山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 第十四章 一次函数 一次函数小结与复习教案 新人教版.doc

第十四章 一次函数 一次函数小结与复习

考点呈现
考点1 常量与变量的判定
例1 用火柴棒按图1的方式搭三角形，搭1个三角形用了3根火柴棒，搭2个三角形用5根火柴棒……按此规律搭下去，搭n（n是正整数）个三角形需用S根火柴棒．那么用含n的式子表示S为 ，其中 是常量； 是变量．
解析：第1个三角形由3根火柴棒构成，以后每增加一个三角形需用2根火柴棒，所心搭n个三角形用火柴棒Ｓ＝３＋2（ｎ－１）＝2ｎ＋１．
在这个问题中，S是随着n的变化而变化，所以S，n是变量，而2，1是常量．
点评：辨别常量与变量，关键是要分清在某一变化的过程中，哪些量发生了变化，哪些量始终不变，发生变化的量称为变量，不发生变化的量称之为常量．
考点2 函数的概念
例2 下列中各图象不表示函数的是（ ）
y
x
A
y
x
B
y
x
C
y
x
D

解析：根据函数的定义自变量每取一个值，函数都有唯一的值与其对应．图中A，B，C符合条件，D不符合这个条件．故选D．
点评：函数必须符合下列条件：
（1） 有两个变量；
（2） 一个变量的取值（函数值）随着另一个变量（自变量）的取值的变化而发生变化；
（3） 对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
考点3 自变量的取值范围
例3 求函数中自变量x的取值范围．
解析：因为被开方数2－x≥０，解得x≤２；又因为分母x－１≠０，解得x≠１．所以自变量x的取值范围是x≤２且x≠１．
点评：自变量取值范围的确定，关键是含有自变量的表达式要有意义，如含有自变量的分母不为零，含有自变量的被开方数是非负数等．特别要注意当函数表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．
考点4 函数的图象
例4 甲、乙两人准备在一段长为1200米的笔直公路上跑步，甲、乙跑步的速度分别为4和6，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（ ）
解析：解决本题首先要弄清甲、乙两人的运动情况．由于乙的速度比甲快，所以乙一段时间后追上甲，并先到达目的地．
乙追上甲的时间为100÷（6－4）＝50（秒），所以两人相遇点的坐标是（50，0）；乙从起点到达目的地的时间是1200÷6＝200（秒），对照选项，只有C符合要求．
点评：解决函数图象问题时，要理清图象的含义，从图象中获取正确的信息．
考点5 一次函数与方程（组）、不等式的关系
例5 某电信公司给顾客提供了两种上网收费方式：A.（0.05元/分）；B. 全日制（54元/月）．此外B种上网方式要加收通迅费0.02元/分．
（1） 某用户某月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别为y1（元），y2（元），写出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2） 在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪种上网方式更省钱？
解析：根据题意，知
（1），即；，即．
图5
y=3x
y
x
y=1.2x+54
90
O
30
（2）解方程组，得．
在同一平面直角坐标系中分别画出和这两个函数的图象（如图5）．
由图象可知：
当0＜x＜30时，3x＜1.2x+54，即上网时间少于30小时，选择A种上网方式省钱；
当x=30时，3x=1.2x+54，即上网时间等于30小时，选择两种上网方式费用一样；
当x＞30时，3x＞1.2x+54，即上网时间大于30小时，选择B种上网方式省钱．
点评：方程（组）、不等式与函数之间互相联系，函数是联系这些问题的纽带．解决这类问题时，应根据具体情况，灵活地、有机地把它们结合起来．

