（春季拔高课程）九年级数学 第2讲 二次函数探究—二次函数与等腰三角形的综合问题教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

二次函数与等腰三角形的综合问题
知识点
二次函数综合；等腰三角形的性质与判定；相似三角形的性质；
教学目标
1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题
2．灵活运用数形结合思想
教学重点
巧妙运用数形结合思想解决综合问题；
教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题；
知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形的腰与它的高的直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3 探究等腰三角形的一般思路
探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。
以上方法即可找出所有符合条件的点；
（3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。
例题精析
例1 如图，抛物线y＝- x2+ x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）。分别过点Ａ、Ｂ 作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为Ｄ、Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ。
（1）求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并证明△ＭＤＥ是等腰三角形； 
（2）△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标，若不能，说明理由；
（3）若将“Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）”改为“Ｐ是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。

例2如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

例3如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

例4在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

例5如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

课程小结
有针对性的对等腰三角形的性质、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与等腰三角形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与等腰三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出等腰三角形，并能运用等腰三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣4，令y=0，即﹣x2+ x﹣4=0，解得x=1或x=5，
∴A（1，0），B（5，0）．
如答图1所示，

分别延长AD与EM，交于点F；∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE；
在△AMF与△BME中，∠MAF=∠MBE，MA=MB,∠AMF=∠BME；∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形
（2）能；抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣4=﹣（x﹣3）2+ ，∴对称轴是直线x=3，M（3，0）；
令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形；
①若DE⊥EM，由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如答图2所示

设直线PC与对称轴交于点N，∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA在△ADM与△NEM中，∠EMN=∠DMA，EM=DM,∠ADM=∠NEM=135°；∴△ADM≌△NEM（ASA），∴MN=MA
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故对称轴是直线x=3，∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴ ，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4，将y=2x﹣4代入抛物线解析式得2x﹣4=﹣x2+x﹣4
解得x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3
∴P（ ，3）综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ，3）
（3）能；如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N；

与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB
在△DMN与△EMB中，∠DMN=∠EMB，MD=MB,∠MDN=∠MEB=45°；∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB；∴N（3，﹣2）
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4，
将y=x﹣4代入抛物线解析式得x﹣4=﹣x2+x﹣4，
解得x=0或x= ，
当x=0时，交点为点C；
当x= 时，y=x﹣4=，∴P（，）
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ， ）
【总结与反思】
（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；
如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD=ME，问题得证；
（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标；
（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同；

例2【规范解答】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），
∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为 y=﹣x2+x+4，
又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．
（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．
（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．
（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：
AC===，AQ==，CQ==．
①当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，
∴Q1（3，0）；
②当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

【总结与反思】
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
例3【规范解答】解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则
，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）①当MA=MB时，M（0，0）；
②当AB=AM时，M（0，﹣3）；
③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．
所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．
（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．
△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．
设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．
则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．
在△AOB沿x轴向右平移的过程中．
①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，
联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．
故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．
②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，
又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．
故S=S△PAH﹣S△PAK=PAPH﹣PA2=﹣（3﹣m）（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．
综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．

【总结与反思】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．
（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．
例4【规范解答】解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣，
∵B（n，0），∴B（﹣，0）．∵AO=m，BO=﹣，CO=1
∴AC==，BC==，AB=AO+BO=m﹣，
∵（m﹣）2=（）2+（）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC==，BC==|n|，AB=xA﹣xB=2﹣n．
①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；
③当BC=AB时，|n|=2﹣n，当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．
综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．
【总结与反思】
（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．
（2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．
（3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．
例5【规范解答】解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，
将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣，
故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；
（2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0时，y=，∴C（0，）．y=0时，﹣x2﹣x+=0，
解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC==2．
设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以
当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；
当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．
综上，当△PBC为等腰三角形时，
点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；
（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．
由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直线MB′的解析式为y=x+．
同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣，）．
所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

【总结与反思】
（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC==2．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当△PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；
（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标
．