八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

14.3 因式分解（第1课时）
【教材分析】

教
学
目
标
知识
技能
1.让学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法的关系.
2.能利用提取公因式法对简单的多项式进行因式分解.
过程
方法
通过观察发现因式分解与整式乘法的关系和探索提取公因式的过程，培养学生观察能力与逆向思维能力.
情感
态度
在探索提取公因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法.
重点
会用提公因式法分解因式.
难点
确定公因式及提出公因式后的另一个因式的确定.
【教学流程】
环节
导 学 问 题
师 生 活 动
二次备课

情
境
引
入
【问题1】
1.计算：
（1）x(x＋1)；
（2）(x＋1)(x－1).
2. 思考：630能被哪些数整除？
引入新课：
在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的积的形式，这就是本大节所探究的内容——14.3因式分解

教师提出问题，引导学生思考，教师提示点拨，导入本节课题
学生思考讨论，教师点拨：需要把630分解成几个质数的积的形式（630=2×32×5×7）

自
主
探
究

合
作
交
流

【问题2】
参考【问题1】中1题计算，把下列多项式写成整式的积的形式.
(1) x2 ＋x = ；
(2) x2－1=_____________.

总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把多项式因式分解（或叫做分解因式）.
注意： 因式分解不是运算，只是恒等变形 .
因式分解
多项式整式的积
整式乘法
【问题3】
你会把ma+mb+mc因式分解吗？
由m (a＋b＋c)= ma＋mb＋mc ，可得ma＋mb＋mc= m (a＋b＋c).这样就把ma+mb+mc分解成两个因式的积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式(a＋b＋c)是ma+mb+mc除以得到的商.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
【例1】 分解因式：
（1）8a3b2＋12ab3c；
（2）4a2－8ab＋4a.
【分析】（1）（2）两题首先确定公因式，然后用每一项除以公因式，最后把公因式和所得的商写成乘积的形式即可.
公因式的确定方法：
⑴系数：各项系数的最大公因数；
⑵字母：取相同字母及相同字母的最低次幂.(如（1）题的公因式为4ab2).
【例2】分解因式：
（1）2a(b＋c)－3(b＋c)；
（2）a(m－n)－3b(n－m).
【分析】
（1）公因式为（b＋c）把（b＋c）看成一个整体.
（2）(m－n)与 (n－m)互为相反数，只要把其中一个式子添个负号，就可以变成相同的因式：
(m－n)= －（n－m）或 (n－m)= －(m－n).

教师出示问题2.
通过问题1学生容易得出问题2的结果.
x2 ＋x = x(x＋1)
x2－1= (x＋1)(x－1)
教师点拨引导：等式左右的变化形式.

学生独立思考后，小组讨论.
教师点拨：
1.多项式的每一项中都含有公共的因式m.
2.分解成公因式m与另一个因式的积的形式.
3.另一个因式如何确定？
教师引导学生总结出因式分解的方法——提公因式法.

教师出示例题，要求学生讨论如何找公因式，然后再尝试独立完成，最后小组交流，核对答案.
对于例1：教师点拨引导：公因式的确定方法，让2名同学板演，等其余学生完成后，点评、总结.
教师强调：
第(2)题不要写成4a（a－2b）这就是说1作为项系数可以省略，但单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1.
对于例2：
教师要求学生先找到公因式再分解因式，找2位同学板演，其余同学下面完成，完成后互换批改.
强调：公因式可以是单项式也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出.

尝
试
应
用
1.下列从左到右变形属于因式分解的是（ ）
A.(y＋2)(y－2)=y2－4
B.a2＋2a＋1=a(a＋2)＋1
C.b2＋6b＋1=(b＋3)2－8
D.x2－5x－6=(x＋1)(x－6)
2、多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中，各项的公因式是( )
A.a2b B.4a2b C.-4a2b2 D.-a2b
3、 分解因式
(1)12xyz-9x2y2；
(2) -x3y3-x2y2-xy；
(3)p(a2 + b2 )- q(b2 +a2 ).

第1,2题学生独立完成.
教师巡视，并个别辅导纠错.
第3题请3位学生板演，教师巡视，注意：一、找公因式是否正确，二、第一项为负一般先提负号.
1、D；2、B
3、（1）3xy(4z-3xy).
（2）-xy(x2y2+xy+1).
（3）(a2+b2)(p-q).

成
果
展
示
欣赏自我：本节课你学会了什么？
完善自我：对本课的内容，你还有哪些疑惑？

教师引导学生归纳总结、反思、梳理知识，帮助学生形成知识体系.

补
偿
提
高

4.分解因式：(x-y)2+y(y-x).
5.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值
4、解：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
5、解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=
3 ×4=12.

