九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法教案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中九年级上册数学教案.doc

22．2　一元二次方程的解法
22．2.1　直接开平方法和因式分解法
第1课时　直接开平方法

【知识与技能】
1．理解一元二次方程降次的转化思想．
2．会用直接开平方法解形如(x＋b)2＝n(n≥0)的一元二次方程．
【过程与方法】
1．会用直接开平方法解简单的一元二次方程．
2．会根据平方根的意义解缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，然后迁移到解a(x＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
【情感态度】
1．通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．
2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

【教学重点】
运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会解一元二次方程的基本思想——通过降次转化为一元一次方程求解．
【教学难点】
通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

一、创设情境，导入新知
1．叙述平方根的定义．
2．求适合x2＝4的x的值．
说明：学生不难得出本题的解x＝2或x＝－2.教师可引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(第11章“数的开方”中的平方根)的联系．在求出方程x2＝4的解以后，教师总结：解这样的方程就是“要求一个数，使它的平方等于4”，即求4的平方根，可用直接开平方的方法．从而引出新课——直接开平方法解一元二次方程．
二、合作探究，理解新知
问题1：怎样解形如x2＝b的方程？
教师用上面的例子说明这类一元二次方程的解法，当b≥0时，方程解为x＝±.
问题2：怎样解方程ax2＋c＝0(a≠0)?
(1)教师可用①x2－2＝0；②2x2－8＝0；③2x2＋8＝0等方程为例，由学生把它们变形为x2＝－的形式，再用平方根的定义来求解，并指出方程③的解不存在．
在此基础上给出直接开平方法的定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法．
(2)引导学生归纳方程ax2＋c＝0(a≠0)的解法：当a、c异号时，方程ax2＋c＝0的根为x＝±；当a、c同号时，方程无实数根．
(3)对于下列方程你能用直接开平方法解吗？
①(y－1)2＝2；②(3x＋1)2－4＝0；③2x2－3＝0；④x2－4x＋4＝1.
例题讲解
例1：解方程：(x＋2)2＝5.
解：原方程两边开平方，得x＋2＝±.
所以原方程的解为x1＝－2＋，x2＝－2－.
【教学说明】在讲此题时，可说明：(1)在这里我们把(x＋2)看作一个整体，就可以转化为x2＝n(n≥0)的形式解，这里渗透了换元的思想．
(2)在对(x＋2)2＝5两边同时开平方后，原方程就可转化为两个一元一次方程，这时可向学生指出，这种变形就是降次，解一元二次方程的实质就是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程．“降次”也是一种常用的数学方法．
例2：解下列方程：
(1)(x－)2＝(2－)2；
(2)(x＋)(x－)＝7；
(3)x2＋4x＋4＝1.
解：(1)方程两边直接开平方，得x－＝±(2－)．
所以原方程的解是x1＝2＋－，x2＝－2＋＋；
(2)原方程变形为x2－5＝7，即x2＝12.
两边开平方，得x＝±2 .
所以原方程的解为x1＝2 ，x2＝－2 ；
(3)原方程变形为(x＋2)2＝1，所以x＋2＝±1.
所以原方程的解为x1＝－3，x2＝－1.
【教学说明】凡是能化成(x＋m)2＝n形式的方程都能用直接开平方的方法求解．
例3：解方程：(x－3)2＝4(2x＋1)2.
解：方程两边直接开平方，得x－3＝±2(2x＋1)．
所以x－3＝2(2x＋1)，或x－3＝－2(2x＋1)．
所以原方程的解为x1＝－，x2＝.
【教学说明】形如(ax＋b)2＝(cx＋d)2(ac≠0)的方程也可用直接开平方的方法求解．
三、尝试练习，掌握新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获或困惑？
1．直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
(1)x2＝n(n≥0)；(2)(x＋b)2＝n(n≥0)．
解法的根据是平方根的定义．
2．解一元二次方程的实质是降次，在解题过程中要注意换元方法的渗透．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

教材第23页练习第(1)、(2)、(3)题．
第2课时　因式分解法

【知识与技能】
1．了解因式分解法的概念．
2．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．
【过程与方法】
1．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
2．体会运用转化的数学思想．
【情感态度】
积极探索不同的解法，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．

【教学重点】
应用因式分解法解一元二次方程．
【教学难点】
将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解．