误区点拨
误区1 求函数自变量的取值范围出错
例1 函数中自变量的取值范是 ．
错解：欲使有意义，须x+1≥0，即x≥-1．所以自变量x的取值范围是x≥-1．
误区剖析：本题忽视了分母不能等于0的情况，即．
正解：由题意，知x+1≥0且，解得 x＞-1．所以自变量x的取值范围是 x＞-1．
误区2 正比例函数概念理解不清出错
例2 当k为何值时，函数是正比例函数？
错解：由，得．所以当时，函数是正比例函数．
误区剖析：本题忽视了正比例函数中这个隐含条件，从而导致求解出错．
正解：根据题意，得，解得．所以当时，函数是正比例函数．
误区3 一次函数概念理解不透出错
例3 函数是关于x的一次函数，求a的取值范围．
错解：因为函数是关于x的一次函数，所以，解得且．即当且时，函数是关于x的一次函数．
误区剖析：一次函数中，，但b可以等于0，当时是正比例函数，而正比例函数是一次函数的一种特殊形式．
正解：因为函数是关于x的一次函数，所以，解得．即当时，函数是关于x的一次函数．
误区4 画函数图象时出错
例4 一个正方形的边长为2，它边长减少x后得到的新正方形的周长为y．写出y与x的函数关系式，并画出它的图象．
8
2
o
y
x
图1
8
2
o
y
x
图2
错解：根据题意，得，即．在平面直角坐标系中的图象如图1所示．
误区剖析：错解忽略了实际问题中自变量的取值范围，导致画函数图象出错．由于原正方形边长为2，所以自变量x的取值范围应该是0≤x＜2．
正解：根据题意，得，且0≤x＜2．即（0≤x＜2）．在直角坐标系中（0≤x＜2）的图象如图2所示．
误区5 图形位置考虑不周出错
例5 若一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是6．求常数k的值．
错解：设直线与x轴，y轴的交点分别是A，B．由，得；由，得．所以，．所以．所以．
误区剖析：由于一次函数的图象与x轴交点的位置不确定．点A可能在x轴的正半轴上，也可能在x轴的负半轴上，所以OA的长度应为．
正解：由，得．所以．
误区6 片面地理解函数的性质
例6 已知和是正比例函数的图象上的两点，且＞，试比较，的大小关系．
错解：因为正比例函数的函数值是随着自变量的增大而增大，且＞，所以＞．
误区剖析：由于受算术中正比例概念的影响，片面地认为正比例函数的函数值总是随着自变量的增大而增大．其实当k＜0时，恰恰相反，即y随着x的增大而减小．
正解：因为中的＜0，所以y随着x的增大而减小．又因为＞，所以＜．

基础盘点
一、变量与函数
1.在一个变化的过程中，我们称 为变量； 为常量．
2.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数．
3.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 ，就是这个函数的图象．
二、一次函数
1.一般地，形如 的函数，叫做正比例函数，其中k叫做 ．
2.一般地，正比例函数的图象是一条经过 的直线．当k＞0时，直线经过第 、 象限，y随着x的增大而 ；当k＜0时，直线经过第 、 象限，y随着x的增大而 ．
3. 一般地，形如 的函数，叫做一次函数．当k＞0时，y随着x的增大而 ；当k＜0时，y随着x的增大而 ．
三、用函数观点看方程（组）与不等式
1.解方程（a，b为常数）可以转化为求一次函数的函数值为 时自变量的值．
2.解不等式＞0（或＜0）可以转化为求一次函数的函数值大（或小）于 时自变量的取值范围．
3.一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时两个函数值 ，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线 ．

课堂检测
1.函数的自变量的取值范围是 ．
2.已知一次函数y=-3x+2，它的图象不经过第 象限．
3.已知一次函数与的图象交于点，则点的坐标为（ ， ）．
4.某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系对应的图象大致为（ ）
A
B
C
D

5.一个正比例函数的图象过点（2，-3），它的表达式为（ ）
3000
2000
1000
1000
2000
3000
x(km)
y(元)
y2
y1
第6题
A. B.
C. D.
6.某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如右图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ）
A．月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B．月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
D．甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少
7.今年春季，我国云南、贵州等西南地区遭遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.
(1)设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台.
①用含x，y的式子表示丙种柴油发电机的数量.
②求出y与x的函数关系式.
(2) 已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？
跟踪训练
1.（2010年湖南省）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2010年福建省）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.（2010年济宁市）图1是张老师出门散步时离家的距离与时间之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）

A
B
C
D

（第3题）
4.（2010年江苏省）若一次函数,当x的值减小1时，的值就减小2，则当的值增加2时，的值（ ）
y
x
O
P
2
a

A． 增加4 B．减小4 C．增加2 D．减小2
5.（2010年成都市）若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6、（2010年咸宁市）如右图，直线：与直线：相交于点P（，2），则关于的不等式≥的解集为 ．
7. 甲、乙两个商店销售某种铂金饰品．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若购买铂金饰品质量超过3克，则超出部分可打八折出售．
⑴ 分别写出到甲、乙两个商店购买该种铂金饰品所需费用（元）和质量（克）之间的函数关系式.
⑵ 李阿姨要买一条质量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？

参考答案
基础盘点：一、1.数值发生变化的量 数值始终不变的量 2.唯一 x y x 3.横 纵 图形
二、1. 比例系数 2.原点 一 三 增大 二 四 减小 3. 增大 减小
三、1.0 2.0 3.相等 交点的坐标
课堂检测：1. 2.三 3.3 0 4.D 5.A 6.D
7.（1）①，②.（1）甲、乙、丙三种柴油机的数量分别为5，2，3．
跟踪训练1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.
7.（1），
（2）当时，到甲、乙两个商店购买费用相同，当时，到甲商店购买合算，当时，到乙商店购买合算．