是菱形
形，则需要了解它是否有满足成为菱形的
条件存在，通常有三种途径予以判别，但
在具体题目时，可根据目特征，选取较为
简捷的方法即可，因而本例可以从“对角线互相垂直平分”中寻找解题思路。
解四边形AECF是菱形。
∵四边形ABCD为平行四边形。
∴AE//CF，∴∠EAO=∠FCO
又EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，EF
于是在Rt△AOE与Rt△COF中
∠EAO= ∠FCO，
OA