一、创设情境，导入新知
1．将下列各式分解因式：
(1)y2－3y；(2)4x2－9；(3)(3x－4)2－(4x－3)2；(4)x2－2 x＋2.
2．解一元二次方程的基本思想是什么？
3．判断下列原命题与逆命题是否正确？
(1)原命题：若a＝1或b＝1，则ab＝1；逆命题：若ab＝1，则a＝1或b＝1.
(2)原命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；逆命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
(3)原命题：若x＋2＝0或x－3＝0，则(x＋2)(x－3)＝0；逆命题：若(x＋2)(x－3)＝0，则x＋2＝0或x－3＝0.
二、合作探究，理解新知
问题1：试用不同的方法把方程x2－1＝0转化为两个一次方程．
方法1：直接开平方法：x2－1＝0，
移项，得x2＝1，
开平方，得x1＝1，x2＝－1.
方法2：因式分解法：
将方程左边分解因式，得(x＋1)(x－1)＝0.
这里方程的左边是两个因式的积，而右边为零，这两个因式中至少有一个为零，即x＋1＝0或x－1＝0；反过来，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积等于零．这就是说，解方程(x＋1)(x－1)＝0，就相当于解方程x－1＝0或x＋1＝0.所以原方程可化为x＋1＝0或x－1＝0.
问题2：(1)你能求出方程x2－1＝0的解吗？试试看．
学生独立完成，教师归纳并指出这种利用分解因式来解一元二次方程的方法叫因式分解法．
(2)快速回答：下列各方程的根分别是多少？
①x(x－2)＝0；②(y－3)(y＋2)＝0；③(2x＋1)·(x－2)＝0；④x2＝x.
例题讲解
例1：解下列方程：
(1)3x2＋2x＝0；(2)x2＝3x.
解：(1)方程左边分解因式，得x(3x＋2)＝0.
所以x＝0或3x＋2＝0.
得x1＝0，x2＝－.
(2)移项，得x2－3x＝0.
方程左边分解因式，得x(x－3)＝0.
所以x＝0或x－3＝0.
得x1＝0，x2＝3.
【教学说明】可先让学生完成．在讲解此题过程中师生共同归纳出用因式分解法解一元二次方程的步骤为：
①方程右边化为零；
②将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
例2：解下列方程：
(1)3x(x＋2)＝5(x＋2)；(2)(3x＋1)2－5＝0.
解：(1)移项，得3x(x＋2)－5(x＋2)＝0.
(x＋2)(3x－5)＝0，
所以x＋2＝0或3x－5＝0.
得x1＝－2，x2＝.
(2)原方程变形为(3x＋1＋)(3x＋1－)＝0.
所以3x＋1＋＝0或3x＋1－＝0.
得x1＝，x2＝.
【教学说明】第(2)题可用直接开平方法解．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第23页练习第(4)、(5)、(6)题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
先由学生自由发言，教师再投影演示：
1．能用因式分解法来解的一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积．
2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程的右边化为零；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3．用因式分解法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4．用因式分解法解一元二次方程的注意点：
(1)必须将方程的右边化为零；
(2)方程两边不能同时除以含有未知数的代数式．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

教材第36页习题22.2第1题．

22．2.2　配方法

【知识与技能】
理解配方法，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程．
【过程与方法】
1．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化的数学思想．
2．在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数学思想解决问题的能力．
【情感态度】
启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力．