14.3因式分解（第2课时）
教学目标
1．知识与技能
会应用平方差公式进行因式分解，发展学生的推理能力．
2．过程与方法
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维．
3．情感、态度与价值观
培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
教学重点
利用平方差公式分解因式．
教学难点
领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．
教学过程：
1）课堂导入
请同学们计算下列各式．
（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．
【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．
（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25.
（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．
【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．
1．分解因式：a2－25. 2．分解因式:16m2－9n2．
【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：
1.a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．
2.16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．
【教师活动】引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．
平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．
评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
2）重点讲解
【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）
（1）x2－9y2； （2）16x4－y4；
（3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2；
（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
【思路点拨】在观察中发现(1)～(5)题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．
【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．
【学生活动】分四人小组，合作探究．
解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）.
（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）.
（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）.
（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x－y）.
（5）m2（16x－y）+n2（y－16x） =（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．
3）问题探究
【探研时空】
1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．
2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．
4）难点剖析
例3　分解因式:
(1)x4－y4；
(2)a3b－ab.
展示点评：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎么做？
展示点评：(继续分解到不能再分解为止)
小组讨论：归纳分解因式的一般步骤．
解答过程见教材P116例3
反思小结：1.分解因式的一般步骤：一提二套三分组即先看有没有公因式，若有提出公因式，再看能不能运用公式，若能,运用公式进行分解；若不能,则考虑分组，分组的原则：①分组后有公因式可提；②分组后有公式可套. 2.公式中的“a”“b”可表示单项式也可表示多项式；若表示多项式，应将多项式用括号括起来.3.分解因式必须进行到不能再分解为止．
5）训练提升
1．分解因式：
(1)4x2－y2； 　　　　　(2)－16＋a2b2；
(3) －25y2； 　　　　　(4)(x＋2y)2－(x－y)2.
解：(1)原式＝(2x＋y)(2x－y)．　
(2)原式＝(ab＋4)(ab－4)．　
（3）原式＝(＋5y)(－5y)．　
(4)原式＝[(x＋2y)＋(x－y)][(x＋2y)－(x－y)]＝3y(2x＋y)．
2．分解因式：
(1)a3－9a；
(2)3m(2x－y)2－3mn2；
（3） (a－b)b2－4(a－b)．
解：(1)原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)．　
(2)原式＝3m[(2x－y)2－n2]＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)．　
(3)原式＝(a－b)(b2－4)＝(a－b)(b＋2)(b－2)．
3． (云南中考)分解因式：3x2－12＝3(x－2)(x＋2).
4．(梅州中考)分解因式：m3－m＝m(m＋1)(m－1).
5．(孝感中考)若a－b＝1，则代数式a2－b2－2b的值为____1____．
6．老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)证明这个规律的正确性．
解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.　
(2) 任意两个奇数的平方差等于8的倍数．　
(3)证明：设m， n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴ 4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．
14.3因式分解（第3课时）
教学目标
1．领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2．经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
3．培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
教学重点
理解运用完全平方公式进行因式分解．
教学难点
灵活地运用公式法进行因式分解．
教学过程：
1）课堂导入
【复习引入】
1.（1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2； （3）x2－0.01y2．
2．计算下列各式：
（1）（m－4n）2； （2）（m+4n）2； （3）（a+b）2； （4）（a－b）2．
【教师活动】引导学生完成下面四道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．
2）重点讲解
3．分解因式：
（1）m2－8mn+16n2 ； （2）m2+8mn+16n2；
（3）a2+2ab+b2； （4）a2－2ab+b2．
【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案.
解：（1）m2－8mn+16n2=（m－4n）2. （2）m2+8mn+16n2=（m+4n）2.
（3）a2+2ab+b2=（a+b）2. （4）a2－2ab+b2=（a－b）2．
【归纳公式】完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
3）问题探究
【例1】把下列各式分解因式：教材P118例5
点拨：对比公式，准确找出问题中的a、b
【例2】把下列各式分解因式：教材P118例5
【例3】如果x2+axy+16y2是完全平方公式，求a的值．
【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a的值．
4）难点剖析
例1 把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.

例2 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－2x2－8y2+8xy.

5）训练提升
1．下列式子为完全平方式的是( D )
A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2
C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1
2．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝____9__．
3．若x2＋mx＋4是完全平方式，则m的值是_±4_．
4．因式分解：
(1)4x2＋y2－4xy；
(2)9－12a＋4a2；
(3) (m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)原式＝(2x)2＋y2－2×2x·y＝(2x－y)2.　
（2）原式＝32－2×3×2a＋(2a)2＝ (3－2a)2.　
(3)原式＝(m＋n－3)2.
5．下列四个多项式，能因式分解的是( B )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
6．把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
7．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____1____．
8．(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)方法一：原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当a－b＝3时，原式＝32＝9.
方法二：∵a－b＝3，∴a＝b＋3.∴原式＝(b＋3)(3－b)＋b2＝9－b2＋b2＝9.
　(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.
9．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
解：答案不唯一，如：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．