【教学重点】
理解并掌握配方法，能够运用配方法解一元二次方程．
【教学难点】
用配方法解一元二次方程的过程．

一、创设情境，导入新知
1．回顾完全平方公式：
(1)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；(2)a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2．填空：
(1)x2＋8x＋________＝(x＋4)2；
(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；
(3)x2－________x＋9＝(x－________)2.
让学生做，然后交流：你是如何进行配方的？
结论：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方．
3．利用开平方法我们已经求过(x＋1)2＝4这样方程的解，你会解下面的方程吗？
x2＋2x＋1＝4，x2＋2x＝3，x2＋2x－3＝0.
让学生做，并指定学生板演．
教师小结这种解一元二次方程的基本思路，介绍配方法．
二、合作探究，理解新知
探究一：1.解方程：x2＋6x＋7＝0.
这个方程显然不能用直接开平方法解，能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(x＋m)2＝n的形式？
我们可以这样变形：
把常数项移到右边，得x2＋6x＝－7，
对等号左边进行配方，得x2＋6x＋32＝－7＋32，
(x＋3)2＝2.
这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了．像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后(即化为(x＋m)2＝n形式)，再用开平方来解的方法叫配方法．
(板书)用配方法解一元二次方程．
2．用配方法解下列方程：
(1)x2－6x－7＝0；(2)x2＋3x＋1＝0.
解：(1)移项，得x2－6x＝7.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋32＝7＋32，即(x－3)2＝16.
所以x－3＝±4.得x1＝7，x2＝－1.
(2)移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋2·x＋()2＝－1＋()2，即(x＋)2＝.
所以x＋＝±，所以x1＝－＋，x2＝－－.
【教学说明】可先让学生做，并指定学生板演．
思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
让学生进行充分的探讨，然后交流．
探究二：解方程：2x2－3x－1＝0.
引导学生将二次项系数化为1，再让学生自己完成：
解：化二次项系数为1，得x2－x－＝0.
移项，得x2－x＝，
下面的过程由学生补充完整：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
解完此题后，让学生进一步思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
学生讨论、回答，教师补充归纳．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第27页练习第2题(1)．
2．补充练习：解下列方程：
(1)4x2＋4x＋1＝0；
(2)x2－2x－5＝0；
(3)－x2＋2x－5＝0.
【教学说明】设计补充练习，是为了强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有哪些收获？
1．把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
(1)化1：方程两边同除以二次项的系数；
(2)移项：把常数项移到方程的右边；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)开方：根据平方根意义，方程两边开平方；
(5)求解：解一元一次方程；
(6)定解：写出原方程的解．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

1．教材第27页练习第2题(2)．
2．习题22.2第4题(6)、(7)．
3．补充作业：(1)解方程：3x2－2x－4＝0；
(2)用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．
22．2.3　公式法

【知识与技能】
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯．
【情感态度】
通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．

【教学重点】
掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导过程．

一、创设情境，导入新知
1．用配方法解下列方程：
(1)4x2－12x－1＝0；(2)3x2＋2x－3＝0.
2．用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫．
3．你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？
二、合作探究，理解新知
问题1：你能用配方法把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)转化为(x＋m)2＝n的形式吗？
【教学说明】教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识，最后化成(x＋)2＝.
∵a≠0，方程两边都除以a，得x2＋x＋＝0，
移项，得x2＋x＝－，
配方，得x2＋x＋()2＝－＋()2，
即(x＋)2＝.
问题2：当b2－4ac≥0，且a≠0时，大于等于零吗？
教师让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b2－4ac≥0时，因为a≠0，所以4a2>0，从而得出≥0.
问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？
让学生讨论可得x＋＝±.
【教学说明】若有必要，可让学生讨论±＝±为什么成立？
问题4：由问题1、问题2、问题3，你能得出什么结论？
让学生讨论、交流，从中得出结论，当b2－4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为x＋＝±，即x＝.
由以上研究结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝(b2－4ac≥0)．
说明和建议：
(1)求根公式x＝(b2－4ac≥0)是专指一元二次方程的求根公式，b2－4ac≥0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式的重要条件．
(2)用公式法(求根公式)解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值(或表示式)，然后对代数式进行求值．由于这样的计算比较复杂，所以要提醒学生计算时注意a、b、c的符号．
例题讲解
例1：解下列方程(教材例6)
(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.
所以x＝＝＝.
即x1＝－2，x2＝.
(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.
因为b2－4ac＝24，
所以x＝＝－2±.
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)因为b2－4ac＝256，
所以x＝＝.
即x1＝－，x2＝2.
(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.
因为b2－4ac＝0，所以x＝，
即x1＝x2＝－.
讲解要点：
(1)对于(2)、(4)首先要把方程化成一般形式；
(2)提醒学生注意符号，如(3)题中b＝－4，公式中的－b，应为－(－4)；
(3)先计算b2－4ac的值，再代入公式求解；
(4)对于第(4)题不要写成x＝－.
例2：解方程x2＋5x＋8＝0.
解：因为a＝1，b＝5，c＝8，
b2－4ac＝52－4×1×8＝－7<0，
所以方程无实数解．
说明：当b2－4ac<0时，不用代入求根公式，直接写出方程无实数解即可．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第30页练习(1)、(3)．
2．教材习题22.2第4题(1)、(2)、(3)、(6)．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么？还有什么不足？
用公式法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤：
(1)把方程整理成一般形式，进而确定a、b、c的值(包括符号)；
(2)求出b2－4ac的值(若b2－4ac<0，方程无实数解)；
(3)在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，最后写出方程的根，当b2－4ac<0时，直接写方程无实数解．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

教材第30页练习第(2)、(4)题；习题22.2第3题(2)．
22．2.4　一元二次方程根的判别式

【知识与技能】
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．用b2－4ac判别ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况及其运用．
【过程与方法】
1．经历探索求根公式的过程，发展学生合情、合理的推理能力．
2．提高学生的运算能力并养成良好的推理习惯．
【情感态度】
1．通过探索求根公式的过程，提高学生的推理判断能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．
2．学会和他人合作，提高自主探究以及与他人交流的能力．

【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行合理的推导与论证．
【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的情况与根的情况的关系．

一、创设情境，导入新知
能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)?
教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．
学生观察、分析、思考找出解决问题的途径，小组内讨论交流．
二、合作探究，感受新知
1．试验发现
练习：用配方法解下列一元二次方程：
(1)x2－8x＝20；(2)2x2－6x－1＝0.
提问：当x2＝c，c≥0时方程才有解，为什么？
用配方法解方程：x2－3x＋p＝0.
教师展示此练习．
对于一部分学生，教师可给予一定帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助．
学生试验，观察分析，总结结论，合作交流，小组内讨论交流互相借鉴与指正．
2．探索
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
因为a≠0，方程两边都除以a，得x2＋x＋＝0.
移项，得x2＋x＝－.
配方，得x2＋2·x·＋＝－，
即＝.
问题1：当b2－4ac>0，b2－4ac＝0，b2－4ac<0；且a≠0时，的值分别与零有怎样的关系？
让学生讨论，交流，探索后，教师再展示此推导过程．
能直接开平方吗？
让学生思考分析，发表意见．
得出结论．
问题2：你能得出什么结论？
结论：当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c(a≠0)有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程没有实数根．
一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它．
3．应用
不解方程，能用根的判别式直接判断一元二次方程根的情况．
例题讲解
例1：已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2＋k＝0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
分析：已知一个一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac>0；
当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac＝0；
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac<0.
解：∵a＝2，b＝－(3＋4k)，c＝2k2＋k，
∴b2－4ac＝[－(3＋4k)]2－4×2×(2k2＋k)＝16k＋9.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，
即16k＋9>0，∴k>－；
(2)若方程有两个相等的实数根，则b2－4ac＝0，
即16k＋9＝0，∴k＝－；
(3)若方程没有实数根，则b2－4ac<0，即16k＋9<0，∴k<－；
综上所述，当k>－时，方程有两个不相等的实数根；
当k＝－时，方程有两个相等的实数根；
当k<－时，方程没有实数根．
【教学说明】进一步巩固新知识，培养学生的逆向思维能力，从而达到促进学生灵活运用新知识解决问题的目的．
例2：已知关于x的方程mx2－(2m＋1)x＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，试确定m的取值范围．
分析：例2与例1的区别在于就是x2前面的系数含有字母，须注意考虑其取值的要求．
[错误的解答]　解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴[－(2m＋1)]2－4m(m＋3)>0，
解得：m<.
[正确的解答]　解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴m≠0且[－(2m＋1)]2－4m(m＋3)>0，
解得：m<且m≠0.
【教学说明】该例题是学生的易错点，也是运用根的判别式知识解决问题的难点，教学时可通过充分让学生暴露出思维上的缺陷来增强学生对这种题型的感性认识．
[师生活动]　教师引导学生归纳出利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤：
1．将方程化成ax2＋bx＋c＝0的形式；
2．判断a的值是否为零；
3．若a≠0，则再考虑b2－4ac的取值．
三、尝试练习，掌握新知
1．方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，则a、b、c的取值应满足( D )
A．b2－4ac>0　　　　　B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac≥0 D．以上都不对
2．已知a、b、c分别是△ABC的三边，若关于x的一元二次方程(a＋b)x2＋2cx＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，则△ABC是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
3．k取什么值时，方程kx2－2x＋1＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．(答案：k＝1，x1＝x2＝1)
4．已知关于x的方程mx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(答案：由(－2)2－4m>0且m≠0，解得：m<1且m≠0.)
5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．通过本节课的学习，你有哪些收获？
2．你还有什么疑惑？说给大家听听．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

教材每36页习题22.2的第7～9题．
*22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系

【知识与技能】
1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
【过程与方法】
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．
【情感态度】
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力．激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神．

【教学重点】
一元二次方程根与系数的关系．
【教学难点】
对根与系数的关系的理解和推导．

一、创设情境，导入新知
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为这个定理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的．聪明的同学们，你能发现这个定理吗？
教师出示问题，引出课题．
学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题．
二、合作探究，理解新知
1．思考
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系：
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
(p为一次项系数，q为常数项)
教师适时点拨：把方程(x－x1)(x－x2)＝0化为一般形式后，得到x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0的形式，与x2＋px＋q＝0对比易知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2.
学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，分析总结得到x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
2．探究
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数分别有怎样的关系？
(1)你可以通过具体方程试一试．
由2x2－3x＋1＝0，得x1＝1，x2＝，于是x1＋x2＝＝－，x1x2＝.
这就是说，此方程的两根的和等于一次项系数－3与二次项系数2的比的相反数，两根的积等于常数项1与二次项系数2的比．
(2)对于一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)又有怎样的关系呢？
结论：方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝.
教师出示探究问题，让学生通过特殊的例子入手，再通过一般形式推导试验．
教师引导学生根据求根公式进行探究，把结论说给同学听听．
学生小组合作，交流完成．
学生观察试验交流归纳．
3．例题讲解
例1：不解方程2x2－x－6＝0，求出其两根之和与两根之积．
分析：方程的两根之和与两根之积应利用韦达定理来确定．
解：设方程的两根分别为x1、x2.
∵a＝2，b＝－1，c＝－6，
∴根据韦达定理得：x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－3.
[变式训练]　若方程2x2－x－6＝0的两根分别为x1、x2.试求下列代数式的值：
(1)xx2＋x1x；(2)(x1＋2)(x2＋2)．
分析：由于两个代数式稍作变形就可表示成x1＋x2和x1x2的形式，故本题可利用韦达定理来解题．
解：由韦达定理得：x1＋x2＝，x1x2＝－3.
(1)xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝(－3)×＝－.
(2)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝(－3)＋2×＋4＝2.
拓展提高
例2：已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为－1，求另一个根以及m的值．
分析：由于方程中的二次项系数和一次项系数已知，并且知道了方程的一个根，故可利用韦达定理求出另一个根，进而由韦达定理再求出m.
解：设另一个根为x2，则x1＝－1，由韦达定理得：
即
解得：x2＝4，m＝－4.
∴另一个根为4，m的值为－4.
【教学说明】进一步巩固新知识，使学生灵活运用新知识解决问题．
三、尝试练习，掌握新知
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0；(2)9x＋2＝x2；(3)6x2－3x－2＝0.
(答案：(1)x1＋x2＝5，x1x2＝－3；(2)x1＋x2＝9，x1x2＝－2；(3)x1＋x2＝，x1x2＝－.)
2．已知方程2x2－4x－5＝0的两根为x1和x2，试求代数式＋的值．
(答案：由韦达定理得：x1＋x2＝2，x1x2＝－.
∴＋＝＝＝－.)
3．教材第35页练习第2、3题．
4．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”内容．
四、课堂小结，梳理新知
1．通过本节课的学习，你有哪些收获？
2．你还有什么疑惑？说给大家听听．
五、深入练习，巩固新知
学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”

1．关于x的方程2x2＋5x＋k＋1＝0两根互为倒数，求k的值．
(答案：设方程的两根为x1和x2.
由题意得：x1x2＝＝1.
解得：k＝1.)
2．已知矩形的长和宽是方程mx2－32x＋13＝0的两根，且该矩形的周长为16，试确定m的值以及该矩形的面积．
(答案：解：设方程的两根为x1和x2.
由题意得：x1＋x2＝＝8.
解得：m＝4.
∴矩形的面积＝x1x2＝＝.)
3．教材第36页习题22.2的第10、11题．